05 Scienza delle Costruzioni - Taglio e torsione

5 Scienza delle costruzioni

Taglio e torsione

• Taglio e torsione....................................................................................................................... 2
• Funzioni delle tensioni – Formula di Jourawsky ................................................... 4
• Semplificazione della formula di Jourawsky ....................................................... 10
• Esercizio (Sezione rettangolare sottile).......................................................................................... 11
• Esercizio (Sezione a T) .................................................................................................................. 13
• Esercizio (Sezione a C) .................................................................................................................. 18
• Centro di taglio....................................................................................................................... 19
• Esercizio (Sezione a C – Calcolo del centro di taglio) .................................................................. 22
• Utilità del centro di taglio ............................................................................................. 26
• Torsione ........................................................................................................................................ 27
• Sezioni circolare piena .................................................................................................... 28
• Sezione circolare cava ................................................................................................... 29
• Sezione sottile aperta ..................................................................................................... 30
• Sezione sottile chiusa (Formula di Bredt) ........................................................... 32
• Confronto tra sezioni sottili aperte e chiuse................................................... 35
• Conclusioni................................................................................................................................. 36

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Taglio e torsione

Nel problema di taglio e torsione sono presenti solo forze aventi direzione appartenente al piano della sezione del cilindro (analogamente al caso della presso-flessione in cui le forze avevano invece direzione assiale al cilindro).

In particolare chiamiamo Q la generica forza avente direzione appartenente al piano della sezione (si tratta quindi di forze di taglio) e con C il suo punto di applicazione.

Il sistema di forze costituito dalle Q può essere espresso in maniera equivalente (per il principio di Saint-Venant) attraverso la forza equivalente applicata nel punto Q_eq C_eq.

Cerchiamo di capire qual è la forza equivalente Q_eq e il suo punto di applicazione C_eq.

La risultante di tutte le forze di taglio applicate alla sezione, T_L, è calcolabile come la somma di tutte le forze di taglio Q_i.

N.B. Nel caso della presso-flessione, le forze hanno tutte direzione assiale, pertanto per calcolare la forza equivalente é sufficiente farne la somma algebrica. Nel caso di taglio e torsione, le forze sono effettivamente dei vettori (hanno direzione appartenente al piano della sezione), pertanto dovremo farne la somma vettoriale.

T_L = Σ Q_i ovvero T_L = Q_eq.

Il risultato di tale somma sarà un vettore appartenente ancora al piano della sezione.

Il momento torcente M_{t L}, scelto un generico polo sul piano della sezione, è calcolabile come segue: M_{t L} = r_Ceq × Q_eq ovvero M_{t L} = Σ r_i × Q_i.

Il risultato del prodotto vettoriale r_Ceq × Q_eq sarà un vettore di direzione assiale al cilindro (i vettori r_Ceq e Q_eq infatti appartengono al piano della sezione: il loro prodotto vettoriale darà come risultato un vettore normale ad entrambi).

Per evitare di svolgere ogni volta il prodotto vettoriale r × Q, sviluppiamolo una volta per tutte: (da utilizzare come scorciatoia per i calcoli).

r = xe₁ + ye₂, Q = Q₁e₁ + Q₂e₂.

Sviluppiamo il prodotto vettoriale:

r × Q = xe₁ × Q₁e₁ + xe₁ × Q₂e₂ + ye₂ × Q₁e₁ + ye₂ × Q₂e₂.

Ricordando che il prodotto vettoriale tra vettori paralleli è nullo (quindi termini 1 e 4 sono nulli), avremo:

r × Q = xe₁ × Q₂e₂ + ye₂ × Q₁e₁.

Raggruppando i prodotti tra vettori avremo:

r × Q = xQ₂(e₁ × e₂) + yQ₁(e₂ × e₁).

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Dalle permutazioni sappiamo che e₁ × e₂ = e₃ e che e₂ × e₁ = −e₃, quindi:

r × Q = xQ₂e₃ − yQ₁e₃.

Risulta il seguente vettore avente direzione assiale:

r × Q = (xQ₂ − yQ₁)e₃.

