Le serie di potenza
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1) Criterio della radice
Sia ∑n=1∞ An una serie a termini positivi. Supponiamo inoltre che esista il limite limn→∞ (√n (An)) = L.
Allora posso affermare che:
- Se L > 1 la serie ∑n=1∞ An diverge.
- Se L < 1 la serie ∑n=1∞ An converge.
- Se L = 1 la serie ∑n=1∞ An non sappiamo definire il carattere.
Si consiglia di usare il criterio della radice quando nel termine generale An è presente una potenza con l’indice all’esponente “n”, dove a è un numero reale.
I limiti che valgono:
limn→∞ (√n(1/n)) = 1
limn→∞ (√n(an)) = 1
Criterio del rapporto
Sia ∑n=1∞ An una serie numerica a termini positivi tale che An ≠ 0.
Supponiamo che esista il limite limn→∞ (An+1/An) = L.
Allora posso affermare che:
- Se L > 1 la serie ∑n=1∞ An diverge.
- Se L < 1 la serie ∑n=1∞ An converge.
- Se L = 1 la serie ∑n=1∞ An non sappiamo definire il carattere.
Si calcola l'espressione del termine An+1 andando a sostituire n+1 al posto di n nel termine generale An della serie.
Si calcola il limite del rapporto e in base al risultato si traggono le opportune conclusioni.
Conviene usarlo quando nel termine generale An della serie compare il fattoriale.
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