Statistica per la finanza

Probabilità

Probabilità, probabilità.

Definizione probabilistica di modello

Finali mondo esiti casuali che esperimenti si svolgono reale cui i processi nel: previsti con certezza assoluta non possono essere ✓ incerti, descritti in tanti diversi modi possono essere considerati solo in ambito scientifico, ma tradotte descrizioni possono essere in un modello probabilistico chiamato modello matematico. Un modello matematico particolare = modello probabilistico descrive un esperimento casuale.

Componenti del modello

Descriviamo le 3 componenti di un modello: elementi.

• 1) Lo spazio campionario W = insieme cui vengono chiamati eventi elementari perché rappresentano tutti i possibili esiti elementari che potrebbero verificarsi al termine dell’esperimento casuale. Deve sempre essere esaustivo = deve corrispondere ad ogni possibile esito finale dell’esperimento casuale un evento elementare; gli eventi elementari della W devono essere mutuamente esclusivi = al termine dell’esperimento casuale deve verificarsi soltanto uno di essi.
• 2) Lo spazio degli eventi A = un insieme di sottoinsiemi dello spazio campionario, tali sottoinsiemi possono essere considerati come eventi; si chiama spazio degli eventi perché, per distinguerli dagli eventi elementari w, questi ultimi sottoinsiemi sono invece a volte chiamati eventi composti. L’insieme degli eventi dato può definirsi a partire da uno spazio più ampio detto insieme delle parti dello spazio campionario, insieme di tutti i sottoinsiemi di W, dove è composto da 2ⁿ elementi, con n = numero di elementi di W. Lo spazio degli eventi del modello non deve necessariamente contenere tutti i sottoinsiemi. Deve avere una certa struttura ma non necessariamente tutti i sottoinsiemi.
• 3) La funzione di probabilità P( ) associa una probabilità P(A) ad ogni evento A che appartiene allo spazio degli eventi. Il dominio è sempre uno spazio di eventi che potrebbe anche non contenere tutti i sottoinsiemi dello spazio campionario. In questo caso esisteranno eventi ai quali non risulta associata nessuna probabilità. È sbagliato dire che il dominio di P( ) sia uno spazio campionario. Questo errore origina in molte applicazioni: si considera come insieme degli eventi l’insieme delle parti dello spazio campionario e, nel contesto della probabilità, spesso si sente parlare di probabilità associata a w, in {w}, intendendo il valore P({w}) dell’evento elementare w o non di P(w). Infatti quest’ultimo non è definito perché w non è nemmeno un elemento dello spazio degli eventi, ovvero del dominio P( ), ma un elemento di W.

Esempio 1: lancio di un dado regolare a sei facce

Consideriamo un esperimento casuale che consiste nel lancio di un dado regolare. Le caratteristiche sono le seguenti:

Spazio campionario: W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Spazio degli eventi: A = P(W) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,5,6}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {2,4,5}, {2,4,6}, {2,5,6}, {3,4,5}, {3,4,6}, {3,5,6}, {4,5,6}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6}, {1,2,5,6}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6}, {1,3,5,6}, {1,4,5,6}, {2,3,4,5}, {2,3,4,6}, {2,3,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,3,4,5,6}, {2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6}}.

Funzione di probabilità P: P(A) = numero di eventi elementari in A / numero di eventi elementari in W = #A / 6, per ogni A appartenente allo spazio degli eventi.

Qui le probabilità degli eventi sono definite come rapporti tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.

Esempio 2: lancio di un dado truccato a sei facce

Consideriamo un esperimento casuale che consiste nel lancio di un dado truccato. Supponiamo di conoscere gli esiti di n = 1000 lanci di questo dado che sono stati effettuati in passato.

Lo spazio campionario può essere definito come nel precedente esperimento; siccome il dado è truccato sarebbe sbagliato definire la funzione probabilità P anche come prima. Per ottenere invece una descrizione realistica conviene considerare gli esiti dei 1000 lanci e definire le probabilità degli eventi come segue: P(A) = n(A) / 1000, dove n(A) è il numero di volte che l’evento A si è verificato nei 1000 lanci.