Da notare che esso corrisponde al seguente prodotto scalare:

r × Q = {−y, x} ⋅ {Q₁, Q₂}e₃.

Ricordando che il vettore (−y, x) = r^T è il ruotato di r, possiamo scrivere:

r × Q = (r^T ⋅ Q)e₃.

Sostituendo tale risultato nell’espressione di M_{t L}, possiamo esprimere il momento torcente come segue:

M_{t L} = r^T ⋅ Q ovvero M_{t L} = Σ r_i^T ⋅ Q_i = r_Ceq^T ⋅ Q_eq.

Esercizio

Consideriamo una sezione quadrata come raffigurata, a cui sono applicate le 3 forze Q aventi direzioni appartenenti al piano della sezione.

Calcoliamone la forza equivalente Q_eq e il punto di applicazione C_eq.

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Funzioni delle tensioni – Formula di Jourawsky

Date per dimostrate le affermazioni precedenti, esaminiamo nel dettaglio il problema di Taglio e Torsione, cioè il problema nel quale il taglio e il momento torcente sono non nulli sulla base L:

T_L ≠ 0

M_{t L} ≠ 0

Per risolvere il problema scriviamo innanzitutto le equazioni che dobbiamo verificare.

• Le equazioni di equilibrio indefinito sul cilindro nell’ipotesi di Clebsch Saint-Venant: (devono valere in tutti gli infiniti punti del cilindro):

τ′ = 0 (derivata di τ rispetto a z è nulla)

div τ + σ′ = 0

• La condizione per la quale la forza di contatto deve essere nulla sul mantello laterale (deve valere in tutti i punti del mantello):

τ ⋅ ν = 0 dove ν è la normale al mantello in ogni punto del mantello.

N.B. Tale condizione non ci dice che la tensione tangenziale τ deve essere nulla sul mantello, ma che essa deve essere ortogonale a ν, cioè parallela al bordo del cilindro.

• Le condizioni sulla base L ci dicono che T e (ultima componente ovvero ultima colonna del tensore T) sulla base L è uguale a t_L:

T e₃ = t_L.

Rinunciamo a soddisfare tali condizioni su tutti i punti della base L, e cerchiamo di soddisfarle soltanto in termini di risultanti N_L, T_L, M_{f L}, M_{t L}. Andremo quindi ad uguagliare tali risultanti alle azioni esterne applicate alla base L: in questo caso avremo soltanto il taglio e il momento torcente M_{t L} mentre le altre risultanti saranno nulle:

N_L = 0

T_L = Q

M_{f L} = 0

M_{t L} = r_Ceq × Q_eq.

Osservazione

Sulla base B₀ possiamo affermare che, per l’equilibrio:

Lo sforzo assiale N₀ = N_L = 0;

Il taglio T₀ = T_L;

Il momento flettente M_0f ≠ M_{f L}. Infatti sulla base L esso sarà nullo, mentre sulla base 0 sarà:

M_0f = L e₃ × T_L.

Più in generale, il momento flettente alla generica sezione z sarà:

M_f(z) = (L − z)e₃ × T_L.

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Abbiamo quindi una distribuzione lineare del momento flettente, che aumenta linearmente man mano che ci allontaniamo dalla base L su cui è applicato il taglio T (per questo motivo i problemi di taglio vengono detti anche “problemi di flessione non uniforme”).

Ciò premesso dobbiamo cercare le funzioni delle tensioni σ e τ che soddisfano le suddette equazioni.

Scriviamo innanzitutto le equazioni delle risultanti delle tensioni (sforzi) in termini di σ e τ, ricordando che, sulla base L, soltanto lo sforzo assiale e il momento flettente M_{f L} sono nulli:

N_L = ∫_B σ = 0

T_L = ∫_B τ = Q

M_{f L} = ∫_B r × σ = 0

M_{t L} = ∫_B r × τ.

Osservazione

Nel caso della presso-flessione, per verificare la nullità del taglio e del momento torcente, avevamo scelto l’ipotesi più semplice, cioè che τ fosse nulla in tutti i punti del cilindro.

