Statica - Instabilità ed Equilibrio

1B. Capacità portante di aste compresse: instabilità dell'equilibrio elastico

Travi compresse snelle, ossia lunghe rispetto alla dimensione della sezione trasversale, presentano una resistenza inferiore a quella ottenuta dal semplice criterio di resistenza σ ≤ σ_amm illustrato nei precedenti capitoli.

Esperimento in aula

Si comprime un listello di legno di lunghezza l = 140 cm, diametro d = 1 cm, trattenuto con le dita della mano. Si osserva che, aggiunta la forza normale N ≈ 3.8 kg, l'asta abanda lateralmente con inflessione laterale v in mezzeria. La forza P^* misurata con la bilancia. Piccoli incrementi della forza P comportano incrementi sensibili di v; successivamente l'asta si rompe per flessione.

Lo massimo resistenza può essere assunta in modo approssimato come P^*

Capacità portante di aste compresse: instabilità dell'equilibrio elastico

Travi compresse snelle, ossia lunghe rispetto alla dimensione della sezione trasversale, presentano una resistenza inferiore a quella ottenuta dal semplice criterio di resistenza [σ]⁼_{sup> |N| A} < σ_amm illustrato nei precedenti capitoli.

Esperimento in aula

Si comprime un listello di legno di lunghezza l = 140 cm, diametro d = 1 cm, trattenuto con le dita della mano. Si osserva che, aggiunta la forza normale N^* = P^* ≈ 3.8 kg, l'asta abbandona lateralmente con inflessione laterale v in mezza. La forza P^* è misurata con la bilancia. Piccoli incrementi della forza P comportano incrementi sensibili di v. Successivamente l'asta si rompe per flessione.

La massima resistenza può essere assunta in modo approssimato come P^*

Diagramma qualitativo dall’esperimento in aula

Si osserva che se si considera il criterio di resistenza con compressione della natura _c ^{=100 kg/cmq} (mediamente rappresentativo del legno), le massime compressioni ammissibili dovrebbero risultare P_amm = A _c (0.8 x 100) kg = 80 kg, dove A = πd² _A = π (2)² cm² = 0.8 cm². E’ evidente che P_amm >> P*.

Aumentando la lunghezza dell’asta, i valori sperimentali P* diminuiscono.

E’ quindi necessario considerare una teoria che colga questo effetto, che è condizionato dall’influenza dell’inflessione e della torsò sull’equilibrio. A tal fine si rimuove l’ipotesi di piccoli appartamenti.

Si considerano due possibili configurazioni di equilibrio:

• Configurazione fondamentale - rettilinea

E’ quella fornita della teoria delle tavo compiere fino a stati detti.

• Configurazione variata - inflessa

Caratterizzata dall’inflessione N(z) in equilibrio.

Ci si chiede quali siano le condizioni che rendono possibile l'equilibrio della configurazione variata C^*

Equilibrio della configurazione variata

Si rimuovono i vincoli e si determinano le reazioni vincolari (b): {_{HA + HB = 0} → H_A = 0 V_A - P = 0 → V_A = P H_B = 0 → H_B = 0

Si determina l'ometto statico (c). Si effettua una sezione S a distanza z dall'origine A cui corrisponde l'inflessione v(z) e si considera l'equilibrio della posizione di trave deformata AS illustrato in (d).

L'equilibrio alla traslazione verticale fornisce la forza interna verticale P in s; la forza interna orizzontale è nulla.

La coppia di forze P che braccio v(z) deve essere equili-brata dal momento flettente M(z) agente nella sezione S.

L'equilibrio alla rotazione rispetto al polo A pone: M(z) - Pv(z) = 0, (*), equazione di equilibrio che dipende dall'inflessione v(z).

Dall'equazione di compatibilità χ = -d²v/dz² e costitutive M(z) = EJχ χ(z) si ottiene M(z) = -EJχ d²v/dz². Sostituite nell'equazione di equilibrio (*) si ottiene -EJχ d²v(z)/dz² - Pv(z) = 0.

Introdotto il rapporto α² = P/EJχ > 0 si ottiene l'equazione differenziale di equilibrio della trave nella configurazione variata: d²v(z)/dz² + α²v(z) = 0.

