SPH metodo: smoothed particle hydrodynamics

Smoothed particle hydrodynamics (SPH)

Meglio cercare alternative a metodi con griglie di calcolo, che se abbiamo una complessa articolazione della griglia da fare, non va più bene il metodo di discretizzazione già discusso, ancora di più se il contorno è in movimento, perché dovrebbe essere riaggiornata in continuazione.

Allora utilizzo i metodi Lagrangiani, consiste nel seguire il moto della singola particella. Non mi interessa più che succede in quel punto nel dominio, ma la seguo nel suo moto. SPH. Smoothed, le proprietà idrodinamiche della singola particella vengono espresse facendo una media pesata dei valori. Forti interazioni tra particelle, l’una rispetto delle particelle che la circondano, che ci sono intorno, l’altra.

Cerchi neri sono le particelle. Curva gaussiana. Io posso assegnare, per la particella generica, una temperatura che è la media pesata di tutte le T delle particelle in quell’intorno, assegnando ad ogni particella un peso corrispondente a questa curva gaussiana. Se rispetto questa particella che si trova al centro, una particella vicina avrà un peso elevato, una lontana avrà un peso minore se non nullo se è troppo lontano. Assegno un valore medio che è una media pesata. Smoothed liscio, regolare, andamento ricercato e ottenuto così. Questo è il principio di base del metodo.

Come si calcolano le diverse grandezze?

Kernel approximation è un’operazione che si può fare attraverso un integrale di convoluzione. Smoothing di una grandezza tenendo conto dei pesi degli altri.

Se ho una funzione f(x’) posso usare il valore smoothed, cioè il valore medio, come integrale esteso al dominio omega come prodotto tra la funzione f(x) e la funzione W(x-x’). W è la funzione peso, ad esempio gaussiana, che dipende dalla distanza x-x’.

W sarà il peso di questa funzione che dipende da x’ e un punto qualsiasi. Dipendono dalla distanza e da una quantità h che è la larghezza. Non è una gaussiana perché vanno a zero per una distanza infinita. Consideriamo solo le particelle all’interno di questa distanza, non per tutte le particelle.

Partiamo dal caso che la funzione filtro è il delta di Dirac. Vado a fare lo smoothing non per tutto il dominio, ma solo per quelle all’interno di questa zona.

Delta Dirac properties

Faccio la convoluzione, e mi dà una semplice identità: f(x) filtrato è la f(x) stessa: F(x) filtrato è uguale a f(x).

Integrale di f moltiplicato per delta. Tutti i punti x’ che si trovano nell’intorno di omega.

È una semplice identità. Ma se utilizzo invece della funzione di Dirac una funzione filtro, di questo tipo:

Facendo uno smoothing di questo tipo, sto introducendo un’approssimazione di secondo ordine, rispetto ad h. Accuratezza delle formule essenziale nella discretizzazione. Per differenze finite, formule accurate al primo/secondo ordine, rispetto al delta x dimensione griglia. Qui non abbiamo griglia, ma si fa uno smoothing rispetto h, la distanza. Rispetto la funzione Kernel che la andiamo a definire. È un’approssimazione al secondo ordine.

Kernel properties

• Tutto uguale ad 1 perché con il valore filtrato andrebbe a variare i valori. Se f(x) è costante, una qualunque grandezza idrodinamica. Supponiamo sia omogeneamente di 20°C. Smoothing valore 20 ovunque, smoothing mi dovrà dare 20. Una cosa è mediare, una è alterare il valore. Integrale dovrebbe darmi 1, perché 20=20. Allora se fosse diverso da omogeneo, avremmo che non fosse uguale ad uno mi andrebbe a dare un’amplificazione o riduzione scorretta.
• Funzione deve avere un supporto compatto. Non può estendersi all’infinito, quando la distanza x-x’ è maggiore di kh, il valore deve diventare zero, superata la distanza kh, in maniera tale che rispetto questa particella che si trova al centro, avranno peso diverso da uno, se prendo una particella fuori dal dominio, così che la funzione deve valere zero. Funzione deve avere supporto compatto.
• Quando h tende a zero, lunghezza riferimento funzione kernel. Il limite deve essere la delta di Dirac, tanto più restringo la base tanto più deve coincidere con la funzione delta di Dirac.
• Assegniamo funzioni di tipo simmetrico, a parità di distanza, da tutte le parti, deve essere lo stesso, sia che mi muovo lungo asse x/z, deve valere curva a campana di questo tipo, simmetrica.

Second order approximation

• F(x) mediata estesa ad omega deve essere a questo integrale così.
• Sviluppo in serie di Taylor, fino all’infinitesimo del secondo ordine, rispetto alla distanza tra le due particelle.
• Questo diventa somma tra due integrali.

F(x) costante, porto fuori integrale. Termine finale proporzionale ad h al quadrato. Il secondo termine va a zero quando la distanza x’-x superano h. x’-x.

Secondo termine va a zero perché? W è una funzione simmetrica, mentre l’integrale è una funzione asimmetrica, emi-simmetrica, vale zero, perché per ogni valore positivo ne abbiamo uno negativo corrispondente, parte corrispondente è la stessa di segno opposto, allora va a zero, e quindi rimane sono termine infinitesimo. Dunque, f filtrata è la funzione nel punto x più i termini ordine infinitesimo. Errori proporzionali ad h quadro. Dunque, approssimazione accurata al secondo ordine nello spazio. Non abbiamo parlato di particelle, ma solo di funzioni continue nello spazio.

Particle approximation

Una particella indicata con I. Dominio strutturato in particelle. Ognuna di questa ha una massa, densità, posizione, ha un volume, una velocità, P, T accelerazione, T, concentrazione... Ogni particella è un volume nello spazio, ha una sua posizione, non è una particella puntuale, qui ha però una dimensione, massa/densità. Numeriamo le particelle, i e j. Decine di migliaia/centinaia di milioni di particelle. Consideriamo questa situazione:

Ogni particella ha un numero, circondata da altre particelle. Dominio di raggio h centrato intorno alla particella i. Tutte le particelle all’interno della circonferenza avranno un peso al fine dello smoothing.

La funzione filtro risulta così schematizzata. Particelle vicine peso rilevante, lontane no. Distanza tra una particella e l’altra è chiamata rij, per ogni coppia di particelle.

Integrale dW sarà il volume della particella. Ma ora non farò più integrale, ma sommatoria di tutte le particelle che staranno nel dominio. Passaggio da funzioni continue a discrete. Valore funzione particella, valore funzione Kernel per la distanza tra le due particelle, in cui metterò rapporto tra massa e densità. Dunque, invece di dW, si mette il volume della particella i-esima.

Potrei fare la somma su tutto il dominio, non solo quelle entro la circonferenza. Ma sicuramente tutte quelle che stanno fuori la circonferenza avranno un W nullo. La sommatoria la estenderò solo entro la circonferenza. Parlo di valore di funzione nella particella i-esima.

Somma estesa alle n particelle che si trova nell’intorno di i. Wij valore funzione kernel per la coppia delle due particelle e che dunque dipende dalla distanza tra le due particelle.

First derivative

Possiamo calcolare le derivate nel punto x, vettore posizione del punto.