Nel problema di taglio-torsione, per verificare la nullità dello sforzo assiale e del momento flettente, non è invece possibile adottare l’ipotesi più semplice per la quale la tensione σ risulti essere nulla in tutti i punti del cilindro perché, adottando tale ipotesi, il momento flettente dovrebbe essere nullo in tutte le sezioni del cilindro: ma ciò non è vero in quanto, come osservato in precedenza, abbiamo un momento flettente lineare generato dal taglio T. Per questo motivo la funzione della tensione σ non può essere nulla ovunque ma soltanto sulla base L.

L’impossibilità di adottare la soluzione più semplice per tutto il cilindro, complica molto la ricerca della soluzione nel problema di taglio-torsione.

È per questo motivo che, adottando alcune semplificazioni, andremo alla ricerca di una soluzione approssimata.

(Nel caso di taglio-torsione abbiamo una soluzione approssimata, a differenza del caso della presso-flessione in cui la soluzione è esatta in ogni sezione del cilindro).

La soluzione approssimata che andremo a ricercare è la Funzione di Jourawsky e sarà valida esclusivamente per sezioni sottili (travi a parete sottile).

Facciamo alcune valutazioni sulle funzioni σ e τ e vediamo quali semplificazioni è possibile adottare.

Anche nel caso di taglio-torsione, la tensione τ non dipende da z, pertanto τ è una funzione del tipo:

τ = τ(x, y) (non dipende da z, ma solo da x e y).

Nel caso di taglio-torsione (a differenza della presso-flessione) la tensione σ dipende anche da z (lo deduciamo dal fatto che esiste il momento flettente), pertanto σ è una funzione del tipo:

σ = σ(x, y, z) (dipende anche da z oltre che da x e y).

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La dipendenza della tensione σ da z è lineare, infatti σ è proporzionale al momento flettente che, come abbiamo visto, cresce linearmente con la distanza z dalla base L.

Queste funzioni devono valere su tutti gli infiniti punti del cilindro. Tuttavia una volta appurato che τ non dipende da z e stabilito che σ è lineare rispetto a z, dobbiamo scrivere le due funzioni affinché esse siano valide in ciascun punto di una certa sezione (infiniti 2 punti).

Con la semplificazione di Jourawsky rinunciamo a soddisfare esattamente le equazioni sugli infiniti punti della sezione, e chiediamo che l’equazione div τ + σ′ = 0 sia verificata in media sul dominio.

In generale, la media di una generica funzione f(x, y), definita su un dominio D, è data dall’integrale della funzione esteso al dominio D, diviso il volume (o l’area) del dominio D, cioè:

f = 1/vol D ∫_D f(x, y) (media di una generica funzione f(x, y) su un volume D).

L’idea di Jourawsky è quella di considerare, quale dominio di integrazione su cui far valere l’equazione indefinita di equilibrio div τ + σ′ = 0, non l’intera sezione B, ma un suo sottodominio B* (come raffigurato ad esempio in figura).

Andiamo a integrare l’equazione indefinita di equilibrio sul sottodominio B*:

∫_B*(div τ + σ′) = 0 che può essere separato nella somma di due integrali:

∫_B* div τ + ∫_B* σ′ = 0.

1) Analizziamo il primo termine ∫_B* div τ.

Dal teorema della divergenza ricordiamo che l’integrale della divergenza di una funzione sul dominio B*, è uguale al flusso della funzione attraverso il bordo ∂B* del dominio, cioè:

∫_B* div τ = ∫_∂B* τ ⋅ ν dove ν = vettore normale al bordo del dominio.

Il bordo ∂B* del dominio in questo caso è quello complessivamente evidenziato (in verde e in arancione).

Il bordo del dominio B* è quindi costituito da due parti: una parte ∂₁(B*) è in comune con il bordo (mantello) del dominio complessivo B (in verde) mentre una parte interna ∂₂(B*) è costituita dalla corda interna (in arancione) che distingue il sottodominio B* dal dominio B.

