Risposte per esame di Fluidodinamica

Descrivere la decomposizione del gradiente di velocità

Il gradiente di velocità, indicato con ∇V, può essere decomposto in una parte simmetrica e una antisimmetrica. Sia V(x,t) un campo di velocità dato da una matrice 3x3. Questo gradiente può essere decomposto in una parte simmetrica E e una antisimmetrica Ω:

∇V = ½(∇V + ∇V^T) + ½(∇V - ∇V^T) = E + Ω.

A sua volta, il tensore simmetrico E può essere decomposto come:

E = (1/3∇·V)I + D + S

dove:

• D è il tensore della velocità di deformazione lineare (componente sferica);
• S è il tensore della velocità di deformazione di taglio (componente deviatorica).

Il gradiente di velocità V può essere decomposto in tre termini: V = Ω + D + S.

Scrivere l'espressione del tensore delle tensioni per un fluido incomprimibile non newtoniano

Il tensore delle tensioni t(x,i) può essere espresso come una matrice 3x3:

• t(x,i) = (σ_xx τ_xy τ_xz)
• t(x,j) = (τ_yx σ_yy τ_yz)
• t(x,k) = (τ_zx τ_zy σ_zz)

Lo stato di tensione in corrispondenza di un punto appartenente a un continuo può essere rappresentato in base al teorema di Cauchy: t(x,n) = T(x)·n, con n versore normale a una generica superficie S. Attraverso l'espressione per il tensore degli sforzi, si possono esplicitare i suoi elementi: T = -P I + τ, dove I è la matrice identità mentre τ = λ(∇ · V)I + 2µE.

Energia cinetica generale

Per un sistema con N gradi di libertà, l'energia cinetica complessiva sarà data dalla somma di N termini che valgono ognuno ½K_BT: E = N½K_BT.

• Per una molecola monoatomica abbiamo solo 3 gradi di libertà accessibili: E = (3/2)K_BT.
• Per un gas biatomico abbiamo 3 gradi di libertà traslazionali, 2 rotazionali e 2 vibrazionali. In totale abbiamo quindi 7 gradi di libertà. Per temperature non troppo elevate (T<1000K), i 2 gradi di libertà vibrazionali danno un contributo trascurabile all'energia cinetica, quindi: E = (5/2)K_BT.

Proprietà: Dal differenziale totale alla derivata materiale

Consideriamo una proprietà scalare, ad esempio la temperatura, ipotizzando un campo monodimensionale dipendente dal tempo: T(x,t). Calcoliamo il differenziale totale della proprietà scalare considerata. Esso è espresso come:

dT = ∂T/∂x dx + ∂T/∂t dt

Da qui, lo spostamento infinitesimo dx lungo la traiettoria della particella fluida si può esprimere come dx = u dt, dove u è la sola componente non nulla della velocità del particella fluida. Quindi, abbiamo l'equazione:

dT = ∂T/∂x u dt + ∂T/∂t dt

Dividendo primo e secondo membro per dt, otteniamo:

DT/Dt = ∂T/∂t + u ∂T/∂x

In generale, in un campo tridimensionale la derivata materiale descrive il trasporto di una quantità scalare o vettoriale con una velocità di convenzione V(x,t). La derivata materiale di una generica proprietà scalare T è:

DT/Dt = ∂T/∂t + u ∂T/∂x + v ∂T/∂y + w ∂T/∂z

Dove u,v,w rappresentano le componenti cartesiane della velocità V.

Esprimere lo sforzo di taglio per un fluido newtoniano in funzione della componente simmetrica del gradiente di velocità

Per calcolare l'entità degli sforzi tangenziali all'interno di un fluido si fa riferimento a due strati piani paralleli alla parete, uno fisso e uno mobile, separati da uno spessore differenziale normale alla parete. La legge di Newton afferma che lo sforzo tangenziale:

Τ_ij = -μ (δv_i / δr_j)

dove:

• μ è la viscosità del fluido;
• δv_i è la differenza di velocità tra i due strati di fluido lungo la direzione i;
• δr_j è la differenza di posizione tra i due strati di fluido lungo la direzione j perpendicolare a i.

In generale, si ha la presenza di sforzi di taglio nei fluidi viscosi. I fluidi per i quali questi sforzi seguono la legge di Newton sono detti Newtoniani. Quando gli sforzi di taglio sono assenti, il fluido viene chiamato fluido perfetto.

Scrivere l'equazione di conservazione dell'energia in forma differenziale

∇·(T·V) ∇·q + ρ D(e + ½|V|²) / Dt = ρ f · V - ∂p/∂t

Enunciare e formulare il teorema di Stokes

Il flusso del rotore di un campo vettoriale V attraverso una superficie aperta e regolare S è uguale alla circuitazione del campo calcolata lungo la frontiera L:

∫_L V · dl = ∫_S ∇× V · n dS

Enunciare e formulare il teorema del trasporto di Reynolds

Fissato un dato istante di tempo t, si isoli all'interno della massa fluida un generico volume materiale V(t). Il volume di controllo ad istanti successivi sarà soggetto ad una traslazione, rotazione e deformazione tale da contenere le stesse molecole del fluido.

(d/dt) ∫_V(t) f dV = ∫_V(t) [Df/Dt + f ∇·V] dV

Trasporto di Reynolds semplificato:

(d/dt) ∫_V(t) ρ g dV = ∫_V(t) ρ Dg/Dt dV

Dove g è una variabile intensiva.

Teorema di Green-Gauss

Il flusso di un campo vettoriale V attraverso una superficie chiusa e regolare S è uguale all'integrale della sua divergenza esteso al volume V contenuto all'interno della superficie chiusa S:

∫_S V · n dS = ∫_V (∇·V) dV

Dimostrare l'equazione di Bernoulli a partire dall'equazione di Navier-Stokes

Dato un flusso non viscoso, stazionario e bidimensionale, l'equazione di conservazione della quantità di moto lungo le due direzioni x e y, trascurando l'effetto delle forze di volume è:

• u (∂u/∂x) + v (∂u/∂y) = - (1/ρ) (∂p/∂x)
• u (∂v/∂x) + v (∂v/∂y) = - (1/ρ) (∂p/∂y)

Se ci muoviamo lungo una lunghezza di corrente, vale la condizione: (dy/dx) = (v/u) per definire la linea di corrente, perciò possiamo scrivere che vdx = udy. Moltiplicando la componente x dell'equazione di conservazione della quantità di moto:

u (∂u/∂x) dx + v (∂u/∂y) dy = - (∂p/∂x) dx

pudu + dp = 0

Ripetendo lo stesso procedimento sull'equazione di conservazione della quantità di moto proiettata in direzione y, abbiamo:

pdv + dp = 0

Sommandola con la precedente:

pd [(u² + v²)/2] + dp = 0

che può essere riscritta in maniera più compatta nella forma:

pd (V²/2) + dp = 0

L'integrale restituisce l'equazione di Bernoulli.