Statistica economica - Appunti

Modelli di serie storiche

Approccio classico

Modelli di composizione, componenti:

Trend: è la tendenza di fondo del fenomeno considerato, riferita ad un lungo periodo di tempo. (Ex: PIL italiano, la crescita di lungo periodo del 3%)

Ciclo: è costituito dalle fluttuazioni attribuibili al succedersi nel fenomeno considerato di fasi ascendenti e di fasi discendenti, generalmente collegate con le fasi di espansione e di contrazione dell’intero sistema economico. (Ex: PIL italiano, fasi di boom economico contrapposte a fasi di recessione)

Stagionalità: è costituita dai movimenti del fenomeno nel corso dell’anno che, per effetto dell’influenza di fattori climatici e sociali, tendono a ripetersi in maniera pressoché analoga nel medesimo periodo (mese o trimestre). (Ex: PIL italiano, nel mese di Agosto tutte le grandi fabbriche sono chiuse)

Componente accidentale: come nel modello di regressione, anche nei modelli di serie storiche non vi è mai una relazione perfetta tra la variabile sotto osservazione e le diverse componenti, la componente accidentale tiene conto di questo e del comportamento non perfettamente prevedibile degli agenti economici.

Tipi di composizione:

• Additività
• Moltiplicatività
• Misto

1) Ipotesi di indipendenza tra le componenti

Modello additivo:    Z T C S at t t t t

2) Non indipendenza tra le componenti

Modello moltiplicativo:    Z T C S at t t t t

Il caso 2) si riduce al caso 1) considerando i logaritmi, cioè:

   log Z log T log C log S log at t t t t

3) Modello misto:    Z T S C at t t t t

Pregi:

• Semplicità
• Serie anche corte
• Prima approssimazione

Difetti:

• Pluralità di soluzioni
• Assunzione modellistica troppo rigida
• Visione settorizzata

Il trend

2802402001601208040 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

Il trend di una serie storica è la tendenza di fondo del fenomeno nel lungo periodo. Si caratterizza per un’evoluzione lenta e regolare nel tempo. In genere è rappresentabile mediante una qualche funzione del tempo da stimare. n{ }

Data una serie storica per la quale ipotizziamo un modello del tipo y t t 1 2:Y f ( t ) WN (0, )e e s  (1.)t t t e

Supponiamo per la nostra analisi che la parte sistematica f(t) della serie sia composta dal solo trend.

Come si rappresenta f(t)?

Procedure di smoothing

1. Trend lineare o linearizzabile nei parametri

Tali trend sono stimabili attraverso le procedure derivate dal modello di regressione lineare.

Trend polinomiale: 2 qf ( t ) t t ... ta a a a    0 1 2 q

La (1.) diventa il modello di regressione lineare:

2 qa a a a ey t t ... t t 1,2,..., n      t 0 1 2 q t

Che può essere espressa in forma matriciale:

a ey P 

con a ey é ùé ù é ù01 1ê úê ú ê úa ey ê úê ú ê ú12 2a ey , ,  ê úê ú ê ú⋮⋮ ⋮ê úê ú ê úa eyê ú ê úê úë û ë ûë ûqn ne 2 qé ù⋯1 1 1 1ê ú2 q⋯1 2 2 2ê úP ê ú⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ê ú2 qê ú⋯1 n n në û

E stimata con il metodo dei minimi quadrati, dal quale si ottengono le stime del vettore a:

1-ˆa (P ' P ) P ' y

ATTENZIONE: il polinomio stimato può essere usato a fini interpolativi, ma deve essere usato con molta cautela per fini previsivi.

L’ordine q del polinomio dipende dal comportamento di fondo della serie storica. Di solito si sceglie q abbastanza piccolo perché altrimenti si perdono gradi di libertà.

I più usati sono:

q 0 Y trend costantea e  t 0 t

q 1 Y t trend linearea a e   t 0 1 t

q 2 Y t t trend parabolicoa a a e    t 0 1 2 t

Come scegliere q?

A. Criterio delle differenze successive

Indichiamo B l’operatore ritardo che trasforma la serie y in t y =B y .t-1 th

Per cui B y =yt t-h0

Definiamo B =I operatore identità (lascia immutata la serie) Iy =yt t

Si chiama operatore differenza prima all’indietro (I-B) per il quale

(I-B)y = y - yt t t-1

L’operazione differenza prima su di un polinomio ne riduce il grado q.

In generale se f(t) è un polinomio di grado q, (I-B) f(t) è costante.

Es. f ( t ) ta a 0 1

(I B )f ( t ) f ( t ) f ( t 1)-  - -

t ( t 1)a a a a a  - - - 0 1 0 1 1

Tale risultato può essere utilizzato per individuare il trend polinomiale. Si calcolano le differenze successive della serie, arrestando l’operazione per un certo valore r per il quale la serie (I-B) y sia approssimativamente t costante.

