Sottospazi affini, Algebra Lineare

Sottospazi affini

Cos'è?

Ax=b{x ∈ ℝⁿ : Ax=b} = {x₀} + {u : Au=0} sottospazio affine = punto + sottospazio vettoriale

Df: Sia V uno spazio vettoriale sia E ⊆ V. ∃ x₀ ∈ V, ∃ W ⊆ V: E = x₀+W. Allora si dice che E è un sottospazio affine di V.

Es: V = ℝ[x], W = {p(x) : deg(p(x)) è pari}

E = x₀+W è un sottospazio affine (non è del tipo "Ax=b")

Oss: ∀ E = x₀+W ci sono infiniti x₀ ma un solo W (lo stesso di prima)

Es: x₀ è vettore su cui "ruotano" le rette ottenendo E. Vanno bene tutti i vettori che finiscono su E.

Df: Se E = x₀+W ⇒ W si chiamano le giaciture di E e dim(E)=dim(W)

Sottospazi affini

Cos'è?

Ax = b{x ∈ ℝⁿ: Ax = b} = {x₀} + {u : Au = 0} sottospazio affine punto sottospazio vettoriale

Df: Sia V uno spazio vettoriale sia e ∈ V. ∃x₀∈ V, ∃W ⊆ V: E = x₀ + W. Allora si dice che E è un sottospazio affine di V

Es: V = ℝ[x], W = {p(x) : deg(p(x)) è pari}

E = x₀ + W è un sottospazio affine (non è del tipo "Ax = b")

Non è l'insieme di soluzioni di un sistema lineare

Oss: ∀E = x₀ + W ci sono infiniti x₀ ma un solo W (x₀ qualsiasi di E)

Es: x₀ è vettore su cui risiedono le rette ottenendo E. Vanno bene tutti i vettori che finiscono su E.

Df: Se E = x₀ + W ⇒ W si chiamano le giaciture di E e dim(E) = dim(W)

Presentazione parametrica e cartesiana: caso di sottospazi vettoriali

V ⊆ Rⁿ V = Span (v₁, v₂) ← Presentazione parametrica ⇒ V = {t₁v₁ + t₂v₂, t₁, t₂ ∈ R} parametri

v₁, v₂ ∈ Rⁿ

V = Span (v₁, v₂) v₁ e v₂ vengono identificati da 2 numeri e non da t₁, t₂

Presentazione cartesiana

Affermazione: Se V ⊆ Rⁿ ⇒ ∃ A. V = {u : Au = 0}

Ogni sottospazio di Rⁿ è l'insieme delle soluzioni di un qualche sistema omogeneo.

Def: Scrivere ∀x: Ax = 0 vuol dire dare una presentazione cartesiana di V (V è lo spazio di soluzioni)

Es: V = {(x) ∈ R² : 2x + 3y = 3}

Dalla presentazione parametrica alla presentazione cartesiana

V = Span (v₁, ..., v_k) ⇒ Ax = 0

• Scrivere B = (v₁, ..., v_k)
• Prendere B^T e risolvere il sistema Bx = 0 ⇒ la sl = Span (w₁, ..., w_n)
• A = (w₁, ..., w_k)^T

Esempio: W = Span

• B =
• B^t =

Il sistema: x = -2y z = 3y span A = A -2x + y + 3z = 0

Rappresentazione parametrica e cartesiana: caso di sottospazi affini

E = x₀ + W ⊆ ℝⁿ

Cosa sono?

P. parametrica: E = x₀ + span

P. parametrica di W

P. cartesiana: E = come

P. parametrica

P. cartesiana

Usiamo

Il passaggio P. param. → P. cartesiana: E = x₀ + span →