Statica (teoria)

Definizione di vincolo e classificazione (cinematica)

Il vincolo è un dispositivo meccanico atto a limitare le possibilità di movimento dei punti del corpo cui è applicato. Un vincolo è esterno se collega il corpo al suolo e limita gli spostamenti assoluti; mentre è interno se collega tra loro due o più corpi e limita gli spostamenti relativi. Il vincolo dunque riduce i gdl di un corpo, più precisamente un vincolo di molteplicità m abbassa di m unità il numero dei gdl del sistema.

Classificazione dei vincoli piani esterni (cinematica)

Nel caso di vincoli piani interni che collegano due corpi, le prestazioni diventano:

• Carrello → MA₂ - MA₁ = 0
• Cerniera → MA₂ - MA₁ = 0 VA₂ - VA₁ = 0
• Glifo → VA₂ - VA₁ = 0 Θ₂ - Θ₁ = 0
• Incastro → MA₂ - MA₁ = 0 VA₂ - VA₁ = 0 Θ₂ - Θ₁ = 0
• Bipendolo → Θ₂ - Θ₁ = 0

Definizione di vincolo e classificazione (cinematica)

Il vincolo è un dispositivo meccanico atto a limitare le possibilità di movimento dei punti del corpo cui è applicato. Un vincolo è esterno se collega il corpo al suolo e limita gli spostamenti assoluti; mentre è interno se collega tra loro due o più corpi e limita gli spostamenti relativi. Il vincolo dunque riduce i gdl di un corpo, più precisamente un vincolo di molteplicità m abbassa di m unità il numero dei gdl del sistema.

Classificazione dei vincoli piani esterni (cinematica)

Nel caso di vincoli piani interni che collegano due corpi, le prestazioni diventano:

• Carrello → UA2 - UA1 = 0
• Cerniera → UA2 - UA1 = 0; VA2 - VA1 = 0
• Glifo → VA2 - VA1 = 0; θ2 - θ1 = 0
• Incastro → UA2 - UA1 = 0; VA2 - VA1 = 0; θ2 - θ1 = 0
• Bipendolo → θ2 - θ1 = 0

Mentre per quanto riguarda il calcolo della molteplicità si ha:

m = M (n - 1)_{molteplicità vincolo}

Definizione di vincolo e classificazione (statica)

Nella statica a ciascun vincolo è associato un particolare comportamento statico. Se il vincolo è indipendente dal tempo, bilaterale e liscio le reazioni prodotte sono di intensità qualsiasi e dirette secondo le componenti di spostamento impedite. Un vincolo di molteplicità m applica m reazioni vincolari indipendenti. Quello che dunque cambia tra una classificazione cinematica e una statica è la prestazione e otteniamo per vincoli esterni:

Quando i vincoli sono interni e collegano due corpi le reazioni vincolari hanno verso opposto, ma uguale intensità:

Le distorsioni

Sono un cedimento rappresentato dallo spostamento relativo tra due parti di uno stesso corpo, tra le quali vi è un vincolo di continuità. Le distorsioni quindi possono essere identificate come cedimenti di vincoli interni di continuità.

• Distorsione Δu
• Distorsione Δv
• Distorsione Δθ

Il problema cinematico

Risponde alla seguente esigenza: assegnati i cedimenti vincolari determina se esistono le configurazioni compatibili del sistema. Il problema è governato dalle equazioni

∑_l=1ⁿ a_i u_i = s

∑_l=1ⁿ a_k u_i = s_k (k=1,2,...,m)

Esprimibili attraverso la forma matriciale Au=s dove

• A = matrice di congruenza del sistema, ha dimensioni m x n
• u = vettore degli spostamenti generalizzati, ha dimensioni n x 1
• s = vettore dei cedimenti vincolati noti, ha dimensioni m x 1

Le condizioni sotto cui il problema cinematico u=A^ts ammette soluzioni sono fornite dal teorema di Rouche-Capelli:

Dato un sistema d'equazioni lineari Ax=b l'esistenza della soluzione dipende da

• m = numero di equazioni (righe di A)
• n = numero di incognite (colonne di A)
• p = rango di A

p = m Il sistema è risolvibile, compatibile, ammette sempre soluzioni.

