Sismologia e pericolosità sismica

Equazione d'onda per mezzo omogeneo e isotropo

Per un mezzo omogeneo ed isotropo, l’equazione d’onda generale in forma vettoriale è espressa dalla relazione:

2(̈ = + )∇ + ∇² = ∇ ∙ ∇ = ∇ × ∇ × , Essendo e si ha: (̈ = + 2)∇(∇ ∙ ) + (∇ × ∇ × ) che rappresenta l’equazione d’onda tridimensionale.

Teorema di Helmholtz

Possiamo utilizzare il Teorema di Helmholtz per rappresentare il campo-spostamenti come: = ∇ + ∇ × dove:

• → × = 0 - è un termine di tipo irrotazionale (∇ non produce sforzi di taglio;
• → ∙ = 0 - è un termine di tipo solenoidale (∇ non produce variazioni di volume.

Sostituendo il Teorema di Helmholtz nell’equazione d’onda tridimensionale si ottiene:

̈] ̈)² 2∇[( + 2)∇ − + ∇ × (∇ − = 0

Questa equazione è soddisfatta se ponendo: + 2=√ =√ si ha che:

• 1 ̈²∇ − = 0
• 21 ̈²∇ − = 0

Dove:

• - Rappresenta la velocità delle onde-P;
• - Rappresenta la velocità delle onde-S.

Di conseguenza, le onde-P sono i primi arrivi osservabili su di un sismogramma.

Equazione d'onda monodimensionale

L’equazione d’onda monodimensionale è espressa dalla relazione:

2 2 1 1 1 = 12 2 2

La cui soluzione generale (soluzione di D’Alembert) è:

( , ) = ( − ) + ( + )1 1 1 1

Che può essere risolta tramite il metodo della separazione di variabili, cioè ipotizziamo che la soluzione sia il prodotto di due funzioni, una che dipende dallo spazio () e l’altra dal tempo ():

( , ) = ( )()1 1 1

Si ottiene, quindi:

2 21 ( ) 1 ()12 =12 2( ) () 1 2−

Questa equazione è soddisfatta se entrambi i membri sono uguali a . Si ottengono, così, due equazioni differenziali le cui soluzioni sono:

• − ) 1 1( = + 1 1 2 −()
• = + 1 2

Spostamento-soluzione d'onda armonica

Lo spostamento-soluzione (o “soluzione d’onda armonica”) è dato da:

(+ ) (− ) −(+ ) −(− )( , ) = + + + 1 1 1 2 3 4

Dove i termini in sono costanti arbitrarie determinate dalle condizioni iniziali ed al contorno.

La soluzione d’onda armonica ha forma del tipo:

(± )(, ) = = cos [ ( ± )] + sin [ ( ± )]

Onde P e S

Calcolo degli spostamenti associati all'onda-P

Dall’equazione ̈] ̈]² 2∇[( + 2)∇ − + ∇ × (∇ − = 0 è possibile calcolare gli spostamenti associati all’onda-P come:

= ∇ = ̂ + ̂ + ̂ 1 2 3 1 2 3

La cui soluzione si ricava per separazione di variabili: )( )( )()( , , , ) = (1 2 3 1 2 3

Da cui scaturisce un set di quattro equazioni:

• ̈ ²+ = 0
• ̈ 12+ = 0
• ̈ 22+ = 0
• ̈ ²+ = 0

Dove:

• 12 22 32 2 2 →⁄ + + = - Fronte d’onda;
• = sin = 1 - = cos = 3 3 →o = definisce la direzione perpendicolare al fronte d’onda.

Cioè indica che il moto delle particelle associato ad un’onda-P è perpendicolare al fronte d’onda e parallelo alla direzione di propagazione dell’onda.

Potenziale d'onda scalare generale per le onde-P

Combinando queste quattro equazioni si ottiene il potenziale d’onda scalare generale per le onde-P:

±(± ± ±± )(, ) = 1 1 2 2 3 3 o, in forma generale: ±(± ∙)(, ) =

Che rappresenta un set di onde piane libere di propagarsi in qualsiasi direzione.

Potenziale d'onda scalare generale per le onde-S

Similmente, il potenziale d’onda scalare generale per le onde-S è:

±(± ∙)(, ) =

Che rappresenta un set di onde piane associate ai moti di taglio. ̂ = ( ) ̂ = ( ) sono detti “vettori numero d’onda”.

