Statistica (esercizi)

Esercizi

1. Distribuzione di frequenza

1.1.

Xi fi fi/N 1 220 0,133 1 530 0,200 1 640 0,267 1 830 0,200 totale 15 1

1.3.

Xi fi fi/N 0 250 0,455 1 150 0,273 2 100 0,182 3 300 0,055 5 150 0,027 7 50 0,008 totale 550 1

1. % di famiglie che non ha figli 0,455 * 100 = 45,5%
2. Distribuzione di frequenza relativa delle famiglie con figli

Divido la frequenza assoluta per il nuovo denominatore che esclude le famiglie senza figli (550 - 250)

2. Media e media ponderata

2.1.

Xi fi fi/N fi 0 0,225 270 1 0,315 174 2 0,265 318 3 0,165 198 totale 1,000 1200

1. Distribuzione di frequenza assoluta
2. N. medio di auto tra tutte le famiglie del campione

Con frequenze relative: X̄ = 1 * 0,315 + 2 * 0,265 + 3 * 0,165 + 0,25 = 1,37

Con frequenza assoluta: X̄ = 0 * 270 + 1 * 174 + 2 * 318 + 3 * 198 = 1,37

N. medio auto tra famiglie con almeno un'automobile X̄ = 1 * 174 + 2 * 318 + 3 * 198 / 1200 - 270 = 1,77

N. medio auto tra famiglie con meno di 2 auto X̄ = 0 * 270 + 1 * 174 / 1200 - 198 - 318 = 0,605

Esercizi

1. Distribuzione di frequenza

1.1.

Xi Fi Fi/N 1 220 0,133 1 530 0,200 1 640 0,267 1 830 0,200 totale 15 1

1.3.

Xi Fi Fi/N 0 250 0,255 1 150 0,273 2 100 0,182 3 50 0,091 5 15 0,027 7 5 0,008 totale 550 1

1. % di famiglie che non ha figli 0,255 · 100 = 25,5%
2. Distribuzione di frequenza relativa delle famiglie con figli

Divido la frequenza assoluta per il nuovo denominatore che esclude le famiglie senza figli (550 - 250)

2. Media e media ponderata

2.1.

Xi Fi/N Fi 0 0,225 270 1 0,315 414 2 0,265 318 3 0,165 198 totale 1,000 1200

1. Distribuzione di frequenza assoluta
2. N. medio di auto tra tutte le famiglie del campione

Con frequenze relative: X̄ = 1 · 0,315 + 2 · 0,265 + 3 · 0,165 + 0,25 = 1,37

Con frequenza assoluta: X̄ = 0 · 270 + 1 · 414 + 2 · 318 + 3 · 198 = 1,37 / 1200

c) N. medio auto tra famiglie con almeno un'automobile X̄ = 1 · 414 + 2 · 318 + 3 · 198 = 1,77 / 1200 - 270

d) N. medio auto tra famiglie con meno di 2 auto X̄ = 0 · 270 + 1 · 414 = 0,605 / 1200 - 199 - 318

f) Calcola la mediana 50% percentile, necessario calcolare la frequenza cumulata fi/N Fi/N. La mediana è 1 automobile 0,225 0,225 0,345 0,570 0,265 0,835 0,165 1

g) Calcola l'83° percentile. È 2

2.2.

Xi fi 1 3 3 · 1 = 3 2 3 2 · 1 = 2 3 3 3 · 3 = 9 totale 7 11

Media del numero di plessi tra i circoli X̄ = 11 / 7 = 1,2

2.3.

Xi fi 1 1 1 · 1 = 1 2 4 2 · 2 = 8 3 5 3 · 5 = 20 5 4 5 · 2 = 20 7 1 7 · 1 = 7 8 1 8 · 1 = 8 9 2 9 · 2 = 18 10 1 10 · 1 = 10 11 1 11 · 1 = 11 20 103

Media delle province tra le regioni X̄ = 103 / 20 = 5,15

2.20.

Degenza media a livello nazionale. X̄ = 1.600.000 ⋅ 8,6 + 2.003.000 ⋅ 9,6 + 3.765.000 ⋅ 6,9 = 8,176 giorni 10.372.000

2.5.

a) Età media degli sposi

Maschi 20 ⋅ 3086 + 30 ⋅ 196179 + 40 ⋅ 36573 + ...