In questo caso se m=n abbiamo una sola soluzione e il sistema si dice determinato.

Se n > m abbiamo ∞^n-m soluzioni e il sistema si dice indeterminato.

< m Il sistema non è risolvibile, non è compatibile, è impossibile.

Non ammette soluzione, fatta eccezione per alcuni termini noti.

CNES perché il sistema Ax=b ammetta soluzione è che il termine noto sia ortogonale di ogni soluzione del problema trasposto.

Classificazione dei sistemi di corpi rigidi

p = m = n

Sistema cinematicamente determinato o isocinematico. Il problema cinematico ammette una e una sola soluzione.

p Sistema cinematicamente degenere. Il problema cinematico generalmente non ammette soluzioni. Nel caso in cui le ammette le soluzioni sono ∞^m–p.

p = m Sistema cinematicamente indeterminato o labile. Il numero delle incognite è maggiore delle equazioni. Il sistema è indeterminato e ammette ∞^n–m soluzioni.

p = m > n

Sistema cinematicamente impossibile o ipocinematico. Il problema cinematico non ammette soluzioni.

Esempio di sistema isocinematico - trave incastrata

n = 3

m = 3

Esempio di sistema degenere - arco a tre cerniere allineate

n = 6

m = 2

Esempio di sistema ipercinematico - trave con bielle

n = 3

m = 2

Esempio di sistema ipercinematico - trave con cerniere

n = 3

m = 4

Formula generale dello spostamento rigido

μ_p = ρρ' - 0

ρ = ρρ' il generico spostamento del corpo può essere espresso come somma di una traslazione μ₀ e di una rotazione Θ' ottenendo μ_p = μ₀ + (cos Θ_e - 1) cρ + sen Θ_e x cρ

Nel caso di spostamenti rigidi infinitesimi abbiamo che la FGSR si scrive:

• Cos Θ = 1
• Sen Θ = Θ → μ_p = μ₀ + Θ x 0PN

Nel piano lo spostamento rigido si esprime:

{ u } = { μ₀ } + [ 0 - Θ ] { x }

{ v } { ν₀ } [ Θ 0 ] { y }

Esso è // al piano x, y (in questo caso non considero la componente - z). Nello spazio invece si esprime:

{ μ } = { μ₀ } + [ 0 -Θ_z Θ_y ] { x }

{ ν } { ν₀ } [ Θ_z 0 -Θ_x ] { y }

{ ω } { ω₀ } [ -Θ_y Θ_x 0 ] { z }

Notiamo perciò che nel piano ω = 0.

Affinché ω = 0 per qualunque punto

Ogni spostamento rigido piano è individuato perciò da tre soli spostamenti generalizzati:

μ = { μ_o, ν_o, Θ }^T

Formula dello spostamento rigido nel piano

Equazioni cardinali della statica

Un corpo rigido soggetto a forze esterne F_k = F_k(P,V) rimane in quiete se e solo se:

• Il corpo è in equilibrio nel punto P_c
• I punti hanno velocità nulla V = 0 t = 0

{∑_k F_k (P_c, 0) = 0

Equazione di equilibrio alla traslazione

∑_k OP_k x F_k(P_c, 0) = 0

Equazione di equilibrio alla rotazione

Assegnate le forze attive F_k, indipendenti dalla posizione e dalla velocità, le equazioni cardinali della statica si scrivono:

{∑_k F_k = 0

∑ OP_k x F_k = 0

Problema statico

Si preoccupa di, una volta assegnate le forze attive, determinare se esistono gli stati reattivi equilibrati.

