Statica dei Gusci Cilindrici in Regime Membranale

Università degli Studi di Roma

Tor Vergata

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi

Tesi di Laurea di Primo Livello

Statica dei Gusci Cilindrici in

Regime Membranale

Relatore Laureando

Prof. Paolo Podio-Guidugli Francesco Bonaldi

Anno Accademico 2008/2009

Ringraziamenti

Desidero ringraziare sentitamente, oltre al Prof. Podio-Guidugli per aver creduto nelle mie capacità, l’Ing. Antonino Favata, che ha dimostrato una grandissima disponibilità nel seguirmi in questo lavoro, che senza il suo prezioso supporto sarebbe stato difficile portare a termine con successo.

Indice

Introduzione iii

1 Aspetti geometrici e cinematici 1

1.1 Regione a forma di guscio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Richiami di Geometria Differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Richiami di Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Stato tensionale ed equilibrio 11

2.1 Descrittori superficiali di sforzo e coppia . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Equazioni di bilancio in forma locale . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Considerazioni sul tensore di sforzo superficiale . . . . . . 20

2.5 Regime di sforzo membranale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Gusci cilindrici 25

3.1 Geometria e cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Gusci cilindrici in pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Bibliografia 37

i

ii Indice

Introduzione

Obiettivo di questo lavoro è esporre un modello matematico per lo studio dello stato di spostamento, deformazione e sforzo in una struttura a guscio che si trovi in un regime di equilibrio speciale e semplice, quello Pur non membranale.

Potendo né volendo compiere un completo percorso deduttivo, nei primi due capitoli raccoglieremo, nel modo più sintetico possibile, i concetti indispensabili per comprendere gli sviluppi successivi, discutendo in particolare la nozione di equilibrio membranale. Nel terzo e ultimo capitolo concentreremo l’attenzione sui gusci cilindrici e, dopo averne passato in rivista le principali proprietà, esporremo in dettaglio la soluzione esatta ed esplicita del problema di equilibrio membranale che abbiamo risolto, quello in cui, come accade nelle coperture pneumatiche per impianti sportivi, il guscio si sostiene per effetto della sovrapressione che viene creata all’interno.

I gusci costituiscono una classe di corpi continui tridimensionali nei quali due dimensioni prevalgono sulla terza, lo spessore; dal punto di vista geometrico, possono essere riguardati come regioni tridimensionali sottili, modellate su superfici.

La superficie su cui un guscio viene modellato è detta la superficie media; la geometria di una struttura a guscio ne risulta completamente determinata. L’idea che sottende tutta la meccanica delle strutture sottili, quindi anche qualunque teoria dei gusci, è quella che le equazioni che ne regolano il comportamento debbono risultare alquanto più semplici di quelle che occorrerebbe risolvere se li si considerasse corpi tridimensionali di forma particolare. Ovvio che ogni semplificazione si paghi in termini di dettaglio dell’informazione che si consegue: la difficoltà da affrontare e risolvere è conseguire un bilanciamento ottimo tra la complicazione residua del problema che si sa come risolvere, una volta effettuata la prescelta semplificazione del problema tridimensionale originale, e la rilevanza tecnica dell’informazione che la soluzione di quel problema semplificato fornisce.

Il metodo di attacco che adoperiamo per ottenere le equazioni della meccanica dei gusci è un metodo di deduzione sistematica dal problema tridimensionale che ha due caratteri distintivi: il primo, postulare una rappresentazione a priori del campo di spostamenti possibili (nel nostro caso, quella proposta da Kirchhoff e ripresa da Love), parametrizzata da poche funzioni di forma definite sulla superficie media; il secondo, ridurre per equipollenza alla superficie media sia i carichi applicati sia lo stato di sforzo del problema tridimensionale. Con questo metodo, le equazioni di equilibrio vengono formulate sulla superficie media in termini di due campi tensoriali, l’uno di sforzo l’altro di momento, che descrivono lo stato di sollecitazione interna; tramite equazioni costitutive tridimensionali che descrivono una risposta elastica lineare compatibile con i vincoli interni inerenti alla rappresentazione prescelta per il campo di spostamenti, quelle equazioni di equilibrio possono poi essere trasformate in un sistema di equazioni alle derivate parziali, che consentono di determinare tanto le funzioni parametro della rappresentazione che quelle eventuali componenti dello stato di sollecitazione interna che hanno natura di reazioni vincolari necessarie per mantenere la forma prescritta del campo di spostamenti.

