Ricerca operativa

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Introduzione

Questa tratta di logistica di materia principalmente e di ottimizzazione problemi. Durante questa materia nasce la mondiale seconda guerra con britannici la dei radar con creazione una avevano, l' dispositivi limitata dunque esigenza di quantità e nasceva di utilizzo. Lo di strategia essi creare una. Veleno stesso convogli il l' di per organizzazione, bombe delle sottomarine le piazzamento operazioni e. L' di tutto attraverso utilizzo può ciò modelli fatto essere interesse descrivono il di 1 che matematici sistema situazione.

Alto modello il sistema deve descrivere con un livello irrilevanti variabili di ostruzione ignoranza le rilevanti attenzione facendo quali quelle siano ae "AUmWàmIfdaoamq." -GeageB↳ che non caratterizzi modello può si un appieno una avere che solo lo dato approssima processo uno ma "" Ciò facciamo che semplificato mondo cui è un creare subarare reale il matematico mondo modello un ovvero, l' che ci molte consentiranno semplificazioni approssimazione con modello sarà citata utile tale prima se. Caratterizzava concepito è ciò stato cui per.

" " di il moxinrize problema tutto è or mini suite un sempre dei anche detti vincoli obiettivi considerando uno più o, variabili controllo di. Quindi abbiamo:

• Variabili decisionali variabili utilizzare da cambiare: - per obiettivo fz performance sistema agendo del sulla le.
• Qualcosa funzione obiettivo massimizzare: minimizzare o Ti-.

Può colori fatto i reali in corsi essere sono se e, più risultati in complicazioni ci se sono: ÷÷:÷÷÷:÷: ÷÷÷:: i) 1° 100 € termine mila Es brare decisione: a) 100 € 2° mila breve termine imitare decisione a e - 5 tra anni. 1° la scegliendo la conviene. L' obiettivo n.hn principale soldi è quasi risparmiare sempre.

Funzioni lineari

Una funzione lineare può è Xz x2 se xn, ... . scritta essere come [ ) flxz ( tcnxnXL= txn sxz -- --, .., .., con costanti C1 CL cn. ., ., , b per costante funzione lineare allora ed ogni ogni b) b(fcxs ) f7 EXn x2 e xn, ,.. ,.,. .. lingua linearizioni sono.

Es:) 5×2-2×1 lineare t 44X >• -) 72×31-3×32 )(132×1×2 lineare è c'• xs.ir non.

Problemi di programmazione lineare

Un problema di ottimi è lineare zzizozione un programma: cui in la obiettivo lineare deve funzione essere i- deve vincolo o- ogni equazione essere una o un disequazione lineare delle variabili sulle ci restrizioni sono.

Esercizio

Vogliamo prodotti entrambi le di prodotte i massimizzare unità EPLXL Xzepz. Per te che abbiamo il profitto è: ( )57210 unità3= per ogni - ( )472P2 2 mentre unità8 = per per = -) flxs 2×2XL t3=µ,

I vincoli sono:

• Con xs +270, X1t2X2c-

Come?) vincoli flat massimizza questi con xr, X2A. Devo trapezio) flxs questo ma xz su, ,>9 sapendo che insieme è - connesso un, dall' che ottenuto dato è stato I intersezione di figure connesse. :÷÷÷÷÷÷÷÷" poliedro quello è connesso in un rosso. ~ ,-xz9415 trovarli trovare per devo le livello che di curve sono, gradiente è le Eal ortogonali vedremo che se curve. Dalla il allora vincolato gradiente cura esce un massimo entra è mentre un minimo se.

Calcoliamo il gradiente quindi: ftp.xzl-C3/2) f. ( 3×21-2×2x2 xz =, Ha¥Ì÷÷ Il )(nel punto mentre 3,3 è max in il (è )0,0 minimo - 9 hr con 4 2×2 di 5 X2 la 0M soluzione e fosse: se stato, questioni consentito produrre vedere dovevamo era se prodotto del intere panon.

Convertire problema di massimo in un problema di minimo

Convertire di problema in minimo di massimo un uno min 8×1-3×2=Z \ 4 E 12XzX2 - E 8!! "I 3 8×2X2= -_ xs12 ↳ al gradiente curva/÷in N. Se ho che variabili dimensioni le siamo e devono basterà allora vincolo 70 solo essere un poliedro fare chiudere connesso un per e.

( ) Quindi problema la minimizzare massimizzare o per un, problema soluzione lineare ottima punto è per un un ) ammissibile il grande nella piccolo più lo regione con valore obiettivo funzione della. Dell' il nella utilizzato grafico risoluzione metodo di nel precedente esercizio consiste sulle muoverci curve (gradiente livello dove la nella del direzione ovvero l') fz interseca trovare la che ultimo punto cresce e l' mantenere di modo insieme livello da in curva della al sotto di completo curva.

Vincoli effettivi

Vincoli effettivi non e un effettivo vincolo è membri i sinistra se a a e uguali ottimale vincoli soluzione dei destra alla sono. 3,37 cioè 61-3=9 ho (2×2++2=9 effettivo prima con effettivi allora se uguale è non sono non.

Definizione di combinazione convessa

Def combinazione di convessa, Rn combinazione due Doti punti connessa y× e una,, X ) Axloro C2 eto.LIadi punto ZE tino ogni è - ,-RN.