Il problema è governato dalle equazioni cardinali della statica

∑_k F_k = 0

∑_k O_Pk x F_k = 0

Che devono essere soddisfatte per ciascun corpo del sistema

∑_h R_h + ∑_k F_k = 0

∑_h O_iP_h x R_h + ∑_k O_iP_k x F_k = 0

Da cui si ottiene Br + F = 0

• B = matrice di equilibrio del sistema, ha dimensioni l x m
• r = vettore colonna di lunghezza m
• f = vettore di lunghezza n

Le condizioni sotto cui il problema statico ammette soluzioni sono fornite dal teorema di Rouché-Capelli:

Dato un sistema di equazioni lineari Ax = b l'esistenza della soluzione dipende da:

• m = numero di equazioni
• n = numero di incognite
• p = rango di A

p = m

Il sistema è risolvibile, compatibile, ammette sempre una soluzione.

Per m = n il sistema è determinato e ammette una e una sola soluzione.

Per m n-m soluzioni

p Il sistema non è risolvibile, non è compatibile, non ammette soluzioni fatta eccezione per alcuni termini noti.

CNES affinché il sistema Ax = b ammetta soluzioni è che il termine noto sia ortogonale ad ogni soluzione del problema trasposto.

b^Tc = y   ∀ y | A^Tc = 0

p = n = m

Sistema staticamente determinato o isostatico. Il problema ammette una e una sola soluzione.

p < n = m

Sistema staticamente degenero. Il problema statico solitamente non ammette soluzioni.

p = n < m

Sistema staticamente indeterminato o iperstatico. Il problema statico ammette dunque s = m - n soluzioni.

p = m < n

Sistema staticamente impossibile o ipostatico. Il problema statico in generale non ammette soluzioni.

Esempio di sistema isostatico - trave incastrata

m = 3

n = 3

Esempio di sistema degenero - arco a 3 cerniere allineate

m = 3

n = 3

Esempio di sistema iperstatico - trave con due cerniere

m = 4

n = 3

Esempio di sistema ipostatico - trave con biella

m = 2

n = 3

Un sistema cinematicamente determinato è staticamente determinato.

Un sistema cinematicamente degenero è anche staticamente degenero.

Un sistema cinematicamente impossibile è staticamente indeterminato.

Un sistema cinematicamente indeterminato è staticamente impossibile.

Caratteristiche della sollecitazione trave

Cinematica

• 3D: Δu_z = 0, Δv_z = 0
• 2D: Δu_z - 0, Δu_y - 0, ΔΘ_x = 0

Statica

• 3D: R(z) ≠ 0, M_z(z) = 0
• 2D: R(z) ≠ 0, M_R(z) ≠ 0

Sezione S(z) trave 3D

H_z(z) = M_t(z) momento torcente

Sforzo normale N = sollecitazione assidua, allunga il concio di trave. Lo sforzo normale di trazione è maggiore di quello di compressione. È ortogonale alla sezione della trave.

Taglio T = sollecitazione trasversale di taglio, deforma il concio. È ortogonale all'asse della trave.

Momento flettente M = sollecitazioni di flessione, la faccia superiore subisce una contrazione e la faccia inferiore una trazione

Equazioni indefinite di equilibrio - trave piana

∑F(x) = 0

-N(x) + N(x + dx) + q(x)dx = 0

-N(x) + N(x) + dN(x) + q(x)dx = 0

dN(x) = -q(x)dx

N = -∫ q(x)dx + N

∑F(y) = 0

T(x) - T(x + dx) + ρ(x)dx = 0

T(x) - T(x) - dT(x) - ρ(x)dx = 0

dT(x) = -ρ(x)dx

T = -∫ ρ(x)dx + T

∑N(S₂) = 0

M(x + dx) - M(x) - T(x)dx + ρ(x)dx ²/2 = 0

M(x) + dM(x) - M(x) - T(x)dx + ρ(x) ²/2 = 0

dM(x) = T(x)dx - ρ(x) ²/2

M = ∫ Txdx + M

Significato di N, T, M

Se l'elemento si allunga si dice che la trave è sottoposta a trazione, se si accorcia a compressione.