Nel nostro caso, il sistema da risolvere è composto da cinque equazioni differenziali alle derivate parziali in cinque incognite scalari: i tre campi che parametrizzano il campo di spostamenti di Kirchhoff-Love (due per gli spostamenti estensionali e uno per quelli flessionali) e i due che forniscono le componenti reattive del tensore di sforzo. Questo sistema non è in generale facilmente risolubile in forma chiusa. Si può tuttavia individuare un particolare stato di sollecitazione interna, il cosiddetto regime membranale, in presenza del quale il campo tensoriale di sforzo, che si riduce alle sole tre componenti attive, è calcolabile senza dover introdurre il legame costitutivo. Inoltre, una delle tre equazioni di equilibrio non è di carattere differenziale, ma algebrico, mentre le due equazioni di bilancio dei momenti si riducono a condizioni di compatibilità sui carichi esterni. Per definizione, il regime membranale si ottiene quando il campo tensoriale di momento è nullo, così come le componenti reattive dello sforzo. Com’era da attendersi, restrizioni a priori così forti sul tipo di soluzioni del problema che si vuol risolvere non consentono di assegnare i dati liberamente: soluzioni del tipo cercato sono possibili soltanto se i carichi applicati soddisfano precise condizioni necessarie di compatibilità. Nel Capitolo 3, come anticipato, determiniamo la soluzione membranale del problema di equilibrio di un guscio cilindrico in pressione. L’aspetto particolarmente semplice di questa soluzione riduce il calcolo di una struttura siffatta all’applicazione di due formule molto semplici, che forniscono gli sforzi assiale e circonferenziale in termini di pochi parametri: raggio e spessore del guscio, pressione applicata, e modulo di Poisson del materiale impiegato.

vi Introduzione

Capitolo 1

Aspetti geometrici e cinematici

1.1 Regione a forma di guscio

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale {O; i i i } per lo spazio euclideo tridimensionale E. Scelta l’origine O ∈ E, si instaura una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio euclideo E e i vettori p dello spazio vettoriale delle traslazioni V ad esso associato; in virtù di questo fatto, nel seguito scriveremo p in luogo di P, nonostante si tratti di elementi appartenenti ad insiemi differenti.

Consideriamo una superficie S ⊂ E, che sia compatta, regolare ed orientata, con n(x) il campo di versori normali ∀x ∈ S. Ammettiamo inoltre che S possieda in E un intorno “tubolare” (cf. [2], §2.2) e che sia dotata di una parametrizzazione globale

E ⊃ S ∋ x ↔ (z¹, z²) ∈ R².

Definiamo regione a forma di guscio, modellata sulla superficie S ed avente spessore 2ε, un sottoinsieme G(ε) ⊂ E tale che l’applicazione

(z¹, z², ζ) ↔ p = p(z¹, z², ζ) := x(z¹, z²) + ζn(x(z¹, z²)), ζ ∈ (−ε, ε),

sia una parametrizzazione ortogonale globale su G(ε) (si veda la fig. (1.1)). Il fatto che la parametrizzazione globale debba essere anche ortogonale non è essenziale ai fini della definizione di regione a forma di guscio, ma renderà più semplici le espressioni analitiche di sforzi, spostamenti e deformazioni in termini di componenti. Dalla definizione di p, si nota che esso è interpretabile geometricamente come il generico punto della fibra materiale di G(ε) ortogonale a S e passante per x; il significato geometrico di |ζ| è la distanza di p ∈ G(ε) dalla sua unica proiezione ortogonale x su S. Per individuare il generico punto p della regione a forma di guscio, abbiamo scelto un sistema di coordinate dette normali.