ATTENZIONE: L’operatore B fa sentire i suoi effetti sulla componente accidentale ε , aumentando marcatamente la varianza della serie. t

680400-40-80-120 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 Y

B. Il confronto tra 2R

Come è noto dalla regressione, l’aggiunta di una nuova variabile nel modello provoca un aumento del coefficiente di determinazione lineare R².

Dunque se indichiamo con R il coefficiente di determinazione lineare 2r+1 calcolato su una regressione polinomiale di grado r, ed R il coefficiente di determinazione lineare calcolato su una regressione polinomiale di grado r+1, si ha sempre R R . Non è invece detto che ciò accada per il coefficiente corretto .2r 2r+1≤ 2R

Dunque in tal senso un criterio di scelta del grado del polinomio è: si sceglie un grado r se , altrimenti si procede con la ricerca. R R³r r 1

Inoltre è utile verificare la significatività del coefficiente associato all’ultimo regressore introdotto.

Es.

Trend esponenziale

Adatto a fenomeni caratterizzati da una crescita nel tempo “esplosiva”.

a t1 (2.)af ( t ) e 0

Con α >0 e l’andamento dipende da α0 1

La derivata della 2. rappresenta il tasso di crescita della curva al tempo t.

df ( t ) a/ f ( t ) 

Il tasso di crescita relativo è costante.1dt0,1tf ( t ) 0,1e

Es. 20181614121086420 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

La trasformata logaritmica della 2. è la retta α + αlog f(t)=log t0 1

Dunque α(I-B)logf(t) = 1

Possiamo utilizzare queste caratteristiche per individuare una curva con trend esponenziale.

8543210 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52-1-2 e

Sfruttando la trasformazione è possibile stimare i parametri α α0 1

Per far questo bisogna però utilizzare un modello di tipo moltiplicativo:

a te a ey f ( t ) e ×  ×1t t 0 t

da cui a a elog y log t log  t 0 1 t

* *a a et  0 1 t

ATTENZIONE: la stima è distorta E(y , anche la previsione risulta t distorta.

Se si utilizza la specificazione del modello additivo:

a ta ey e 1t 0 t

Non è lineare e non linearizzabile nei parametri. Utilizzando i minimi quadrati si ha un sistema non lineare nei parametri e la soluzione è raggiungibile solo per via iterativa.

2. Trend non lineare nei parametri: curve di crescita

Sono trend non riconducibili a quelli polinomiali in t; sono legati a fenomeni caratterizzati da crescite molto accelerate. Le curve utilizzate non sono più lineari nei parametri.

Curva esponenziale modificata

Tasso di crescita al tempo t direttamente proporzionale all’ammontare di crescita ancora da raggiungere.

kt-f ( t ) (1 e )a b -

• Con >0 determina l'intersezione della curva con l'asse verticale b
• >0 denota il valore limite di crescita ed è anche fattore di scala della funzione a
• k costante di proporzionalità che controlla la scala lungo l'asse dei tempi

Es. curva esponenziale modificata per vari valori di β

t-bf ( t ) 1 e -1,210,8 Β=0,80,6 Β=0,4Β=0,10,40,20 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Usualmente la curva si trova nella forma:

* tbf (t ) eb b  20 1 *

con 0 0 e k 0b a b ab b >  - <  - <0 1 2

Tale curva differisce da quella esponenziale semplice per la presenza della β costante o asintoto superiore .0

Non è linearizzabile tramite trasformazione logaritmica, tuttavia la β -f(t) è un’esponenziale linearizzabile e, conoscendo il differenza 0 valore dell’asintoto (spesso fissato dall’esterno), potremmo stimare i parametri come fatto in precedenza con la trasformazione logaritmica.

La curva logistica

In questo caso tasso di crescita direttamente proporzionale al prodotto tra il livello raggiunto e l’ammontare di crescita ancora da raggiungere (con k>0 fattore di proporzionalità e valore a>0 limite della crescita).

af ( t ) con >0b kt-1 eb

Da notare:

• Determina la scala della funzione; a
• k determina la scala lungo l’asse dei tempi cioè l’inclinazione della funzione;
• β determina il punto d’incontro della curva con l’asse verticale.

Es. f ( t ) 1/(1 e ) 1,210,8 Serie10,6 Serie2Serie30,40,20 7 10 4 1 4 7-8 -2 10 13 16-5-1 -1-2 -1

1,210,8 k=40,6 k=1k=1/40,40,20 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55

Prendendo il reciproco 1/f(t) e ridefinendo le variabili si ottiene una esponenziale modificata.

b1 1 kt-e a af ( t )

* * * kt-a bf ( t ) e 

La curva di Gompertz

{ }kt-f ( t ) exp e con >0a b b -

La curva ha una forma ad S allungata simile alla logistica (senza la simmetria attorno al punto di flesso). α, β e K hanno la stessa interpretazione di quelli nella logistica e logf(t) è un’esponenziale modificata.

