Schema Statistica 2

Richiami e probabilità

Sia \(X \sim N(5,3)\), \(P(X > 6) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{6 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z > \frac{6 - 5}{3}\right) = P(Z > 0.58)\).

La tavola riporta valori della coda a sinistra

\(= 1 - P(Z \leq 0.58) = 0.281\)

\(P\left(Z \leq \frac{c-5}{3}\right) = 0.7 \Rightarrow \frac{c-5}{3} = z_{0.7} \Rightarrow c = 0.52 \Rightarrow c = 5 \cdot 9\)

Cerco 0.7 dentro la tabella

\(P(a \leq Z \leq b) = P(Z\)

Valore atteso

\(E(x) = \sum x \cdot f(x) \quad \text{oppure} \int x \cdot f(x) \, dx\)

God: della proprietà di linearità: \(E(\alpha x + b) = \alpha E(x) + b\)

\(E(x^4 y^5) = y(x^4) \cdot y((e^5 y)\)

Varianza

\(\operatorname{var}(x) = E((x_i - x)^2) = \sum(x - x_i)^2 \cdot f(x) \quad \text{oppure}\)

Formula operativa \(\operatorname{Var}(x) = E(x^2) - (E(x))^2\)

Proprietà di additività \(\operatorname{Var}(a + b) = a^2 \operatorname{var}(x) + b^2 \operatorname{var}(y) + 2ab \operatorname{cov}(x, y)\)

\(\cdot 2 \cdot \operatorname{var}_b \operatorname{var}_a \cdot \operatorname{cov} \cdot \operatorname{var}_{b_1} \operatorname{var}_{y_{b_2}} + b 2 ab \operatorname{cov}(x,y)\)

Disuguaglianza di Markov

\(\rightarrow x \quad \text{determinare estremo inferiore}\)

Sia \(y:x \underline{\leq} (e)\ = \frac{y_1}{y_{\underline{y_2}}} = X \cdot \frac{\mu_y}{e}\)

Disuguaglianza di Chebyshev

Sia \(x.c\) con \(E(x) = x\) e \(\operatorname{var}(x) = \sigma^2\) (finiti). Allora \(P(|x-yi(e)| > \frac{1}{\sigma^2})\)

Teorema centrale del limite

A) \(S_n = \sum x_i\) per \(n \rightarrow \infty\)

\(\left[\frac{\overline{X_n} - E(x_n)}{\operatorname{var}(S_n)}\right] \Rightarrow Z \rightarrow N(0,1)\)

Con \(E(\overline{x_n}) = E(x) = \mu\) e \(\operatorname{Var}(x_n) = \frac{\sigma^2}{n}\)

\(\Rightarrow N\left(\frac{1}{n}, \frac{\sigma^2}{n} \right)\)

B) \(S_n = \sum y_i\) per \(n \rightarrow \infty\)

\(\left[\frac{S_n - E(\overline{s_n})}{\operatorname{var}(S_n)}\right] \Rightarrow Z \rightarrow N(0,1)\)

Con \(E(S_n) = n \cdot \mu\) e \(\operatorname{Var}(x_n) = n \cdot \sigma^2\)

\(S_n \Rightarrow N(n \cdot \mu , n \cdot \sigma)\)

Stimatore

Una funzione per approssimare il parametro della popolazione o il valore che assume in un determinato campione si chiama stima. Riferita al campione, posso rimunare i parametri fissi ed ignorati (e riferiti alla popolazione) che vanno stimati.

Richiami e probabilità

Sia \(X \sim N(5,3)\), \(P(X > 6) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{6 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z > \frac{6 - 5}{3}\right) = P(Z > 0.58)\).

La tavola riporta valori della coda di sinistra

\(= 1 - P(Z \leq 0.58) = 0.281\)

\(P(Z \leq \frac{c-5}{3}) = 0.9 \Rightarrow \frac{c-5}{3} = 2.03 \Rightarrow c - 5 = 0.52\)

\(c = 5.9\)

\(P(a \leq Z\)

Valore atteso

\(E(x)=\sum x_i f(x_i) \quad \text{oppure} \quad \int x f(x) dx\)

Grazie alla proprietà di linearità: \(E(\alpha x+b) = \alpha E(x) + b \forall E(x^4)=E(y^2)+E(z^3)\)

Varianza

\(\operatorname{var}(x)=E[(x-x_i)^2] \cdot f(x) \quad \text{oppure}\)

Formula operativa \(\operatorname{Var}(x) = E(x^2) - (E(x))^2\)

Proprietà di omogeneità \(\operatorname{Var}(\alpha x + b) = \alpha^2 \operatorname{Var}(x)\)

\(x \leq 2\) con \(\operatorname{var}((x_i) +\alpha^2 \operatorname{var}(b) +2 \operatorname{corr}(x,y)=0)\)

Disuguaglianza di Markov

\(\rightarrow x \quad \text{determinare estremo su}\)

Sia \(y \geq c \quad (c=E(x)=\mu_y)\) Allora \(P(y, z) \leq \frac{\mu_y}{\varepsilon}\)

Disuguaglianza di Chebyshev

Sia \(y,c\) con \(c\)...