Scambio di Calore

Numero di Reynolds

Re = ^{ρ v d}/_μ or Re = ^{v d}/_υ

ρ = densità

v = velocità

d = diametro

υ = viscosità cinematica

Portata

Q = v A

v = ^Q/_A

A = ^Q/_v

Fattore di attrito

Moto laminare

f = ¹⁶/_Re

Moto turbolento

Prandtl ¹/_√f = 4 log₁₀ ^{Re √f}/_2.55 - 0.4

Colebrook ¹/_√f = -2 log₁₀ ^ε/(_3.7 D) + ^2.55/(_{Re √f})

Haaland ¹/_√f = 3.6 log₁₀ ^6.9/_Re + (^ε/(_3.7 D))^1.11

Equazione di continuità

Q = v₁A₁ = v₂A₂

Perdite di carico ΔH

Perdite carico concentrate

Δh_c = α ^V_c2/_2g

Perdite carico distribuite

Δh_d = λ ^L/_d ^v2/_2g

Sforzo e cedere

τ_w = ^D/₄ ρ g j

j = β ^w0/_D²

β = ^{2 τ_w g}/_8(cv)²

Numero di Reynolds

Re = ^svd⁄_µ = ^vd⁄_ν

s = densità

v = velocità

µ = viscosità cinematica

d = diametro

Portata

Q = v A

v = ^Q⁄_A

A = ^Q⁄_v

Fattore d'attrito

Moto laminare

f = ¹⁶⁄_Re

Moto turbolento

Prandtl: √^f⁄₈ = 1.255 log₁₀(R_eq^-1)

Colebrook: ¹⁄_√f = -2 log₁₀(^ε⁄_D)

Haaland: ¹⁄_√f = 3.6 log₁₀(^ε⁄_D)

Eq. continuità

Q = v₁A₁ = v₂A₂

Perdite di carico ΔH

Perdite carico concentrate

Δh_vc = α^V_c2⁄_2g

Perdite carico distribuite

ΔH_d1 = 4 f^V_c2⁄_2g

Sforzo e cadente

t_w = ^D⁄_{4 Sg}

J = β ^g2n⁄_gD

f = s ^gD⁄_8(cv)²

Spinte

S = 8 A _2/3

M = S.by_c = y_G + I_G

I_O =       d b³ ⁄ 12       PR ^{4⁄ 4}       d b³ ⁄ 36       l b ⁄ 3

Archimede

F_A = V _imm δ_F

P = δ_o V_o

Metodo differenziale

dm ⁄ dt = m _in - m _out

= 8 (Q_in - Q_out)

1 dm ⁄ dt = Q_in - Q_out

dV ⁄ dt = Q_in - Q_out

A dH ⁄ dt = A_in V(t)_in - A_out V(t)_out

Fenomeni di trasporto

Bilancio energia

ΔE = Q - W

dE/dt = Ė_in - Ė_out + Q̇_in - Q̇_out + Ẇ_in - Ẇ_out

Modi per trasporto energia

• Conduzione
• Convezione
• Irraggiamento

Si può trasportare en. solo se n ho una diff. di temperatura

Conduzione

q̇ = -K (dT/dx)

K = Conducibilità

+ =: perché T diminuisce

W/m²

dov una sup. A → Q̇

Q̇ = -A K ∇T

dE/dt = Ė_in - Ė_out + Q̇_in - Q̇_out + Ẇ_in - Ẇ_out

Se T dentro la funzione f (x), dT/dx = 0

dE/dx = dQ̇/dx

dE/dx = Q̇_in - Q̇_out

dE/dx = -∫ dQ̇/dx dx

Suppongo che Ē = Ψ (T) + β (x)

∂U/∂t = ∂Q̇/∂x dx

_∂Q_/∂t₌∂U_/∂t₌∂T_/∂t

Calore specifico "c"

m c _∂T_/∂t₌-k_ΔT_/∂n

∂_/∂t₌∂_/∂n₍k_∂T_/∂n_),

_{^∂2T/∂n2=0}

T₌c₁x₊c₂

T₌T_s-T_i/s_n+T_{s →}∂T₌c₁x₊∂_T/∂n=k_Ti-T_s/s

Q₌k⁽T_i-T_s⁾ _A

T₌c_1x+h₌₀

T_=T1s₌5_c

Scambio termico

dE/dt = Q_in - Q_out = 0 → Q₁ = Q₂ → Q₂ = Q₃

Q ^Sv/_kvA = T₁ - T_1a

Q ^Sa/_kaA = T_2a - T_1a

Q ^Sv/_kvA = T_2a - T₂

Sommo le parti a sx e quelle a dx

Q(^Sv/_kvA + ^Sa/_kaA + ^Sv/_kvA) = (T₁ - T_1a) + (T_2a - T_1a) + (T_2a - T₂)

Q = ^{T₁ - T₂}/_{(^Sv/kvA + ^Sa/kaA + ^Sv/kvA)}

In generale

Q̇ = U A ΔT

U = coeff. globale di scambio termico

A = area   ΔT = diff. di temp.

UA = 1/ΣR_i      R_i = ^S_i/_kiA

Resistenza controllata è quella con k_i: ½

Per un tubo

Profilo Temp...

T(r2) = (T₁ - T₂) ln r₂ / ln R₂ / r₂ + T₁

Q = 2π L k (T₁ - T₂) / ln R₂ / R₁

Più strati

Q = (T₁ - T₂) / (ln R₂ / R₁ / 2π L k₁ + ln R₃ / R₂ / 2π L k₂ + ln R₄ / R₃ / 2π L k₃)

or Q = UA (T₁ - T₂)

Convezione

Trasferimento da sup. a fluido in movimento

T_s = temp. superficie

T_∞ = temp. lontano dallo sup.

𝔞 = (h)(T_s - T_∞)

Coeff. convettivo di scambio termico unima

Req𝕫 nel 1' strato: conduttivo

q𝕫 = -k dT/dy

q nel 2' strato: convettivo

q𝕫 = h ∆T

Se vedo nell'interfoccia

q_conv = q_cond → h∆T = -k dT/dy

h = -k dT/dy ∆T

Re = ρvD/μ

Nu = h_D/k

Nu = cost -> F

Pr = μc_p/k

h = Nu k/D

lunghezza corda.

1. Convezione forzata

β = - ¹/_f ( ∂p / ∂T )_f

Coeff. di dilatazione termica

per gas perfetti p = ^p/_RT W → β = ¹/_f ( ∂p/^RT )

per gas perfetti β è l'inverso della temperatura

α = γβΔT ⇒ F = m gβΔT = ρVgβΔT

F / V = ρgβΔT

La vel del fluido è:

v = ^F/_D = ρ₀gβΔT²

pertanto, da Re = ^ρUD/_μ ⇒ N° di Groshof ^ρ2gβΔTΔ3/_μ²

lunga cost.

Per tubi

(T_i;T_f)

Q = h 2πR ΔT

Q̇ = h₁ 2πR_L (T_i-T_p)

Q̇ = h₂ 2πR₂L (T_p-T_e)