Serie numerica

Serie numerica

>> Prefazione

Progressione

lista ordinata e finita di elementi.

Successione }=a , a , a …

lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a

n 1 2 3

Successione di Fibonacci: lista ordinata e infinita di numeri naturali in cui ogni numero è la

somma degli ultimi 2 precedenti (1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 …).

Convergenza di una successione

} converge a un numero reale a e si scrive

Si dice che una successione {a

n

= a

lim a

n

→

n ∞

se per ogni numero reale positivo (ε>0) esiste un intero N, che eventualmente dipende da ε,

-a|<ε.

tale che n ≥ N, allora |a n • se a finito => la successione converge

• se a ∞ => la successione diverge

• se a non esiste => la successione diverge

Se a esiste (finito o infinito) la successione è regolare altrimenti, se non esiste, è irregolare.

Teorema di unicità

Se una successione convergente possiede un unico limite.

Se una successione converge è limitata (o superiormente o inferiormente).

Tutte le successioni monotone limitate convergono.

>> Serie (infinite)

Idealmente una serie potrebbe essere considerata come la somma degli elementi di una

successione o come somma di infiniti addendi (idealmente perché l’operazione di somma è

definita solo per un numero finito di addendi)

+ a + a +…+a +… è detta serie numerica. I numeri a , a .. sono detti termini della serie e

a n 1 2

1 2 3

an è il termine generale della serie.

Le somme parziali ennesime sono definite come la somma dei primi enne termini della serie.

Se il limite, per n che tende a infinito, della successione delle somme parziali:

esiste ed è finito e risulta s, la serie è convergente e ha per somma s,

- infinito, la serie è divergente,

- non esiste, diremo che la somma è irregolare.

-

Proprietà (per ogni n appartenente ai numeri naturali):

≥ a

monotona crescente: a

- n+1 n

> a

strettamente monotona crescente: a

- n+1 n

≤ a

monotona decrescente: a

- n+1 n

< a

strettamente monotona decrescente: a

- n+1 n

* a <0

oscillante: a

- n+1 n

= a

costante: a

- n+1 n

≥ L

limitata inferiormente: ЗL a

- n ≤ M

limitata superiormente: ЗM a

- n

Se una serie è monotona limitata la serie è convergente.

Teorema di invarianza del carattere di una serie per soppressione di un numero finito di

termini iniziali: se da una serie sopprimo un numero finito di termini iniziali il suo carattere non

varia ma la sua somma potrà cambiare.

Serie - 1 - Borlini Alex

Teoremi e Σ b convergono => Σ (a + b ) converge

• Se Σ a

n n n n

) = c*Σ a

• c є R, Σ (c*a