Qui invece le probabilità degli eventi sono definite come frequenze relative.

Esempio 3: lo scommettitore

Un giornalista sostiene essere sicuro all’80% che la squadra AAA vinca il prossimo campionato di calcio. Siccome non può essere certo, egli potrebbe considerare il campionato come un esperimento casuale e descriverlo con il seguente modello probabilistico:

W = {1, 2, ..., K}, dove K rappresenta il numero delle squadre che partecipano al campionato, e 1 rappresenti la squadra AAA. Supponiamo naturale che la squadra AAA sia rappresentata dal numero 1, ma potrebbe essere rappresentata anche da qualsiasi altro numero tra quelli contenuti in W.

A = P(W) = {∅, {1}, {2}, {3}, ..., {K}, ...}.

P({1}) = 0,80 e P({2, 3, ..., K}) = 0,20. P è definita come P({1}) = 0,80; P({2, 3, ..., K}) = 0,20.

Qui i valori di probabilità sembrerebbero rappresentare soltanto un’opinione.

Interpretazione della probabilità

Le differenze tra gli esempi attengono al modo in cui abbiamo assegnato probabilità agli eventi e quindi al modo in cui queste probabilità devono essere interpretate. I 3 esempi illustrano i 3 metodi di assegnazione delle probabilità di solito usati nelle applicazioni.

1) Metodo di assegnazione da interpretazione classica

Il metodo di assegnazione classica dà luogo all’interpretazione classica della probabilità. La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili, purché questi ultimi siano equiprobabili. Questa definizione è basata sul principio di indifferenza e può essere applicata soltanto quando il numero di esiti possibili è finito e quando non c’è motivo di ritenere che uno di questi esiti possa verificarsi più facilmente degli altri.

2) Metodo di assegnazione frequentista

Il metodo di assegnazione frequentista dà luogo all’interpretazione frequentista della probabilità. La probabilità di un evento rappresenta il limite della frequenza relativa con cui l’evento si verifica in una successione infinita di repliche indipendenti dell’esperimento casuale.

Questa interpretazione infatti nel mondo reale non si lascia tradurre facilmente in un metodo pratico per assegnare le probabilità: non si conoscono mai gli esiti di una successione infinita di repliche dell’esperimento casuale e pertanto bisogna accontentarsi di frequenze relative che si riferiscono ad un numero finito, possibilmente elevato, di repliche. Ma anche questo modo di procedere dà luogo a dubbi.

Quante repliche dell’esperimento casuale sono necessarie? Sotto quali condizioni un esperimento casuale di cui conosciamo l’esito finale può essere considerato come una “replica” dell’esperimento casuale che vogliamo descrivere? Sotto quali condizioni delle repliche possono essere considerate “indipendenti”? Che cosa si dovrebbe fare se l’esperimento casuale di interesse non è “replicabile”?

3) Metodo di assegnazione soggettivo

Il metodo di assegnazione soggettivo dà luogo all’interpretazione soggettiva della probabilità. La probabilità soggettiva di un evento rappresenta un “grado di credenza” che può variare da soggetto a soggetto.

Secondo Bruno de Finetti, Frank Plumpton Ramsey, il primo insieme all’altro fautore dell’interpretazione soggettiva della probabilità, la probabilità P(A) che un dato soggetto assegna ad un determinato evento A dovrebbe rappresentare il prezzo che egli ritiene equo per una scommessa dove si vince 1 euro se l’evento A si verifica e nulla in caso contrario.

Inoltre, per determinare P(A), il soggetto dovrebbe immaginare di essere costretto a gestire un banco di scommesse; a richiesta di chiunque, ad P(A), deve essere disposto sia ad emettere sia ad acquistare allo stesso prezzo titoli che incorporano il diritto di ricevere 1 euro se l’evento A si verifica.

