Statistica - probabilità e insiemi

Probabilità

Usa la matematica come linguaggio; le informazioni di per sé non hanno le varie scuole.

A chi posso attribuire probabilità? A ogni evento = fatti che, nel momento in cui l'interlocutore lo esprime, non sa se è vero o falso. Comunque deve essere potenzialmente riconoscibile, verificabile; altrimenti non è un evento.

La valutazione non è indipendente dal soggetto che la valuta.

La probabilità non è soggettiva.

No proprietà intrinseca (Popper).

Algebra degli eventi

1. Negazione. Sia A un evento; Ā è vero se A è falso. (es. A = "domani piove", Ā = "domani non piove")
2. Intersezione. Siano A e B due eventi; C = A ∧ B è vero solo se A è vero e B è vero. (es. A = "domani piove", B = "sono vivo vero" - se A e B, allora C è falso)
3. Unione. Siano A e B due eventi; C = A ∪ B è vero solo se almeno uno dei due è vero. es. A = "maglia nera" B = "pantaloni blu" {A ∋ B A ∈ B > evento C vero Ā ∉ B Ā ∈ B}

Due eventi speciali

1. (A)(Ω) = evento certo = modo più semplice; unire l'evento al suo complemento (es. "domani piove e non piove")
2. (A) = evento impossibile = modo più semplice; intersezione in evento con

Probabilità

Usa la matematica come linguaggio, le impressioni di pensiero umano le varie scuole.

A chi posso attribuire probabilità? Si applica agli eventi = fatti che, al momento in cui l'interlocutore lo esprime, non sa se è vero o falso, comunque deve essere potenzialmente riconoscibile, verificabile, altrimenti non è un evento.

La valutazione non è indipendente dal soggetto che la valuta.

La probabilità non è soggettiva.

No proprietà intrinseca (Popper).

Algebra degli eventi

1. Negazione. Sia A un evento; Ā è vero se A è falso. (es. A = "domani piove", Ā = "domani non piove")
2. Intersezione. Siano A e B due eventi; C = A ∧ B è vero solo se A è vero e B è vero. (es. A = "domani piove", B = "sono riva vero" → se A e B, allora C è falso)
3. Unione. Siano A e B due eventi; C = A ∪ B è vero solo se almeno uno dei due è vero. es. A = "maglia nera" B = "pantalon blu" { A e B }{ A ̅ e B }{ A e B ̅ } evento C vero

Due eventi speciali

1. (A ∪ Ā) = evento certo = modo più semplice, unire l'evento al suo complementare el.: "domani piove e non piove"
2. (A ∧ B ̅) = evento impossibile = modo più semplice, intersezione in eventi con due complementari el.

Incompatibili

Se A e B sono t.c. A ∩ B = ∅. A e B sono detti "incompatibili".

es. Lancio un dado - A = "esce una faccia con n° ≤ 2" B = "esce 6".

Necessario (contenuto)

Se A ⊃ B; B rispetto ad A è una condizione sufficiente ma non necessaria (e supponiamo che B è V, supponiamo che A è V, ma ...).

es. A = "domani piove" B = "cadono a terra più di 30 mm di acqua".

L'evento B può succedere solo se succede l'evento A, ma se domani piove, ma è detto che cadono 30 mm d'acqua.

A è necessario per B.

Due monete

2^a moneta. T = Testa. C = Croce.

∅, { {TT}, {TC}, {CT}, {CC} }, { {TT}∪{TC} }, ⋯ , Ω.

La probabilità è una funzione che trasforma ogni evento dell'algebra in un numero compreso tra 0 e 1.

P: A → [0,1] Theoria.

Assiomi

1. A ∈ Ω P(A) > 0. 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. P(Ω) = 1 → la probabilità dell'evento certo vale 1.

3. Additività ∀ A, B ∈ Ω A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Teoremi

∀ A ∈ Ω P(A^-) = 1 - P(A).

Dimostrazione:

Esempio: A = "domani piove". P(A) = 0,67 → dato P(A^-) = 1 - 0,67 = 0,33.

La probabilità "che non piova" è del 33%.

P(∅) = 0. Ω = ∅. P(Ω) = 1 - P(Ω). P(∅) = 1 - 1 = 0.

Proprietà della somma

∀ A, B ∈ Ω → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Dimostrazione:

N.B. se A ∩ B = ∅. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(∅).

Definizione classica di probabilità

La probabilità è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili.

P(A) = ^{n₀ casi favorevoli}/_{m0 casi possibili}.

Questa definizione assume che tutti i casi siano equiprobabili (mo' in cacca).

Approccio frequentista

Postulato empirico del caso: In un gruppo di prove ripetute nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili compare con frequenza approssimativamente uguale alla probabilità. L'approssimazione migliora quando il n_o delle prove cresce.

P(A) = ^{n₀ A}/_ntot = lim_n→∞.

Esercizio

n = 100000. Lancio 60000 volte testa. 60 000 volte croce.

A = "esce testa". P(A) = 0,6.

Esercizio

Supponiamo che nella popolazione di riferimento V = "avere contratto il virus" e F = "avere la febbre e supponiamo che la probabilità P(V) = 0,01 a che P(F) = 0,05.

P(V̄) = 0,99. P(F̄) = 0,95.

Michele ha la febbre, cosa posso dire rispetto al virus?

Non posso dire niente considerando solo questi dati, perché uno potrebbe avere la febbre ma non avere il virus.

F = (V ∧ F) ∪ (V̄ ∧ F).