Determinare gli spostamenti associati all'onda-S

Per determinare gli spostamenti associati all’onda-S bisogna risolvere l’equazione:

3 2 1 3 2 1 = ∇ × = ( − ) ̂ + ( − ) ̂ + ( − ) ̂ 1 2 3 2 3 3 1 1 2 1 2 3

Le componenti e comprendono i movimenti dell’onda-S nel piano verticale e prendono il nome di componenti; la componente implica un puro movimento orizzontale e prende il nome di componente.

Consideriamo un’onda piana che si propaga nel piano verticale per cui, le componenti:

= =0 2 2

In questo caso lo spostamento totale sarà dato da:

2 1 3 2 = + = ( − ) ̂ + ( − ) ̂ + ( + ) ̂ 1 2 3 1 3 3 1 1 3

Quindi:

• - Lungo e si ha lo spostamento delle onde P e SV;
• - Lungo si ha lo spostamento delle sole onde SH.

Comportamento delle onde sismiche alla discontinuità

Quando un raggio sismico intercetta una discontinuità, caratterizzata da una variazione di velocità sismica, la sua energia viene partizionata tra un raggio riflesso ed uno rifratto.

Gli angoli ( e che i raggi riflessi e rifratti formano col piano verticale sono governati dalla Legge di Snell, secondo la quale:

sin sin = = 1 2

Cioè i due raggi hanno lo stesso parametro del raggio incidente.

In particolare, quando un’onda-P o SV impatta una discontinuità si formano quattro tipi di onde derivate:

• →’- Onda-P rifratta;
• →- Onda-P riflessa;
• →’- Onda-SV rifratta;
• →- Onda-SV riflessa.

È possibile che un’onda-P generi onde-SV riflesse e > rifratte solo se .2 1

Onde derivate da un'onda-SH

Quando un’onda-SH impatta una superficie di discontinuità parallela al suo moto si producono solo due onde derivate:

• →- Onda-SH riflessa;
• →’- Onda-SH rifratta.

L’esistenza di onde derivate da una singola onda incidente implica che l’energia di quest’ultima viene partizionata:

• ( + −) = 1 1 3 1
• ( − −) = 1 1 3 2
• ( + −) = 1 2 3 3
• ( − −) = 1 31 2
• ( + −) = 1 32 3

Dove i termini e sono detti coefficienti di riflessione, mentre i termini e sono detti coefficienti di trasmissione.

Calcolo della riflettività e trasmissività

Per calcolare la riflettività e la trasmissività consideriamo il caso di due fluidi separati da una superficie di discontinuità, per cui non si producono onde-S (avremo solo onde-P).

Nel primo mezzo ci saranno le onde-P incidenti e riflesse mentre nel secondo mezzo solo le onde-P rifratte. I campi d’onda per i due mezzi sono:

( + −) ( − −) = + 1 1 3 1 1 31 1 2 ( + −) = 1 2 32 3

In presenza di una superficie di discontinuità bisogna imporre condizioni di continuità per una certa quantità fisica che corrisponde a considerare i valori della quantità uguali per punti posti a distanza infinitesima da un lato e dall’altro dell’interfaccia.

In particolare, imporremo due condizioni di continuità:

• →1. Continuità degli sforzi: lo sforzo deve essere continuo attraverso l’interfaccia, se così non fosse in prossimità della discontinuità si originerebbero delle forze che tendono a produrre un scollamento dell’interfaccia (fenomeno altamente improbabile all’interno della Terra a causa della prevalenza di sforzi compressivi dovuti al carico litostatico, che costringono i materiali a mantenersi saldati);
• →2. Continuità degli spostamenti: le componenti normali ( ) e tangenziali ( ) dello spostamento devono essere continue attraverso la superficie di discontinuità: se non fosse continuo, uno strato tenderebbe a separarsi dall’altro a seconda del segno dello spostamento; se, invece, non fosse continuo si originerebbe una dislocazione relativa degli strati come accade per le faglie durante i terremoti.

In questo modo è possibile esprimere la riflettività () e la trasmissività () come:

− 2 2 1 1 2 = = + 1 1 2 2 1 2 3 1 1 = = + 1 1 2 2 1⁄ = (cos )

Entrambi i coefficienti dipendono da , quindi il partizionamento dell’energia dipende sia dalle proprietà del mezzo che dall’angolo di incidenza dei raggi.