Nell'incognita v(z) e α - Equazione differenziale omogenea.

Poichè il polinomio caratteristico associato è - r² + α² = 0, le soluzioni di questo sono immaginarie r = ± α i e la soluzione ha la forma v(z) = A sin(αz) + B cos(αz).

Per determinare le costanti A e B si impongono le condizioni al contorno.

Estremi A e B della fune vincolati

A) z = 0 v(0) = 0 → ν(0) = B = 0

B) z = l v(l) = 0 → v(l) = A sin(dl) + B cos(dl) = 0

Si ottiene l'equazione A sin(dl) = 0, che ammette due soluzioni:

• A = 0 per qualunque α → v(z) = 0 configurazione fondamentale rettilinea già nota - non interessante
• A ≠ 0 → sin(dl) = 0 → αl = nπ n = 1, 2, ⋯ v(z) = A sin(^nπ/_l z)

Esiste per α = ^P'/_ΕJx = ^nπ/_l → _P^~n = ⁿ²/_e² ΕJ_{x P^~1} = ^n2ΕJ_x/_e², _P^~2 = ^4π2ΕJ_x/_e², … _P^~1 P^~₂ P^~_n le forze omiale minima che queste viene denominato Carico critico P_c = min{_P^~n} = ^η2ΕJ_x/_e²

Quando la forza omiale P raggiunge il valore P = P_c si ha equilibrio della configurazione variata.

Allo stato critico P = P_c lo spostamento trasversale che restaura l'equilibrio è indeterminato v(z) = A \sin \left( \frac{\pi z}{\ell} \right) (si ammetti che sono soddisfatte le c.c., v(0) = v(\ell) = 0).

Poichè P_c = \frac{\pi²}{\ell²} J_x, questo decresce con l'aumento della lunghezza \ell e cresce con l'aumento del momento d'inerzia J_x della sezione.

lim _{l → 0} P_c = +\infty lim _{\ell → ∞} P_c = 0

Le configurazioni di equilibrio nel piano \left[ P, v \left( \frac{\ell}{2} \right) \right] sono rappresentate in figure.

Instabile

Stabile

Verifica di insieme all'instabilità di un'asta elastica

N = P ≤ P_c / η η coefficiente di sicurezza > 1

In termini di tensione normale σ = N / A < P_c / Aη = σ_crit / η, dove σ_crit = P_c / A = π²E J_x / A ℓ²

E’ già stato definito il rapporto d'inerzia della sezione rispetto all'asse x ρ_x² = J_x / A e quindi: σ_crit = π²E ρ_x² / ℓ²

Si definisce snellezza della trave λ il rapporto λ = ℓ / ρ_x, crescenti col crescere della lunghezza, decrescenti col crescere del raggio d'inerzia. Quindi σ_crit = π²E / λ²

Verifica della trave composta

• Resistenza |σ| < σ_{amm, comp.} = ^σ_r/_ηr σ_r tensione di rottura a compressione η_r coeff. di sicurezza a compressione
• Stabilità |σ| < σ_{crit, amm} = ^σ_crit/_ηc η_c coeff. di sicurezza all'instabilità

Diagramma per η_r = η_c = 1

Lo snellezza λ_E separa il collasso per rottura da quello per instabilità.

Resistenza σ_r = σ_crit Instabilità σ_r = π²E/λ_E² ⇒ λ_E = π√(E/σ_r)

Se λ < λ_E asta tozza → Collasso per rottura del materiale.

Se λ > λ_E asta snella → Collasso per instabilità.

In generale l'inflessione di un'asta compressa non è vincolata a stare in un piano, ma può realizzarsi nello spazio su piani definiti.

La configurazione variata si realizza nel piano di minore momento d'inerzia.

Esempio

Si consideri una trave a sezione rettangolare b×h (h≥b) compresse.

J_x = 1/12 bh³

J_y = 1/12 hb³

P_C,y = π²EJ_y/ℓ²

P_C,x = π²EJ_x/ℓ²

Poichè h>b ⇒ J_x>J_y ⇒ P_C,x>P_C,y

Il carico critico è il minimo tra i due P_C = min{P_C,x;P_C,y} = P_C,y = π²EJ₀/^ℓ2

La travi si instabilizza nel piano (x,z).

