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Serie numeriche - convergenza e divergenza Pag. 1
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Sintesi
In questo appunto verranno approfondite le serie numeriche. Queste serie non sono altro che la versione discreta degli integrali; in effetti gli integrali non sono altro che somme infinite di una funzione valutata in un punto per una lunghezza infinitesima di un intervallo. Ecco, le serie sono come gli integrali, ma la lunghezza dell'intervallo è fissata a 1.
Si indicano con il simbolo seguente:
[math] \displaystyle \sum_{n=n_0}^{+ \infty} a_n [/math]

dove
[math] n_0 [/math]
è il numero da cui la somma "parte", mentre
[math] a_n [/math]
è una successione di numeri.
Tali serie, pur trattandosi di somme infinite, possono anche avere valore finito.
Vediamo ora nel dettaglio in maniera più approfondita questo concetto.

Serie convergenti


Una serie si dice convergente se essa assume valore finito. In altre parole, una serie è convergente se esiste finito il limite:
[math] \displaystyle \lim_{k \to +\infty} \sum_{n=n_0}^{k} a_n [/math]

Le serie geometriche (con ragione minore di 1) sono sempre convergenti, vedremo poi meglio nel paragrafo successivo cosa sono.
Una cosa importante da ricordare è la seguente: una condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga è che:
[math] \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 [/math]

D'altronde è "facile" aspettarsi che se una successione ha limite diverso da 0, allora staremmo sommando infinite volte una quantità che può essere abbastanza grande e quindi tale somma non convergerebbe!
Esempio: La serie armonica:
[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \dots + [/math]

Invece la serie dei reciproci dei quadrati:
[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + [/math]

converge a
[math] \frac{\pi^2}{6} [/math]
, la cui dimostrazione non è però banale e richiede elementi di analisi funzionale.

Serie divergenti


Una serie si dice divergente se essa assume valore infinito. Cioè se vale:
[math] \displaystyle \lim_{k \to +\infty} \sum_{n=n_0}^{k} a_n = \pm \infty [/math]

La serie armonica presentata in precedenza è una serie divergente.
Inoltre se
[math] a_n = K [/math]
con
[math] K \neq 0 [/math]
costante reale, allora la serie associata a tale successione diverge. Questo perché sommare una quantità non nulla (e costante) infinite volte equivale a divergere.

Serie geometriche


Le serie geometriche sono un esempio molto comune di serie numeriche. Sono caratterizzate da una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante.
Ad esempio:
[math] a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 8, \dots \ \ , \ \ b_1 = \frac{1}{3}, b_2 = \frac{1}{9}, b_3 = \frac{1}{27}[/math]

sono successioni geometriche.
La serie geometrica ad esse associata è la somma infinita di tutti gli
[math] a_i [/math]
oppure
[math] b_i [/math]
.
Il rapporto tra il termine
[math] k+1 [/math]
e il termine
[math] k [/math]
è detto ragione e si indica con
[math] r [/math]
.
Si può osservare quindi che la ragione di
[math] a_n [/math]
è 2, la ragione di
[math] b_n [/math]
è
[math] \frac{1}{3} [/math]
.
Si può dimostrare che una serie geometrica diverge se e solo se
[math] |r| < 1 [/math]
.
Quindi la serie
[math] \sum a_n [/math]
diverge, mentre la serie
[math] \sum b_n [/math]
converge.
Per ulteriori dettagli sulle serie geometriche si invita a guardare il PDF sottostante.



Estratto del documento

Luca Lussardi Appunti di analisi I

Serie numeriche

Il concetto di serie rappresenta, in Analisi Matematica, una formalizzazione assai interessante

che mette la parola fine a problemi dell’antichità che conducevano in errori e paradossi parecchi

matematici dell’epoca; in particolare la teoria delle serie numeriche si occupa di dare un senso al

problema delle somme infinite ovvero della somma dei termini di una successione data x . Avendo

n

una successione x si può definire, senza alcun problema, la nuova successione indicizzata da k

n

e data da k

X · · ·

S = x = x + x + + x .

k n 0 1 k

n=0

Il modo corretto per dare un significato ad un espressione puramente formale del tipo

+∞

X x n

n=0

è quello di considerare il limite della successione S ; si pone dunque per definizione

k

+∞

X x = lim S .

n k

k→+∞

n=0 ±∞

Tale limite può esistere ed essere finito, esistere ed essere oppure non esistere; nel primo

caso si dice che la serie +∞

X x n

n=0

converge, nel secondo caso si dice che la serie diverge (positivamente o negativamente) mentre

nell’ultimo caso si dice che la serie è indeterminata o oscillante. Sia data una serie

Proposizione (condizione necessaria di convergenza):

+∞

X x n

n=0

→ →

convergente; allora si ha x 0 per k +∞.

k

Dimostrazione. Infatti si ha k k−1

X X

−

x = x x ;

k n n

n=0 n=0

dal momento che k

X x n

n=0

www.matematicamente.it 1

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Publisher
adminv15
2 pagine