Statistica applicata - verifica di ipotesi

Verifica di ipotesi (teoria dei test statistici)

Cioè campionare i campioni mu, sigma per decidere se le congetture sono vere.

I nodi faremo i test parametrici su parametrico mu, sigma, N.

• Ipotesi nulla H₀ - status quo
• Ipotesi alternativa H_A

H_A è l'ipotesi mass. vera fino a prova contraria.

Scopo è decidere se rifiutare l'ipotesi nulla H₀ a favore dell'ipotesi alternativa H_A.

• H₀: θ ∈ {θ₀}
• H_A: θ ∈ {θ_A}
• Spazio parametrico θ

Esempio

• H₀: μ < 3400
• H_A: μ > 3400
• Ipotesi può essere semplice specifica completamente i parametri di primo livello
• Composta

Esempio

• H₀: μ = 5 semplice
• H_A: μ > 5 composta
• [Una] ipotesi composta
• Unidirezionale [o destra or sinistra μ>5 or < 0]
• Bidirezionale [due i interventi] μ = 5 [di più estraribile der.];

Struttura delle ipotesi

• {H₀: θ = θ₀}
• {H_A: θ ≠ θ₀}
• {H₀: θ ≤ θ₀}
• {H_A: θ > θ₀}
• {H₀: θ ≥ θ₀}
• {H_A: θ < θ₀}
• Test nullo media
• {H₀: θ < θ₀}
• {H_A: θ ≥ θ₀}

Rifiuto di ipotesi

Guide realizzazione campionarie che conducono a rifiuto.

Campo numerico dello spazio campo campionario.

Lascia opposto della regione di accettazione.

Statistica di test (o test statistici) → valore calcolato [ottenuto dai calcoli].

L'antei cui distribuzione sia nota sotto H₀.

Dalla stati test ricaviamo il valore critico: valore stati test di cui coincide valore di probabilità.

Verifica di ipotesi (teoria dei test statistici)

Giudizi campione casuale utile per decidere se le congetture sono V o F.

• H₀ - status quo
• H_A - ipotesi alternativa

H₀ → l'ipotesi più vera fino a prova contraria.

Scopo è decidere se rifiutare l'ipotesi nulla a favore dell'ipotesi alternativa H_A.

• H₀: Θ ∈ ω₀
• H_A: Θ ∉ ω₀

1. Formulazione di ipotesi

Esempio.

• H₀: μ
• H_A: μ > 3,400
• Ipotesi composita
• Unidirezionale
• Bidirezionale

Struttura delle ipotesi

• H₀: Θ = Θ₀
• H_A: Θ ≠ Θ₀

2. Regione di rifiuto

Guida le realizzazioni campionarie che conducono a rifiutare H₀.

Statistica test (o test statistico) valore calcolato.

Regione di rifiuto.

Valore critico.

T(X) ≥ k_α → rifiuto H₀ poiché θ₁ ricade nell'area di rifiuto.

Stat.Test valore critico → dipende dalla distribuzione.

T(X) < k_α → accetto H₀.

Regione di rifiuto unilaterale dx

• H₀ : θ = θ₀
• H₁ : θ > θ₀, con θ₁ > 0
• T(X) ≥ k_α → rifiuto H₀

Regione di rifiuto unilaterale sx

• H₀ : θ = θ₀
• H₁ : θ < θ₀, con θ₁ < 0
• T(X) ≤ k_α → rifiuto H₀

Regione di rifiuto bilaterale

• H₀ : θ = θ₀
• H₁ : θ ≠ θ₀
• T(X) ≤ k_2α oppure T(X) ≥ k₂ → rifiuto H₀

Dove é la regione di rifiuto.

3. Errori di I e II tipo

Quando m preduzioni derivate è sempre possibile incorrere in errori.

• I tipo → rifiuto H₀ quando è vera
• II tipo → accetto H₀ quando è falsa

Accetto H₀ corretto.

Non nullo.

H₀ V.

H₀ F.

• Errore I tipo α
• Errore II tipo β
• Probabilità errore I tipo α
• Probabilità errore II tipo β

P (μ₁ errore max ottimo.

Valore critico Punto a dx ↕ α a sx ↔.

Livello di significatività del test.

α è molto valore molto piccolo per ridurre la px all'errore.

Potenza del test.

Livello di confidenza.

Rapporto di x = x V = β.

Non posso avere un test con entrambe piccole.

C cosa fare?

Premesso x.

Cerco un test che minimizzi l'errore di tipo β.

Questo test è massimamente potente se x = 0,05 x = 0,01 x = 0,10.

Procedura finale

• Definisco ipotesi da ipotesi
• Formula della regola di aggiunto del dato
• Scelgo a proprio aggiunto livello di significatività ×
• Calcolo significativo
• G valore critico ↔
• Trovo t = T(x) valore calcolato
• Responso: rifiuto H₀ o confermo H₀

Esempio pop Bernoulli

Esempio pop Bernoulli (π = 6).

• H₀: θ = 0,20
• H_A: θ = 0,30
• n = 10
• t = Σ X_i = j stat test
• X_i dove X_i: Bernoulliano
• Bin(10, θ)
• μ = k = 3
• μ_t tale che t cada nulla regione di rifiuto | p che t = 3

Complimentare | α = P(t ≤= 0) + P(t ≤= 1) + P(t ≤= 2) = 1 - P(0,2)(9,10,8,...).

p = 0,322.

Esempio gaussiane

Esempio gaussiane N (μ₀, σ² ) con σ nota.

• H₀: μ = 4,8
• H_A: μ > 4,8 → test unilaterale dx

Povero x = Σ x_i ⟶ ^{−X̄ − H₀}// _σ/√n - ^{X̄ − H₀} // _σ/√n - ^{X̄ − H₀} // _σ/√n - P( ^{2 X̄ − H₀} // _σ/√n).

Normale (0,1).

Standard error.

p = P(X ² x₂ ^P) = 0,344.

No tavole non c'è ^{x > 0,055}.

Errore.

Trovo p | P(X ≥ X₂ | ) = 0,3405.

x ^{α = 0,023}.

p-value→ livello di probabilità osservato.

p ottenere un valore del test almeno tanto estremo.

RR unilat.

p-value = P (X) = P_r(T(X) ≥ t(X₀) H₀.

p-value = Pr T(X) ≤ t(X₀) H₀.

t(X) ^{≤, t,} z, significato.

lib, p-value.

controllo di ads non.

RP bilaterale.

p-value = 2 P ^T(X)t(x) 6 t(X).