Riflessioni sull'insegnamento della geometria: un invito al dibattito sulla metodologia didattica

Riflessioni sull’insegnamento della matematica e in particolare della geometria

Di Alfio Grasso

Di quest’anno

Sono un insegnante di matematica in pensione dal 1999 e, all’inizio scolastico, desidero sottoporre ai colleghi docenti di questa disciplina nelle scuole medie superiori alcune considerazioni che, mi auguro, possano favorire un dibattito sull’aspetto metodologico-didattico dell’insegnamento della nostra materia.

Per ciò ho ritenuto possa essere interessante prendere le mosse dal Resoconto del professore Vinicio Villani, del Convegno internazionale di Cagliari del 31-10-1981, sul tema:

“Metodiche attuali nell’insegnamento della Geometria nell’arco di studi pre-universitari”.

Sulla metodologia da seguire nell’insegnamento della matematica, vi è un consenso pressoché generale sui punti seguenti:

• Le nozioni matematiche (siano esse definizioni, assiomi, simboli, teoremi o costruzioni di qualunque tipo) non vanno imposte dall’alto, in modo puramente formalistico e acritico; occorre motivarle in base alle conoscenze precedenti degli allievi e in funzione delle utilizzazioni future che se ne intendono fare. Ove possibile, si coinvolgeranno gli alunni stessi nella costruzione delle nozioni matematiche, guidandoli a formulare definizioni, a fare congetture e a dimostrarne la validità o a trovare controesempi, a riscontrare analogie strutturali, ecc.
• Vanno rispettati i ritmi naturali di apprendimento dei giovani; ciò implica la necessità di un insegnamento ciclico, a “spirale”, ritornando sui medesimi argomenti in momenti successivi, con approfondimenti via via maggiori e da punti di vista man mano più elevati, senza ricorrere ad astrazioni premature ma al tempo stesso senza disperdersi in analisi troppo minuziose di situazioni particolari e prive di successivi sviluppi.

La strutturazione delle conoscenze in teorie organiche deve essere l’obiettivo finale di tutta l’attività didattica, ma non ne può costituire in alcun modo il punto di partenza.

Dopo queste premesse, affrontiamo la questione principale, che più direttamente riguarda il tema specifico di questa esposizione: “quale dovrebbe essere il ruolo della geometria nel contesto di un insegnamento autenticamente rinnovato della matematica”? La risposta è riassunta in cinque punti, che riflettono nella sostanza le opinioni di larga parte dei matematici che si sono occupati del problema nei congressi internazionali dal 1950.

• Di geometria ne va insegnata parecchia, a tutti i livelli di scolarità; senz’altro più di quanto si usa insegnarne attualmente. Va rivalutato particolarmente lo studio della geometria nello spazio, dato il ruolo fondamentale che una corretta visione spaziale svolge nei più diversi campi della matematica e delle sue applicazioni.
• Occorre distinguere vari stadi di apprendimento degli allievi, e quindi varie forme di presentazione delle nozioni geometriche. I diversi stadi non vanno visti però come compartimenti stagni, staccati fra loro; in ogni stadio si devono riprendere e rielaborare le nozioni del livello precedente e preparare il terreno agli sviluppi previsti nello stadio successivo.
• Nella fase intermedia fra l’insegnamento “sperimentale” e l’insegnamento razionale degli ultimi anni della scuola secondaria superiore occorre prevedere uno stadio di avvio al metodo della deduzione logica. Poiché l’assiomatica di Euclide–Hilbert è troppo complessa (ventuno assiomi!) e quella vettoriale di Dieudonné troppo astratta, ci si limiterà in questo stadio a familiarizzare gli allievi col metodo ipotetico-deduttivo su parti circoscritte (ma significative) della geometria, senza la preoccupazione di costruire un sistema di assiomi globale.
• Una possibile sequenza degli stadi è la seguente (le indicazioni sulle età sono solo orientative e dipendono anche dall’impostazione del corso di studi cui ci si riferisce):
  1. Sperimentale e grafico, 6-12 anni circa.
  2. Deduttivo in senso locale, 13-15 anni circa.
  3. Sistemazione razionale, 16-17 anni circa.
  4. Geometria vettoriale, 18-19 anni circa.
  5. Ripensamento critico sul significato della geometria.
• Non esistono scorciatoie che permettano di saltare senza gravi inconvenienti alcuno di questi stadi. Pertanto il tempo da dedicare all’insegnamento della geometria non può essere ridotto; anzi va aumentato, tagliando altri rami secchi dei programmi. 1

Riflessioni sull’insegnamento della matematica e in particolare della geometria di Alfio Grasso

Qualche commento

Sul punto a). Dopo la crisi che ha investito l’insegnamento della matematica negli ultimi decenni, tutti hanno dovuto costatare ancora una volta che la geometria rappresenta una fonte inesauribile e insostituibile di suggestioni intuitive, di esempi, di esercizi, di problemi, di modi di pensare e di esprimersi, di modelli e di teorie matematiche.

Il punto b) esprime una verità ovvia, che però nella pratica dell’insegnamento spesso è ignorata: troppe volte il docente di un nuovo ciclo di studi enuncia pomposamente l’idiozia secondo cui gli allievi farebbero bene a “dimenticare” tutto quello che hanno appreso nel ciclo precedente, per consentire (a lui, naturalmente) di ricostruire l’edificio dalle fondamenta! Quanto più utile e didatticamente efficace sarebbe se quel docente accertasse con domande informali — così i giovani saranno meno intimiditi — le conoscenze già possedute dagli allievi e traesse spunto dalle risposte generiche, o ingenue, o errate, per motivare esigenze di precisione, di generalità, di rigore, del suo insegnamento!

L’aspetto indubbiamente più innovativo di queste proposte è il punto c).

L’idea di rinunciare alla presentazione di un’assiomatica globale per gli allievi che si avvicinano per la prima volta al metodo ipotetico-deduttivo non è nuova, ma ha preso nuovo vigore negli ultimi trent’anni a seguito del fallimento, in questa fascia di età, sia dell’insegnamento tradizionale euclideo-hilbertiano, sia di quello vettoriale di stampo “modernista”.

I vantaggi del metodo di “deduzione locale” sono innegabili: si assumono come vere alcune proposizioni che tutti gli allievi sono disposti ad ammettere, sia perché le ritengono “evidenti”, sia perché ne hanno una qualche conoscenza dal ciclo precedente, e se ne deducono conseguenze che “evidenti” non sono.

In questa fase ciò che conta è far capire agli allievi che ci si basa sempre su determinati presupposti (gli assiomi della teoria) e che ragionando, riflettendo su essi se ne possono ricavare, con deduzioni puramente logiche, delle conseguenze, la cui validità dipende unicamente dalla validità delle premesse e non da eventuali verifiche sperimentali o da nuovi ricorsi all’intuizione.