Gli assiomi di Kolmogorov

Le funzioni di probabilità descritte, seppur tutte diverse, rispettano una serie di condizioni.

K0) Il dominio della funzione di probabilità P( ) ovvero lo spazio degli eventi possiede una struttura cosiddetta di algebra, ovvero soddisfa le seguenti condizioni:

• A) W appartiene ad A.
• B) Se un evento A è contenuto in A, allora A contiene anche il corrispondente evento complementare A^c = {w ∈ W: w ∉ A}.
• C) Se due eventi A₁ e A₂ sono contenuti in A, allora A contiene anche la loro unione A₁ ∪ A₂.

K1) Per ogni evento A ∈ A, la probabilità corrispondente P(A) è un numero reale non negativo.

K2) La probabilità associata allo spazio campionario W è pari a 1.

K3) Additività: se A₁ e A₂ sono due eventi incompatibili, ovvero A₁ ∩ A₂ = ∅, ed entrambi questi eventi appartengono allo spazio degli eventi A, allora P(A₁ ∪ A₂) = P(A₁) + P(A₂).

K3*) Additività numerabile: se A₁, A₂, ..., è una successione numerabile infinita di eventi tutti incompatibili che appartengono allo spazio degli eventi A, e se l’evento unione appartiene anche allo spazio degli eventi A, allora P(∪_i=1^∞A_i) = Σ_i=1^∞P(A_i).

Se oggi aggiungiamo alle condizioni K0, K1, K2, K3 anche quella K3*, otteniamo condizioni che sono note come assiomi di Kolmogorov. Gli assiomi sono fondamentali: in violazione delle condizioni K0, K1, K2, K3, le probabilità assegnate agli eventi di un’algebra non possono essere ritenute “coerenti”.

Alcuni studiosi, invece, contestano che l’assioma K3* rappresenti una condizione fondamentale di coerenza, e de Finetti contestò l’assioma di additività numerabile. Kolmogorov stesso introdusse l’assioma K3* soltanto per motivi di convenienza matematica.

Le funzioni P( ) che si possono definire attraverso il metodo classico e quello frequentista di assegnazione soddisfano gli assiomi di Kolmogorov.

Inoltre, se un soggetto assegnasse dei prezzi P(A) ai titoli che si riferiscono tutti a scommesse su eventi A che appartengono ad un’algebra di eventi, cioè ad uno spazio di eventi che soddisfa K0, violando gli assiomi K1, K2, K3, allora il soggetto sarebbe esposto a scommesse che gli procurano una perdita certa, dette scommesse olandesi.

In virtù del ruolo di condizioni fondamentali di coerenza, la teoria della probabilità è stata fondata sugli assiomi di Kolmogorov. I suoi teoremi sono detti leggi del calcolo delle probabilità e devono poter essere dimostrabili a partire dagli assiomi di Kolmogorov.

Algebre di eventi

Prima di enunciare i teoremi approfondiremo la struttura delle algebre di eventi.

Ricorda: K0 dice che il dominio della funzione di probabilità P( ), ovvero lo spazio degli eventi, deve possedere la struttura di algebra, ovvero soddisfare le seguenti condizioni:

• A) W appartiene ad A.
• B) Se un evento A è contenuto in A, allora A contiene anche il corrispondente evento complementare A^c = {w ∈ W: w ∉ A}. Questa condizione dice che ogni algebra è chiusa rispetto ad operazioni di complemento.
• C) Se due eventi A₁ e A₂ sono contenuti in A, allora A contiene anche la loro unione A₁ ∪ A₂. Questa condizione dice che ogni algebra è chiusa rispetto ad operazioni di unione applicate a coppie di eventi.

Si può dimostrare che queste condizioni implicano anche altre condizioni: A ∩ A₂, A ∩ A₃, A ∩ A_n, ed A^c. Questa condizione dice che ogni algebra è chiusa rispetto ad operazioni di intersezione.