Scorrimento della sezione rispetto a quella di destra. Se la coppia di forze genera un momento negativo allora il taglio è positivo.

Flessione nelle fibre sottostanti e compressione nelle fibre superiori.

Dualità problema cinematico - statico

Il problema cinematico e statico dei corpi rigidi sono in relazione.

Essi godono di una proprietà di simmetria detta dualità.

Si consideri un corpo rigido soggetto a forze esterne e a condizioni di vincolo e si scriva il problema cinematico e statico:

• I poli di rotazione O di spostamenti e forze sono gli stessi in entrambi i problemi
• La base è la stessa nei due problemi
• I vincoli sono numerati nello stesso modo nei due problemi e i cedimenti e le reazioni positivi sono equivalenti

Allora la prima proprietà di dualità: la matrice di equilibrio e la matrice di congruenza sono l'una la trasposta dell'altra

B^T = A

La seconda proprietà di dualità stabilisce che la matrice di compatibilità cinematica Q è la trasposta della matrice delle auto reazioni R

Q = R^T

Questa proprietà si riferisce ai sistemi iperstatici.

La terza proprietà di dualità stabilisce che la matrice di compatibilità statica V è la trasposta della matrice risultate U

V = U^T

Questa proprietà si riferisce a sistemi labili.

Corollari TLV

1° corollario degli spostamenti virtuali

Se un sistema di forze attive e vincolari compie lavoro nullo in ogni campo virtuale di spostamenti e cedimenti vincolari congruente, il sistema di forze è in equilibrio

(F_r, r) = forze attive e vincolari

(d_u, ds) = spostamenti e cedimenti

Ipotesi:

L_e = F^Td_u + T^Td_s = 0   ∀ (d_u, S_s) | AS_u = S_s

F^Td_u + T^TAS_u = 0

d_u(F^T + T^TA) = 0

d_u(F^T + r^T B^T) = (F + Br)^d_u = 0

L_e = (Br + F)^Td_u = 0   ∀ d_u

2° corollario delle forze virtuali

Se un campo di spostamenti e cedimenti vincolati (u, s) è tale che ogni sistema virtuale di forze equilibrate (dF, d_r) compie in esso lavoro nullo, il campo di spostamenti è congruente.

Ipotesi:

L_e = dF^Tu + d_r^Ts = 0   ∀ (d_f, d_r) | B d_r + d_f = 0

- (B d_r)^Tu + d_r^Ts = 0

- S^T B^T u - d_r^Ts = 0   B^T = A

d_r (-B^Tu + s) = 0

- Au + s = 0 → Au = s

L_e = d_r^T (s - Au) = 0   ∀ d_r

Esempio applicativo TSV - trovare M_G

2Pp

Sistema virtuale

δΘ_E=1

le = PL²∫Θ_B ¹- PL∫V_a - 2PL∫V_h + PL∫V_E + PL∫U_I = M_E (4)

Il corpo 1 + 2 + 3 è un anello a 3 cerniere, perciò si comportano come un unico corpo

C₂₃

C₁₃ = C₁₄ = C_E4

Θ₁ = Θ₂ + Θ₃

1. u = u_o1 - Θ₁ψ₄ = ψ₄
2. v = V_o1 + Θ₁x = -x

δ∫Θ_B ¹ = -1

δ∫V₄ = - ̅1̅ ₄L

4. u = 0
5. v = -5L

dV_H = -3L

dV_E = -5L

dV_G = 0

NE = -PL² + 7/4 PL² + 6PL² - 5 PL² ⇒ H_E = 4/4 PL²

Esempio applicativo TFV - trovare V_I

Applicazione della forza duale e attraverso la statica troviamo δX_A e V_I

V_I = 1

δψ_E = -1

V_I - δX_A(s) = 0

V_I = δX_A(s)

∑ N(B) = 0 errore 1

-δX_AL - 1/2 + δ ψ_EL = 0

-δX_AL - L/2 + δL = 0

δX_A = -3/2

V_I = -3/2 s