Metodo Ω (Omega)

Per effettuare la verifica di stabilità con la stesse metodologie di quelle di resistenza si trasforma la verifica come segue.

Verifica || < ^π2E/_ηcℓ²

Moltiplico e divido secondo membro per σ_amm,camp

|| < (^π2E/_{ηcσamm,compℓ²}) σ_amm,camp, λ>λ_E

Si pone ω(λ,σ_amm,com) = η_cσ_amm,ampℓ²/π²E da cui || < σ_amm,camp/ω

E quindi la verifica si pone nelle forme |ω| < σ_amm,comp, λ>λ_E

Determinata la snellezza λ e nota la tensione ammissibile σ_amm,comp, se λ<λ_E collasso per rottura || < σ_amm,comp

Se λ>λ_E collasso per instabilità |ω| < σ_amm,comp

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A livello applicativo il coefficente w è determinato in funzione del materiale (E_tammin, c_amp), della forma della sezione mediante tabelle in funzione delle snellezze della trave λ.

Esempio 1

Alluminio E = 700000 kg/cm² Ɑam = 200 kg/cm²

Dato l'arco a spinta orizzontale in figura, soggetto alla forza F con puntoni AC, BC aventi sezione quadrata cava di lato a e spessore s, noto E, Ɑam, verificare la resistenza e la stabilità dei puntoni.

Assumere L = 500 cm, F = 8600 kg, a = 10 cm, s = 1 cm, E = 700000 kg/cm², Ɑam = 200 kg/cm².

Equilibrio nodo C M₁ = N₂ = N 2N_√2 + F = 0 AC, BC puntoni.

N = -F_√2 = -6788 kg

A = a² - (a-2s)² = [10² - (10-2)²]cm² = 36 cm²

Jx = Jy = ¹/₁₂[a⁴ - (a-2s)⁴] = ¹/₁₂[10⁴ - (10-2)⁴]cm⁴ = 432 cm⁴

⍴ = ⍴x = ⍴y = √^Jx/_A = 3,70 cm

Lunghezza puntoni l = √2 L = 707 cm.

|σ| = ^|N|/_A = ⁶⁷⁸⁸/₃₆ Kg/cm² = 189 Kg/cm²

λ = ^l/_s = ⁷⁰⁷/_3,70 = 191

σ_crit = ^{π2 E}/_λ² = ^{π2 700000}/_(191)² Kg/cm² = 189 Kg/cm²

Verifica di resistenza |σ| < σ_am ok!

Verifica di stabilità |σ| < σ_crit ok!

λ_E = χ √^E/_σam = 189

σ_am σ_crit

P_crit = σ_crit A = ^{χ2 E J_x}/_l² = 6798 Kg > |N| = 6788 Kg

Travi con condizioni di vincolo generiche

Lo Luⁿgh_ezza libe_ra di infe^rzione = di^stanza tra due se_zioni M = X = O. Sⁱ r^ende_rizza: ^P_c = ^{π2 E S_Jx} / _{lo l}

Esempio 2

L = 800 cm

R = 16 cm

S = 1 cm

F = 20000 Kg ➝ N = 20000 Kg

A = π x R² – π x (R – S)² = π x [16² – (16 – 1)²] cm² = 97 cm²

Jx = ¹/₄ x R⁴ – (R – S)⁴] = ¹/₄ x [16⁴ – (16 – 1)⁴] cm⁴ = 11741 cm⁴

Jyϱ = ϱ_x = ϱ_y = ^√Jx/_A = 11 cm

Lunghezza libera di inflessione l₀

Vincoli all'estremità dell'elemento compresso: incontro estremità libero => lunghezza libera di inflessione l₀ = 2L!

λ = ^l₀/_ϱ = ¹⁶⁰⁰/₁₁ = 146

|σ| = ^|N|/_A = 718,7 Kg/cm²

σ_crit. = ^{π2 x E}/_λ² = 973 Kg/cm²

|σ| < σ_lim Verifica resistenza

|σ| < σ_crit. Verifica stabilità