Vacca - Statistica per le decisioni economiche

Esercitazioni Prof. Vacca

• Introduzione 2
• Procedure inferenziali 14
• R2 e verosimiglianza 20
• Applicazione del modello e bontà di adattamento 40

Introduzione

Pagina 1 28/04/2021

Il primo obiettivo quando si parla di regressione lineare è quello di studiare la relazione tra una variabile esogena X e una variabile endogena Y.

Questa relazione è contaminata da un termine di errore che indicheremo con ε perché si presume che ci siano cose che la relazione lineare non riesce a cogliere e quindi tutto ciò che la relazione lineare non riesce a cogliere sta in questo termine di errore.

L’obiettivo secondo il procedimento dei minimi quadrati ordinari è trovare una retta che minimizza l’errore complessivo. Nella fattispecie quello che si fa è minimizzare per α e per β una funzione di perdita che dipende da ε cioè la somma per le n osservazioni dove i va da 1 fino a n dei residui al quadrato. Siccome questo dipende direttamente dai coefficienti allora posso minimizzare questa funzione rispetto ai parametri di interesse quindi rispetto ad α e β.

Si chiama minimi quadrati perché la funzione di perdita è quadratica, infatti, ho una potenza al quadrato.

Questa funzione di perdita viene minimizzata attraverso un processo matematico di minimizzazione quindi si calcolano le derivate prime rispetto ad α e β.

La stima di β è pari alla covarianza tra x e y diviso la varianza di x, mentre l’intercetta è pari alla media di y meno β per la media di X.

Finora non abbiamo detto niente circa il fatto di avere un campione casuale, infatti, quanto detto finora funziona anche a livello di popolazione.

Una volta ottenute queste stime possiamo dividere il problema in due parti.

Abbiamo X ed Y, disegniamo dei punti e vediamo che la retta dei minimi quadrati passa in mezzo a quei punti.

In corrispondenza dello stesso valore X osservato ho due quantità: la prima è Y cioè il valore osservato, la seconda è il valore in corrispondenza della retta quindi Y stimato ed ho anche la discrepanza tra i due punti che è e cioè il residuo dato dalla differenza da valore osservato e valore stimato.

Dataset e applicazione pratica

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Il dataset a cui facciamo riferimento è nei file Gretl ed è: Engel’s income and food expenditure data.

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Applichiamo quanto abbiamo detto nella pratica e prendiamo il dataset.

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Qui mettiamo nella X income e nella Y foodexp.

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In questo grafico ci sono dei problemi che risolveremo più avanti perché come vediamo abbiamo una concentrazione dei punti all’inizio.

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Mettiamo nella variabile dipendente foodexp, nella variabile indipendente income più la costante ed ottengo queste stime.

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Partiamo dall’intercetta cioè da α che è il valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0 quindi se torniamo al nostro dataset vuol dire che per un income pari a 0 la spesa per cibo è pari a 147.

αPartiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in coαPartiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in corrispondenza di X uguale aαPartiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in corrispondenza di X uguale quindi se torniamo al nostro dataset vuol dire che per unαPartiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0 quindi se quindi se torniamo al nostro dataset vuol dire che per un income pari a 0 la spesa pquindi se torniamo al nostro dataset vuol dire che per un income pari a 0 la spesa cibo è pari a 147.torniamo al nostro dataset vuol dire che per un income pari a 0 la spesa per cibo è pari a 147.cibo è pari a 147.cibo è pari a 147.

Questa cosa può avere senso oppure no nella realtà dipende da che cosa sto considerando. Per esempio se analizziamo il salario con anni di esperienza lavorativa e l’età dell’individuo vediamo che porre l’età dell’individuo non ha senso.

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Interpretazione dell’intercetta e del coefficiente angolare

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Ci sono situazioni in cui porre uguale a 0 la variabile non ha senso e quindi in questi casi si crea una nuova variabile che è pari alla variabile meno la sua media e si rifà il modello.