Femminine 20 ⋅ 87936 + 30 ⋅ 163151 + 40 ⋅ 19260 + ... = 28,122 anni

2.6.

a) Dipendenti medi per azienda 6100 ÷ 21.786 dipendenti = Num tot dipendenti per classe / num az

b) Se si conoscesse solo la media per classe dimensionale, come si ricava la media complessiva?

1. Calcolo le frequenze relative
2. La media complessiva è una media pesata con frequenze relative

X̄ =

3. Mediana, percentili e distribuzioni cumulate

3.1.

Aumento 15% tra 3° quartile e 1° quintile 3 ÷ 4 = 0,75 1 ÷ 5 = 0,8

Aumento 25% tra 3° del 4° quintile 1 ÷ 5 = 0,8

Se il salario è uguale al 3^o quintile non subisce un aumento. 3/5 + 0,6

3.2.

X fi P_i/N F_i/N 25000 5 0,357 0,357 35000 7 0,501 0,858 60000 1 0,071 0,929 100000 1 0,071 1 1

1. Reddito medio

̄X = 25.500·5 + 35.000·7 + 60.000·1 + 100.000·1 ÷ 11 = 38.036 €

2. Reddito mediano: 35.000 €
3. Se direttore e responsabile vendite non licenziano, il reddito medio diminuisce
4. Il reddito mediano non cambia

3.3.

Il QI aumenta in entrambe le classi se si sposta dalla classe con QI medio maggiore quello con QI minore ma comunque maggiore rispetto al QI medio dell'altra classe.

3.L.

X_k Calabria Trentino fi/N Fi/N fi/N Fi/N 10-20 1 1 1 1 20-30 4 10 2 3 30-40 10 20 3 6 40-50 30 50 4 10 50-60 10 60 10 20 60-70 6 96 30 50 70-80 2 98 20 70 80-90 1 99 15 85 90-100 1 100 5 90 100+ 0 100 10 100

b) Qual è il reddito mediano nelle 2 regioni? (Guardo F_i/N) In Calabria è 45 milioni, in Trentino è 65 milioni.

c) Qual è il 1^o quintile ( ¹/₅ ) dei redditi nelle 2 regioni? (Guardo F_i/N) In Calabria è 35 milioni, in Trentino è 55 milioni.

d) In quale delle 2 regioni si può calcolare il reddito medio? Sì in Calabria, no in Trentino perché l'ultima classe è aperta e non ha F_i;

e) A quanto ammonta il reddito medio in Calabria? X̄ = ^{15 ⋅ 1 + 25 ⋅ 6 + 35 ⋅ 10 + 45 ⋅ 30 + 55 ⋅ 10 + 66 ⋅ 6 + 75 ⋅ 2 + 85 + 95}100

B.6.

18 iscritti a Torino

X_i F_i F_i/N F_i/N → Calcolo percentili (guardo F_i/N)

3^o percentile = 0,03 → 2

1^o decile = ¹/₁₀ = 0,1 → 12

3^o quintile = ³/₅ = 0,6 → 16

1^o quintile = ¹/₅ = 0,2 → 8

1^o quartile = ¹/₄ = 0,25 → 9

3^o decile = ³/₁₀ = 0,3 → 10

1^o ventile = ¹/₂₀ = 0,35 → 11

7^o decile = ⁷/₁₀ = 0,7 → 17

1^o ventile = ¹/₂₀ = 0,05 → 3

3^o ventile = ³/₂₀ = 0,15 → 7

1^o decile = ¹/₁₀ = 0,1 → 5

3^o quartile = ³/₄ = 0,75 → 18

4^o quintile = ⁴/₅ = 0,8 → 19

9^o decile = ⁹/₁₀ = 0,9 → 21

5^o percentile = 0,95 → 22

Mediana = 0,5 → 11

B.7.

10% popolazione ricca → diventa ancora più ricca

90% popolazione resta fermo

a) Reddito medio: aumentato

b) Reddito mediano: rimasto lo stesso

c) Al 95^o percentile: aumentato

1. Varianza e deviazione standard

L.1.