È quindi possibile separare l’equazione del flusso di τ nella somma di due equazioni:

∫_∂B* τ ⋅ ν = ∫_∂1B* τ ⋅ ν + ∫_∂2B* τ ⋅ ν.

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Tale distinzione ci è utile perché, dato che sul mantello laterale deve valere l’espressione τ ⋅ ν = 0, possiamo affermare che il flusso di τ sul bordo ∂₁B* è sempre nullo. Pertanto, nella precedente equazione, sopravvive soltanto il flusso di τ sul bordo interno ∂₂B*:

∫_∂B* τ ⋅ ν = 0 + ∫_∂2B* τ ⋅ ν ovvero:

∫_B* div τ = ∫_∂2B* τ ⋅ ν.

2) Analizziamo il secondo termine ∫_B* σ′.

Andiamo a cercare l’equazione della tensione σ(z) tale che soddisfi le condizioni imposte in precedenza:

N_L = ∫_B σ = 0 (sforzo assiale nullo in tutti i punti del dominio)

M_f(z) = (L − z)e₃ × T_L (momento flettente lineare e dovuto alla presenza del taglio).

Scegliamo l’equazione di σ(z) avente la seguente forma:

σ(z) = a(z) + b(z) ⋅ r.

Come nel caso della presso-flessione, (attenzione rifare i calcoli come fatti la volta precedente) calcolando i termini a e b, avremo i seguenti risultati:

a = −b ⋅ r_G

b = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹ F_C

Ricordando che F_C = r_G × M_f e che F_G = r_G × N_L, possiamo scrivere b come segue:

b = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹(M_f − N_L).

Nel caso di taglio-torsione, poiché abbiamo detto che lo sforzo assiale N_L = 0, andremo ad eliminare all’interno dei termini a e b, tutti quei parametri che si riferiscono allo sforzo assiale N (cioè F/A e N). Resterà dunque:

a = −b ⋅ r_G

b = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹M_f.

L’equazione della tensione σ(z), sostituendo i coefficienti a e b in σ(z) = a(z) + b(z) ⋅ r:

σ(z) = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹(M_f) ⋅ r_G + −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹(M_f) ⋅ r.

Cambiando segno e raggruppando i termini avremo:

σ(z) = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹(M_f) ⋅ (r − r_G).

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A tal punto dobbiamo sostituire il generico momento flettente M_f, con l’equazione del momento flettente all’ascissa z derivante dal taglio T_L, cioè:

M_f(z) = (L − z)e₃ × T_L.

Il ruotato di M_f sarà pertanto il seguente:

M_f^T = −(L − z)e₃ × T_L.

Inoltre, dato che il ruotato di e₃ × T_L è proprio T_L, otteniamo:

M_f^T = −(L − z)T_L.

Il ruotato di M_f, che sostituiremo nell’espressione di σ:

σ(z) = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹(L − z)T_L ⋅ (r − r_G).

Poiché in effetti stiamo cercando la sua derivata prima rispetto a z, deriviamo la funzione σ(z):

σ′(z) = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹T_L ⋅ (r − r_G).

A questo punto vediamo cosa viene fuori dall’integrazione di σ′ sul dominio B*:

∫_B* σ′(z) = ∫_B* −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹T_L ⋅ (r − r_G).

Poiché l’unico elemento che dipende da x e y (coordinate dei punti sul dominio B*) è il vettore r, lasciamo (r − r_G) nell’integrale, e tiriamo fuori tutte le altre quantità costanti:

∫_B* σ′(z) = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹T_L ⋅ ∫_B*(r − r_G).

Risolvendo l’integrale avremo (notare che r_G, baricentro del dominio B, è costante):

∫_B* σ′(z) = −[J_G − A(r_G ⊗ r_G)]⁻¹T_L ⋅ (A* r_G* − A* r_G) dove A* = area del sottodominio B*.

r_G* = baricentro del sottodominio B*

A* r_G* = momento statico del s.d. B*.

Abbiamo in questo modo ottenuto