Ci sono situazioni in cui porre uguale a 0 la variabile non ha senso e quindi in questi una nuova variabile che è pari alla variabile meno la sua media e si rifà il casi si crea una nuova variabile che è pari alla variabile meno la sua media e si rifà il modello.

Adesso l’intercetta di β è sempre il valore di Y in corrispondenza di X =0 e X *=0 dove X * significa X pari alla sua media.

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Questa è una prima accortezza più pratica quando si analizzano i dati che di solito quando si fa la teoria viene un po' tralasciata perché la si dà per scontato.

Questa è una prima accortezza più pratica quando si analizzano i dati che di solito quando si fa dove X * significa X pari alla sua media.2 2 la teoria viene un po' tralasciata perché la si dà per scontato. Questa è una prima accortezza più pratica quando si analizzano i dati che di solito quando si fa la teoria viene un po' tralasciata perché la si dà per scontato.

Quando si passa al coefficiente angolare della retta quindi alla pendenza questa è pari a 0.485 quindi passo a β. Come si ragiona quando si commenta il coefficiente angolare?

Quando si passa al coefficiente angolare della retta quindi alla pendenza questa è pari a 0.485 quindi passo a β. Come si ragiona quando si commenta il coefficiente angolare?

Suppongo di passare da X a X+1 in termini di equazione. La differenza quindi il passo in avanti è stato di un’unità. Il passo avanti di Y è dato dalla differenza e quindi rimane β il che significa che aumentando di un’unità la X succede che la Y aumenta di β. In altri termini β è interpretabile come l’incremento di Y a fronte di un incremento unitario di X quindi la mia X aumenta di 1 allora la mia Y aumenta di β.

Suppongo di passare da X a X+1 in termini di equazione. La differenza quindi il passo quindi passo a β. Come si ragiona quando si commenta il coefficiente angolare? in avanti è stato di un’unità. Il passo avanti di Y è dato dalla differenza e quindi Suppongo di passare da X a X+1 in termini di equazione. La differenza quindi il passo in avanti è rimane β il che significa che aumentando di un’unità la X succede che la Y aumenta di stato di un’unità. Il passo avanti di Y è dato dalla differenza e quindi rimane β il che significa che β. In altri termini β è interpretabile come l’incremento di Y a fronte di un incremento unitario di X quindi la mia X aumenta di 1 allora la mia Y aumenta di β. aumentando di un’unità la X succede che la Y aumenta di β. In altri termini β è interpretabile come l’incremento di Y a fronte di un incremento unitario di X quindi la mia X aumenta di 1 allora la mia Y aumenta di β.

Un altro modo per chiamare β è il cosiddetto effetto marginale cioè quanto varia la Y se faccio variare la X? È la derivata di X rispetto a Y dove derivata vuol dire incremento di Y quando vado a toccare la X.

Un altro modo per chiamare β è il cosiddetto effetto marginale cioè quanto varia la Y se faccio variare la X? È la derivata di X rispetto a Y dove derivata vuol dire incremento di Y quando vado a toccare la X.

Nel caso del modello lineare rimane β che è proprio l’effetto marginale. Ci sono situazioni in cui questa cosa non vale più.

Nel caso del modello lineare rimane β che è proprio l’effetto marginale. Ci sono situazioni in cui questa cosa non vale più.

Passando al caso pratico che abbiamo visto prima se aumento income di 1 unità metà di quello che viene guadagnato in più cioè 0.485 viene speso in alimenti.

Passando al caso pratico che abbiamo visto prima se aumento income di 1 unità metà di quello che viene guadagnato in più cioè 0.485 viene speso in alimenti.

Problema del modello e trasformazioni

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Il modello espresso in questo modo è problematico, infatti, tutte le misurazioni sono sul semiasse positivo. Ma perché è un problema?

Questo è un problema perché quando nella fase successiva si va ad applicare le tecniche inferenziali una delle ipotesi fondanti è che la variabile Y sia una distribuzione normale, la quale ha come dominio tutta l’asse reale. Quindi avendo come dominio tutta l’asse reale vediamo che questo caso qua non è coerente con questa ipotesi della distribuzione normale.