Lo spessore di G(ε) dev’essere scelto in modo tale che

ε ≤ min 1/|k₁(x)|, 1/|k₂(x)|,

x∈S

dove k₁ e k₂ sono le curvature principali di S in x, altrimenti a un fissato punto p ∈ G(ε) potrebbero corrispondere più proiezioni ortogonali su S, e dunque la parametrizzazione di G(ε) non sarebbe una corrispondenza biunivoca tra terne di coordinate e punti di G(ε). Un’ulteriore condizione su ε è che tale quantità sia minore del minimo dei raggi delle sfere tangenti a S in più di un punto.

1.2 Richiami di geometria differenziale

Figura 1.1: Regione a forma di guscio

In virtù del fatto che S ammette una parametrizzazione globale, si possono considerare la mappa

(z¹, z²) ↦ x = x(z¹, z²),

e la sua inversa,

x ↦ z^α = z^α(x), α = 1, 2.

Consideriamo i vettori

e_α(z¹, z²) := ∂x/∂z^α(z¹, z²) = x_,α(z¹, z²).

Si può assegnare un’orientazione, e quindi un campo di versori normali sulla superficie per ogni x ∈ S, secondo la regola:

n(x) := [e₁(x) × e₂(x)] / |e₁(x) × e₂(x)|.

L’insieme {e₁(x), e₂(x), n(x)} si dice base covariante di V. Il piano tangente alla superficie viene poi definito come:

T_x := span{e₁, e₂} = {p ∈ E : (p − x) · n(x) = 0}.

Si può costruire un’altra base per V, detta base controvariante, cioè, l’insieme {e¹(x), e²(x), n(x)} i cui elementi sono i vettori:

e^α(x) := ∂z^α/∂x (x) = z^α_,x(x).

Si ha allora la relazione

e^α · e_β = δ^α_β

tra i vettori della base covariante e quelli della base controvariante, dove δ è il simbolo di Kronecker.

Se il sistema di coordinate che si sta utilizzando su S è ortogonale, ovvero e₁ · e₂ = 0 ∀x ∈ S, i vettori delle basi covariante e controvariante sono sovrapposti in direzione e verso; vale inoltre la relazione

|e^α| = 1/|e_α|

che, insieme con l’ortogonalità del sistema di coordinate e con la (1.2), fornisce una relazione che permette di calcolare i vettori della base controvariante a partire da quelli della base covariante:

e^α = e_α/|e_α|²; (1.3)

è inoltre possibile introdurre un’ulteriore base di V, detta base fisica, costituita dai versori

e^<α> := e_α/|e_α| = e^α/|e^α|, α = 1, 2,

e dal versore normale n. Tale base risulta essere ortonormale per ogni x ∈ S.

Il vantaggio di disporre di una base fisica sta nel fatto che le componenti che rappresentano un campo tensoriale o vettoriale – avente determinate dimensioni fisiche – in questa base, hanno tutte le stesse dimensioni (quelle del campo di interesse), essendo la base composta da versori.

Di un campo vettoriale u = u(x) sulla superficie S si definiscono le componenti covarianti, controvarianti e fisiche, rispettivamente, nel seguente modo:

u_i := u · e_i; uⁱ := u · eⁱ; u^<i> := u · e^<i>

e quindi u si rappresenta in ciascuna di tali basi nei modi seguenti:

u = uⁱe_i = u_ieⁱ = u^<i>e^<i>. (1.4)

Analoghe definizioni vengono date per i tensori (cf. [3], pag. 13). Il tensore metrico superficiale su S è definito come:

I^S := e₁ ⊗ e₁ + e₂ ⊗ e₂ = e_α ⊗ e^α = e^α ⊗ e_α = e^<α> ⊗ e^<α>. (1.5)

Il tensore di Weingarten S è definito come

L := −∇n = −n_,α ⊗ e^α. (1.6)