P(F) = P(V ∧ F) ∪ P(V̄ ∧ F) = 0,05.

Questa è impossibile, perché Michele ha la febbre.

Le distribuzioni marginali sono uguali: i margini sono =, ma hanno le stesse somme di righe e colonne.

Quindi F ----- | V | |-----| V | 0,01| |-----| ^ | 0,04| |-----| 0,05 conta evene manare.

Probabilità condizionata

P(^/F) = 0,04 / 0,05. 0,8 di quelli che hanno la febbre il 80% non ha il virus.

P(V/F) = 0,01 / 0,05. 0,2 di quelli che hanno la febbre il 20% hanno contratto il virus.

Dopo cito __________ | F | --------------- | | V | | V |-----+-----| | |0,0095| | | |-----+-----| | ^ |0,9405| | | --------------- diverso impossitere, quindi ----- | V | -----|-----||0,0005|0,05| -----|-----||0,0495|0,05| ----- 0,05 -----.

P(V/F) = 0,0005 / 0,05 = 0,1.

P(^/F) = 0,0495 / 0,05 = 0,99.

Probabilità condizionata

Def. . . Dati due eventi A e B, si definisce P(A) dato B.

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B).

N.B. P(A/B) ≠ P(B/A) (solitamente).

Osservazione: P(B/A) = --------- P(A). ⟹ P(A ∩ B) = P(B/A) · P(A) = P(A/B) · P(B).

Regola del prodotto.

Definizione di indipendenza

Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Osservazione: se A e B sono indipendenti P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A) · P(B) / P(B) = P(A).

Allo stesso modo P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = P(A) · P(B) / P(A) = P(B).

N.B. B. Se A e B sono incompatibili → A ∩ B = Ø → P(A ∩ B) = 0.

Esercizio

Sergio fa puove omnia in ritrocolo con probabilità P(L|R) 0,7; se non puove omnia in ritrocolo con probabilità P(L|R̅) 0,1. Le previsioni hanno dato probabilità di pioggia P(R) = 0,4.

Quale è probabilità che Sergio omnia in ritrocolo?

R = "piove". L = "ritrocolo". P(R) = 0,4. P(L|R) = 0,7. P(L|R̅) = 0,1.

P(L) = P(L ∩ R) ∪ P(L ∩ R̅) = P(L ∩ R) + P(L ∩ R̅) = P(L|R) · P(R) + P(L|R̅) · P(R̅) = 0,7 · 0,4 + 0,1 · (1-0,4) = 0,34.

34% omniare in ritrocolo.

Esercizio

Abbiamo un'urna con 3 palline: 2B e 1N. 2 estrazioni con reintroduzione.

A^* = "estraggo una B e poi una N".

B^* = "estraggo una B e una N indipendentemente dall'ordine".

b₁ BBBBNBNBNNH_tot = 9.

Eventi favorevoli P(A) = ²/₉.

Eventi favorevoli P(B) = ⁴/₉.

Questo metodo va bene se abbiamo poche palline, se ce ne sono molte si può pensare in un altro modo:

2B, 1N. 2 estrazioni con reintroduzione: A = "prima B poi N". B = "B e N".

E_i = "bianca all^l'estrazione i" i = 1, 2.

A = E₁ ∩ E₂ (tutte bianche all^'estratto 1 e nero alla 2).

P(A) = P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) . P(E₂) = ¹/₃ . ²/₃ = ²/₉.

B = (E₁ ∩ E₂) ∪ (E₁ ∩ E₂).

P(B) = P(E₁ ∩ E₂) + P(E₁ ∩ E₂) = togliamo caso indifferente = 1 - P(E₁) . P(E₂) - P(E₁) . P(E₂) = ²/₃ + ¹/₃ . ²/₃ = ⁴/₉.

Se le estrazioni fossero senza reintroduzione (c'è un legame di dipendenza tra i dati).

A = E₁ ∩ E₂.

P(A) = P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) . P(E₂/E₁) = ¹/₂ . ²/₆ = ¹/₃.

P(Ȳ) = P[(E₁ ∩ Ȳ₂) ∪ (Ȳ₁ ∩ E₂)] = P(E₁ ∩ Ȳ₂) + P(Ȳ₁ ∩ E₂) = P(E₁) · P(Ȳ₂/E₁) + P(Ȳ₁) · P(E₂/Ȳ₁) = 2/3 · 1/3 + 1/3 · 1 = 2/3.

Esempio

Un treno è composto da 8 carrozze; la probabilità che nel tragitto si rompa il sistema frenante di una carrozza è lo 0,005. Qual è la probabilità che il treno arrivi a destinazione senza nessun guasto ai freni?

A = "arrivare a destinazione senza alcun guasto".

E_i = "non si guasta la carrozza".

P(E_i) = 0,995. A = E₁ ∩ E₂ ∩ ... ∩ E₈.

P(A) = P(E₁ ∩ E₂ ∩ ... ∩ E₈) = P(E₁) P(E₂) ... · P(E₈) = 0,995, 0,995, ..., 0,995 = (0,995)⁸ = 0,961.

In 5 viaggi, la probabilità che si ottiene almeno un guasto?

P(almeno guasto in 5 viaggi) = 0,961⁵.

P(almeno un guasto) = 1 - 0,961⁵.

Ricapitolando

La probabilità è una generica funzione t.c. P(a) = p.

P(Ȳ) = 1 - P(l).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A).

Regola del prodotto: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B).