Il modello espresso in questo modo abbiamo già anticipato che è problematico, infatti, tutte le misurazioni sono sul semiasse positivo. Ma perché è un problema? Questo è un problema perché quando nella fase successiva si va ad applicare le tecniche inferenziali una delle ipotesi fondanti è che la variabile Y sia una distribuzione normale, la quale ha come dominio tutta l’asse reale. Quindi avendo come dominio tutta l’asse reale vediamo che questo caso qua non è coerente con questa ipotesi della distribuzione normale.

Vogliamo che la Y sia lungo tutta l’asse reale e non solo lungo il semiasse positivo. Come fare?

Esistono delle trasformazioni opportune.

Quindi quello che vogliamo è che la Y sia lungo tutta l’asse reale e non solo lungo il semiasse positivo. Come fare? Esistono delle trasformazioni opportune per fare queste cose.

Possiamo notare come ci sia una forte concentrazione nella parte iniziale e poi abbiamo dispersione nella parte finale. Siccome si parla di reddito e di spesa abbiamo sempre un fattore di simmetria quindi molte delle distribuzioni economiche anche come i salari sono molto concentrati nella parte iniziale del grafico.

Il modello e abbiamo già problematico misurazioni solo lungo il semiasse positivo. Ma perché è Questo è un problema perché quando nella fase successiva tecniche inferenziali una delle ipotesi fondanti è che la varia normale, la quale ha come dominio tutta l’asse reale. Quind tutta l’asse reale vediamo che questo caso qua non è coere distribuzione normale. Quindi quello che vogliamo è che la Y sia lungo tutta l’asse semiasse positivo. Come fare? Esistono delle trasformazioni opportune per fare queste cos Possiamo notare come ci sia una forte concentrazione nella abbiamo dispersione nella parte finale. Siccome si parla di sempre un fattore di simmetria quindi molte delle distribuz come i salari sono molto concentrati nella parte iniziale del.

Se facciamo ad esempio l’istogramma abbiamo una forte asimmetria dei dati perché abbiamo una grossa coda sulla destra. Per questo motivo si deve attuare una trasformazione che sposti il baricentro di questa variabile in modo tale che la distribuzione normale funzioni meglio.

Se facciamo ad esempio l’istogramma abbiamo una forte abbiamo una grossa coda sulla destra. Per asimmetria dei dati perché abbiamo una grossa coda sulla questo motivo si deve attuare una trasformazione che sposti il baricentro di destra. Per questo motivo si deve attuare una questa variabile in modo tale che la trasformazione che sposti il baricentro di questa variabile distribuzione normale funzioni meglio. in modo tale che la distribuzione normale funzioni meglio. Se facciamo ad es abbiamo una forte abbiamo una grosso questo motivo si d trasformazione ch questa variabile in distribuzione norm.

Per fare questo quello che si fa è una trasformazione logaritmica o sulla X, o sulla Y oppure su entrambe.

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Modelli trasformati

Adesso analizzeremo i modelli trasformati. Qui in questi modelli vogliamo che i nostri dati siano più vicini alla condizione di normalità, condizione che ci serve per fare inferenza statistica e per risolvere questo problema trasformo in logaritmo.

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Modelli trasformati Modelli trasformati trasformazione logAdesso analizzeremo i modelli trasformati. Qui in questi modelli vogliamo che i nostri Adesso analizzeremo i modelli trasformati. In questi modelli vogliamo che i nostri dati siano più dati siano più vicini alla condizione di normalità, condizione che ci serve per fare vicini alla condizione di normalità, condizione che ci serve per fare inferenza statistica e per inferenza statistica e per risolvere questo problema trasformo in logaritmo. Si parla di risolvere questo problema trasformo in logaritmo. Si parla di modelli trasformati. Per fare questo modelli trasformati. Per fare questo quello che si fa è una trasformazione logaritmica o sulla X, o sulla Y oppure su entrambe. quello che si fa è una trasformazione logaritmica o sulla X, o sulla Y oppure su entrambe.