⁄ ⁄ = 90° cos = 1, = 1 = 1 Nel caso di incidenza verticale e per cui e :1 1 2 2

− 2 2 1 1 ==0 + 1 1 2 22 1 2 ==0 + 1 1 2 2

È possibile esprimere i due coefficienti anche in termini di spostamento:

− 1 2 1 1 2 2=− = = −=0 + 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 2 1= = = =0 + 1 1 2 1 1 2 2 2 ⁄ =

La quantità è detta impedenza acustica mentre il rapporto è detto contrasto di impedenza acustica e dipende da come varia l’impedenza acustica tra i due mezzi.

Possiamo esprimere i coefficienti di riflettività e trasmissività in termini di come:

1−= 1+2= 1+L’energia viene partizionata secondo una relazione molto semplice:

− =1−1 < < 1 0 < < 2.

Dove: e L’equazione: ±(±∙)(, ) = è valida per un mezzo omogeneo.

Equazione per mezzo eterogeneo

Per un mezzo eterogeneo, invece, l’equazione diventa:

()±( −)(, ) = () 0()

Dove rappresenta il fronte d’onda. Consideriamo un fronte d’onda tridimensionale.

Il raggio sismico, normale al fronte d’onda, percorre un .tratto in un tempo.

I coseni direttori associati al raggio sono:

1 2 3 e devono soddisfare la condizione: ² 2 2 1 2 3( ) +( ) +( ) =1 ∇() ∝

Sapendo che è possibile esprimere la relazione precedente come:

² 2 2() () ()( ) + ( ) + ( ) =1 1 2 3

Che prende il nome di equazione eikonale del viaggio sismico.

−1⁄ ⁄ = () = = () è una costante di proporzionalità il cui inverso è comunemente noto come 0 0 indice di rifrazione.

Combinando l’equazione eikonale del viaggio sismico con la condizione dei coseni direttori si ottengono le cosiddette equazioni normali:

()1 = 1 ()2 = 2 ()3 ={ 3

Comportamento della velocità con la profondità

Derivando le equazioni normali rispetto a possiamo capire come esse variano lungo il cammino del raggio:

()1( )= ( )= 1 () () () 1 2 3= ( + + )= 1 1 2 32 2 2 1 2 3= { [( ) +( ) +( ) ]} = 1 = 1

Che può essere espresso in forma generale come:

( )= oppure 1 1( ) = ∇( ) () ()

La forma precedente dimostra che il cammino del raggio è proporzionale alla variazione spaziale di velocità.

Se un raggio sismico che attraversa un materiale subisce una variazione di velocità con la profondità (lungo ), le componenti in e saranno nulle. Si ha, quindi:

3 1 2 1 = = 12 = = 2 3( )={ 3⁄

Il rapporto confina il cammino del raggio nel piano (normale al piano ), per cui le equazioni 1 3 1 2 precedenti si riducono a:

1 = 3( )={ 3

In un dato punto i coseni direttori del raggio sono dati da:

1 = = sin 1 { 3 = = cos 3 Sostituendo questi valori nell’equazione in precedente:3 3( )= = 3 sin =− 32⁄ ⁄ ⁄ = → = − sin = ,

Ricordando che e che per la Legge di Snell si ha:

0 sin = = 3 3

Relazione tra curvatura del raggio e il gradiente di velocità

La relazione precedente indica che la curvatura del raggio è proporzionale al gradiente di velocità: se la velocità aumenta con la profondità il raggio curva verso l’alto; se la velocità diminuisce con la profondità il raggio curva verso il basso.

Predizione della posizione e del tempo di arrivo di un raggio sismico

Pensiamo alle relazioni precedenti per predire dove e quando arriverà un raggio sismico:

1 = sin = {3 2 2√1= cos = −

Le due equazioni possono essere combinate per ottenere:

3 = sin = = 1 3cos 2 2√1 − ()

Che può essere integrata sul range di profondità attraversata dal raggio sismico per ricavare la distanza alla quale il raggio emergerà:

() = 2 ∫ 32 2√1 − 0

Dove:

• 2- Il fattore è dovuto alla simmetria del tragitto del raggio che prima scende e poi risale;
• - è la profondità massima di penetrazione. ()

Tempo di viaggio del raggio sismico

Il tempo impiegato dal raggio per percorrere la distanza è dato dalla relazione:

3 = 2∫ 12 2√ − 0 2 = 1/,

Ponendo le due equazioni possono essere combinate per ottenere l’equazione del tempo di viaggio del raggio sismico (o dromocrona):

2 2√ = + 2 ∫ − 30

Dove:

• - è il parametro del raggio (o lentezza orizzontale);
• 2 2 = √ − - è la lentezza verticale.