Vari calcoli X_i | i 1 | 1 2 | 4 3 | 9

X̄ = 2 ΣX_i = 12 ΣX_i/N = 4,67

X²̄ = S² = Var = 0,67 √S² = 0,82

L.2.

X_i | p_i | X_ip_i | X_i² | X_i²p_i 2 | 1 | 8 | 4 | 16 3 | 2 | 6 | 9 | 72 4 | 4 | 16 | 16 | 64

V = 16 ΣX_ip_i = 28 X̄ = 3 X̄² = 9 ΣX_i²p_i = 152 -> ΣX_i²p_i/N = 9,5

Var = Σ(X_i - X̄)² p_i / N = 0,5

Dev.st. = √Var = 0,707

L.3.

X_i | RE | Italia 1 | 31,6 | 21,3 2 | 27,7 | 26,4 3 | 22,2 | 23,6 1 | 13,8 | 21,0 5 | 3 | 5,6 6 | 1,0 | 2,1

a) Calcolo media e varianza RE X̄ = (31,6 + 2 • 27,7 + 3 • 22,2 + ... + 1 • 1,0) / 100 = 2,333

S² = (1 - 2,333)²31,6 + (2 - 2,333)²27,7 + (3 - 2,333)²22,2.../ 100 = 1,47

b) Calcolo media e varianza Italia X̄ = 2 1,3 + 2 6,2 + 2e3 3 6 + 2 1,1 +5,6+5 2,716 = 2,695 100

S₂ = (1-2,695)² 21,3 + (1-2,695)² 26,4 + (3-2,695)² (21+2.695)² 21+ .... = 1,65 100

4.1.

Banca Rappresentanti 0 60 0 10 1 70 0 10 2 70 2 20 3 60 3 30 4 60 4 50 5 5 160 6 5 150 290 230

a) Calcolo media banche in X̄ = 0.60 + 70 + 70 + 10 + 3.60 + 2.20... = 1,81 incidenti

b) Calcolo S² banche in S² = (0.18)² 60 + (1,81) 70 + ... = 1,96

Ripeto lo stesso procedimento per rappresentanti

5. Standardizzazione di una variabile

5.1.

a) È relativamente meglio un 100 a Mg o 107 a Let?

Z_i = 100 - 96 = 0,70 sopra la media → meglio un 100 a Ingegneria 5,7

Z_i = 107 - 106 = 0,23 sopra la media 2,3

b) È relativamente meglio un 101 a Let o 100 a Giur?

Z_l = 101-u106 = 0,87 2,3

Z_g = 100-101 = 0,23 → meglio un 100 a Giurisprudenza 4,3

c) È relativamente meglio un 96 a Mg o 101 a Giur?

Z_i = 96 - 96 = 0 5,7 Z_g = 101 - 101 = 0 4,3

Nessuno perché sono entrambi nella media.

5.2.

Can: 55,000 Mex: 18,000 Ind: 7,000 X̅ s²: 16,000 1,000 2,500

1. È relativamente più ricco un canadese che guadagna 70,000 o un ind 10,000?

Z_c = (70,000 - 55,000) / 16,000 = 0,94 σ sopra la media

Z_i = (10,000 - 7,000) / 2,500 = 1,2 σ sopra la media → meglio, più ricco

È relativamente più ricco un Mex che guadagna 15,000 o un ind 17,500?

Z_m = (15,000 - 18,000) / 1,000 = -0,75 σ sotto la media

Z_i = (17,500 - 7,000) / 21,500 = 0,21 σ sopra la media → più ricco

È relativamente più ricco un can che guadagna 50,000 o un mex 13,000?

Z_c = (50,000 - 55,000) / 16,000 = -0,31 σ

Z_m = (13,000 - 18,000) / 1,000 = -1,25

5.3.