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Primo modello trasformato: trasformazione della Y in logaritmo

Primo modello trasformato: trasformazione della Y in logaritmo.

Il primo dei modelli trasformati che vediamo è quello in cui trasformo in logaritmo la Y. Cosa succede se calcolo l’effetto marginale in questa equazione?

Primo modello trasformato Cosa succede se calcolo l’effetto marginale in questa equazione?

Devo fare la derivata di Y su X quindi quello che faccio adesso è tornare all’equazione originaria e fare l’esponenziale. Quindi se facciamo derivata di X rispetto a Y ottengo l’esponenziale stesso che moltiplica β.

L’effetto marginale non è più β, ma è qualcos’altro. Si isola β e vediamo che la X ha incremento unitario, ma la Y ha un incremento che non è unitario, ma è relativo.

Il parametro β non lo possiamo più commentare come prima, ma va adattato.

β è l’incremento percentuale di Y a fronte di un incremento unitario di X.

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Il primo dei modelli trasformati che vediamo è quello in cui trasformo in logaritmo la Y. Cosa succede se calcolo l’effetto marginale in questa equazione?

Devo fare la derivata di Y su X quindi quello che faccio adesso è tornare all’equazione originaria e fare l’esponenziale. Quindi se facciamo derivata di X rispetto a Y ottengo l’esponenziale stesso che moltiplica β.

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L’effetto marginale non è più β, ma è qualcos’altro. Si isola β e vediamo che la X ha incremento unitario, ma la Y ha un incremento che non è unitario, ma è relativo.

Qui il parametro β non lo possiamo più commentare come prima, ma va adattato.

β è l’incremento percentuale di Y a fronte di un incremento unitario di X.

Incremento unitario, ma la Y ha un incremento che non è unitario, ma è relativo. Qui il parametro β non lo possiamo più commentare come prima, ma va adattato. β è l’incremento percentuale di Y a fronte di un incremento unitario di X.

Applicazione del primo modello trasformato

Qui abbiamo fatto un nuovo modello. Se andiamo al caso pratico, creo una nuova variabile e stimo un modello in cui la variabile dipendente è log di foodexp e la variabile indipendente è income.

Abbiamo fatto un nuovo modello. Se andiamo al caso pratico, creo una nuova variabile e stimo un modello in cui la variabile dipendente è log di foodexp e la variabile indipendente è income.

Qui abbiamo fatto un nuovo modello. Se andiamo al caso pratico, creo una nuova variabile e stimo un variabile e stimo un modello in cui la variabile dipendente è log di foodexp e la modello in cui la variabile dipendente è log di foodexp e la variabile indipendente è income. variabile indipendente è income.

Partiamo dalla pendenza. Se aumento di una unità la disponibilità economica, il mio income, la spesa per cibo aumenta dello 0.06615% quindi qui ho un incremento percentuale.

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Anche la costante va rimodulata. Se pongo a 0 la X allora si ottiene logY uguale ad α che è la costante che ho stimato.

Ma attenzione che adesso la costante non è più quel valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0, ma è quel valore di logY in corrispondenza di X uguale a 0.

Quindi se devo tornare indietro nel ragionamento devo fare l’esponenziale quindi devo fare exp5.70349 ed ottengo 300.

Anche la costante va rimodulata. Se pongo a 0 la X allora si ottiene logY uguale ad α che è la costante che ho stimato. Ma attenzione che adesso la costante non è più quel valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0, ma è quel valore di logY in corrispondenza di X uguale a 0. Quindi se devo tornare indietro nel ragionamento devo fare l’esponenziale quindi devo fare exp5.70349 ed ottengo 300.

Anche la costante va rimodulata. Se pongo a 0 la X allora si ottiene logY uguale ad α Anche la costante va rimodulata. Se pongo a 0 la X allora si ottiene logY uguale ad α che è la che è la costante che ho stimato. Ma attenzione che adesso la costante non è più quel valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0, ma è quel valore di logY in costante che ho stimato. Ma attenzione che adesso la costante non è più quel valore di logY in corrispondenza di X uguale a 0.