Es. K=1a=11,210,8 Serie1Serie20,6 Serie3Serie40,40,20 0 64 2 0 4 8-4 16 20 24-8 12-2 -1-2 -1

1,210,8 B=1/8B=10,6 B=8B=640,40,20 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

La componente stagionale

Anche questa componente, come il trend, può essere stimata con il modello di regressione. Si rappresenta mediante una funzione periodica g(t).

╔ Si dicono periodiche quelle funzioni il cui valore all’istante t si riproduce esattamente ad intervalli costanti, la cui lunghezza s costituisce il periodo g(t)=g(t+s)=g(t+2s)=g(t+3s)=… s=4 serie trimestrale s=12 serie mensile ╝

Supponiamo che il processo sia del tipo +εY =St t t

Come si tratta tale componente nel modello di regressione?

Variabili ausiliarie dicotomiche (dummy)

A) Sg ( t ) d t=1,2,...,ng å j jtj 1

dove d è una variabile dummy: jt

1 nel periodo j-esimo dell'anno a cui appartiene t j=1,...,s

sì d  íjt

0 altrimenti t=1,...,n î

Nel caso di una s.s. trimestrale il modello associato è y Dg e 

dove 1 0 0 0é ùê ú0 1 0 0ê úê ú g0 0 1 0 é ù1ê ú ê úg0 0 0 1ê ú ê ú2D g ê ú ê úg1 0 0 0 3ê ú ê úg0 1 0 0ê ú ë û4ê ú⋮ ⋮ ⋮ ⋮ê ú0 0 0 1ê úë û

Al solito * 1-ˆ ( D ' D ) D ' yg

Dove i coefficienti stimati sono detti coefficienti grezzi di stagionalità.

Dunque la componente stagionale è data da *ˆ ˆg Dg

La serie destagionalizzata coincide con quella dei residui: *d *ˆy = y - D = eg

B) L’uso di funzioni trigonometriche

2 ipmS A cos( t )f -åt i isi 1

La componente stagionale è data dalla somma di m armoniche con s/i periodo.

• 2 ip frequenza angolare w i s
• A ampiezza i
• Angolo di fase fi

Ad es: per dati mensili s=12, la prima armonica (i=1)

1,510,50 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39-0,5-1-1,5

Completa il ciclo in 12 periodi.

Combinando tale modello con un trend polinomiale di grado q si ha:

mqy t ... t A cos( t )a a a w f e     - åt 0 1 q i i i ti 1

Che sfruttando l’identità trigonometrica diventa:

mqy t ... t cos t sen ta a a b w b w e      åt 0 1 q i 1 i i 2 i ti 1

b f b fCon e ×  ×A cos( ) A sin( )i1 i i i 2 i i

Che può essere comunque stimato con l’usuale metodo dei minimi quadrati.

Stima simultanea di trend e stagionalità

In forma matriciale: + Dγ + εy Pα [ ] εy P Dθ 

aé ùdove q  ê úgë û

Le cui stime sono:

1-ˆ P ' P P ' D P ' yaé ù é ù é ùê ú ê ú ê úˆ D ' P D ' D D ' ygë û ë û ë û

E la serie destagionalizzata si ottiene d ˆy y Dg -

Medie mobili

Quando siamo di fronte ad un fenomeno con un andamento molto irregolare che richiederebbe, dal punto di vista analitico, approssimazioni con polinomi di grado molto elevato, si può provare ad individuare la componente di fondo senza evidenziarne la legge sottostante.

Uno strumento utile a tal fine è la media mobile, utilizzata per stimare il trend, destagionalizzare ed eliminare o ridurre la componente erratica.

Data una serie storica per cui valga il modello additivo: +εY =T +St t t t

Dobbiamo trovare una trasformazione che, ad esempio, conservi il trend ed annulli le altre componenti. La media mobile consente tutto ciò.

La trasformazione della serie Y è una somma pesata dei valori della serie t originale corrispondenti ad istanti temporali intorno a t.

*y y y ... yJ J J   t m t m m 1 t m 1 m t m- - -  -  1 1 1 1 2 2

Cioè m2*y yJ åt i t ii m- 1

Il numero dei termini utilizzati (m +m +1) è detto ordine della media 1 2 mobile.

Può essere scritta anche attraverso l’operatore ritardo B:

mé ù2* i-y B y MyJ åê út i t të ûi m- 1

Ottenendo una combinazione lineare finita con pesi J di potenze successive di B. i

Se i pesi sono tutti uguali, si ha la media mobile semplice:

1J i m m 1 1 2

E se m m m 1 2

1 m*y y åt t i2m 1 i m-

Tale media mobile è detta centrata.

ES.

t 6 7 14 *Se m=1 …..y 9 1999 3

La media mobile gode della proprietà di composizione, cioè si  possono applicare più medie mobili ad una serie, anche in sequenza e cambiando l’ordine della loro applicazione ottengo lo stesso risultato.

 Una media mobile è simmetrica se è centrata e se sono uguali i coefficienti aventi indice simmetrico rispe