Anni Fatturato Giudizio Media ponderata Graduatoria Pesi 0,1 150 0,25 0,60

Mira 5 350 85

Code 5 360 80

Alba 2 430 75

Media 4 380 80

s² 1,1 135,5 99,08

Max 5 430 85

Min 2 350 75

Δmax 3 80 10

Standardizzazione Mira: 0,709 -0,813 1,225 0,630 1

Code: 0,709 -0,562 0 -0,034 2

Alba: -1,118 1,105 -1,225 -0,596 3

Riproporzionamento Media ponderata Graduatoria

Mira 100 0 100

Code 700 12,5 50

Alba 0 700 075 128,1 225 3

Come stilare una graduatoria? (con pesi differenti)

Calcolo media, varianza (dai, mi serve deviazione standard!), massimo, minimo e differenza tra essi relativi ai singoli entrate (senza considerare i pesi)

Standardizzo i singoli valori e poi faccio una media ponderata: moltiplico i valori standardizzati per i relativi pesi. Stilo la graduatoria

Riproporziono i singoli valori e poi faccio una media ponderata: moltiplico i valori riproporzionati per i relativi pesi. Stilo la graduatoria

6. La distribuzione normale

6.1. Calcolo probabilità

p(Z ≥ 1,15) = 0,5 - 0,226 = 0,074

p(Z ≤ 1,25) = 0,5 + 0,394 = 0,894

p(Z ≥ -0,4) = 0,5 + 0,155 = 0,655

p(Z ≤ -0,9) = 0,5 - 0,316 = 0,216

p(Z ≤ -2,90) = 0,5 - 0,498 = 0,002

p(0,35 ≤ Z ≤ 1,55) = 0,163 - 0,137 = 0,302

p(-0,35 ≤ Z ≤ 1,85) = 0,628 + 0,137 = 0,605

p(-1,75 ≤ Z ≤ -0,55) = 0,160 - 0,209 = 0,251

p(-2,1 < z < 2,5) = 0,941 + 0,035 = 0,976

p(-2,5 < z < 2,1) = 0,976

6.2. Calcolo quantili di Z

56° percentile = Z_0,56 = 56%

Cerco 6% (0,06) nella seconda colonna della tavola. Il quantile che cerco è il relativo della prima colonna: 0,15

Z_0,56 = 0,15

11° percentile = Z_0,11 = 11,1%

Essendo nella parte negativa, cerco il suo complementare sapendo che: Z_p = -Z_1-p (Cerco: Z_0,56 = 0,15, dunque Z_0,11 = -0,15

3° quintile = ³/₅ = Z_0,6 = 60%

Z_0,6 = 0,259

1° percentile: Z_0,91 = 9%

Z_0,91 = 1,35

Z_0,09 = -1,35

95° percentile = Z_0,95 = 95%

Z_0,95 = 1,65

20° percentile = Z_0,20 = 20%

Z_0,80 = -0,25

2° quartile = ²/₄ = Z_0,5 = 50%

Z_0,50 = 0 rappresenta la media e la mediana

6° percentile = Z_0,06 = 6%

Z_0,94 = 0,10 Z_0,46 = -0,10

9° decile = ⁹/₁₀ = Z_0,9 = 90%

Z_0,9 = 1,28

6.3. Ricavo Z dai valori di X con formula

X = 233,75 con X ∼ N (190,25) Z = (233,75 - 190) / 25 = 1,75

X = 6,8 con X ∼ N (3,1) Z = (6,8 - 3) / 1 = 0,7

X = 111 con X ∼ N (100,10) Z = (111 - 100) / 10 = 1,1

X = 131,25 con X ∼ N (150,15) Z = (131,25 - 150) / 15 = - 1,25

X = -11 con X ∼ N (-10,5) Z = (-11 + 10) / 5 = -0,8

6.4. Ricavo X dai valori di Z con formula

Z = 1,15 con X ∼ N (190,25) X = 190 + 1,15 * 25 = 218,75

Z = -0,25 con X ∼ N (3,1) X = 3 - 0,25 * 1 = 0,5

Z = 2,1 con X ∼ N (100,10) X = 100 + 2,1 * 10 = 121

Z = -0,7 con X ∼ N (150,15) X = 150 - 0,7 * 15 = 139,5

Z = -1,75 con X ∼ N (-10,5) X = -10 - 1,75 * 5 = -18,75

6.5. Calcolo probabilità e calcolo Zp

(X ≥ 233,75) con X ∼ N (190,25)

Z = (233,75 - 190) / 25 = 1,75

p(Z ≥ 1,75) = 0,5 + 0,460 = 0,960