Definizione di insieme connesso

Def di insieme connesso IRN. Un SE contiene è insieme insieme connesso se un di combinazioni di tutte le punti ogni coppia connesse in esso. Graficamente che che vuol qualsiasi dire congiunge segmento nell' insieme è di punti coppia ogni. Connessi ossi.l interseziani di insieme convessi e un inn.es↳ l' non è unione sempre nero per.

Definizione di funzione connessa

Def funzione di connessa. fcx Allora IR) Detto s è s: insieme → convesso un. in 7×2 5 funzione convessa Xz se una, ) d)a( Xxi (f. lieto fcxe( E (f- )Axa »)2-2- con +t x2 .^| " -allora il se è è è 7 concorre, fz che le lineari connesse con: sia concava sono.

Definizione di punto estremo

Def di estrema punto. Un punto è estremante ise P S SE connesso con - A Pin contenuto estremo risulta segmento 5 un essere - A B KatmaiD CB AES personale del: programmazione XG RegXXSXhX2 XXL 73 Xi il sono -V di V impiegati L 10Vv numero v ÷ VLe indicano V vi15 giorni V v V iv v- lavora V cui si v 12v vvsDts inizia da sise.

Il diventa problema: Xg t X7t XL tXt Xut tXZ XL minimizzare: se s vincoli i: con seguenti 7 10TXXGt 7XtXu stXL- txort Xs 712xzt t XX- 7X 7TXG3Xzt ttXa Xz 20- 717XXht tX 7XL tXlt 3- 715TX Xs4 tXtX 3- txza 12t X XsXu+ TXGX2 t 7- > 5Xs+X 77TXXGt +Xus--

Problema di fusione

Problema fusione di vediamo subito bisogna ui cui un esempio creare un mangime per animali gli. " iii.:÷ L' obiettivo soddisfacendo specifiche è le spendere meno assumiamo kg2 di di mangime avere L ( ) kg timeshare di necessari C corn ( kg ) di necessari S soia di ( Kyi necessari 0.450.1 tL 0.2C min 1-=z vincoli seguenti con: i§Lt 1c st e neon%: :: :[: :0.02C 1- 0.050.08 ES )(Le to.us0.2C1C tC1 0.1 ss ze- -- - )( ffsTizi2- 0.1 to.sc +0.35= )( t0.0011 0.002c st =0.38 0.008S c- - .!÷

Dal del che disegno il notare può fz massimo si blu vincolato dominio è Z uial: scuro) )( (0,46309314 I c0.5092267 su", ,1 CnLui su 0.0280- =- ✓{ 002ln 0£22Cn0.38 t=) 0020t0 0Su =-- -. .. ✓cu 0.2962to0.09 S su- =-. ✓Cn 0.08 Sut 0.050.02 =- -

In definitiva kg di da composto: deve concime essere un %950 soia di -, 4613 % Mais di - %2,8 Colore di - in tutti soddisfatti modo vincoli questo i sono, particolare in ci saranno { % di 912 calcio ttky %29,62 di di proteine mangime ( %5 fibre di CmnnaspmcompUmivadi86,94cntwmidKu.

Modello di produzione del processo

Modello di del produzione processo. Abbiamo 4 che produrre prodotti diversi deve azienda mi: Pd PL prodotti normali, LI L2 di prodotti lusso. Può materiale di sul 2000 unità mercato fino procurarsi a lavorare può 6000 settimana grezzo oree a. Con materiale unità di lavorazione di mi lo grezzo cui: ora e $5¥ le1Pa{ e381In 4$1rem È Llz4 1PaPz.

Sappiamo che inoltre: 3$RM 1 unit- $1 §Ps 6Pz /unit7: unit:- ,17$ 16$Inuit ILz la: nuiti.-, non consideriamo in il del buste costo lavoro quanto le fissate ottimizzare da nulla ho paga non sono e riguardo al.

Formulazione del problema lineare

Formulazione del problema lineare Xrm RM unità settimana di acquistate = a di settimanalmente Pd vendute Xpa unità = così via e. Il quindi. problema massimizzare diviene questa - ( )Z 6 tsxlzthxli7 17t 16hLt 3hamte Xp xpzs Xls -- - guadagni costi.

Dobbiamo mettere vincoli ioraa) X produrre 0 in 7 negativo prodotto non posso #) EXrm ho 2000 sulla limite fornitura ° un )) ( 6000EXRM t 2×12t 3 di sulle lavoro XL t ore. egg aiIggymàsMad BmDa del abbiamo la quantità che lavorazione prima una prodotto del quella prodotto volte di 32 è maggiore la ulteriormente ottenere lavorares si può grezzo a. Delle quantità ma la rimane invariata somma.

Lo Pr vale stesso per. ) XPL 3t Xlz XRM• =) 4Xlz XRMtXpz° e )(6 t 167 17 4×22t SUL3 t tXLL XRMtXllMax xpaxpa - di vincoli i con sopra. ? A risolve si punto questo come è di funzione di problema massimizzazione una un lineare singalese di cioè un un convesso su, delimitato ed equazioni disgraziata da. >IR

Supponiamo le affettano in disegno di zioni essere solido equazioni le dei il piani portano a. )( Il tutto soddisfa punto ovviamente 0,000,0,,. Sull' il dobbiamo insieme trovare Nox muoverci per. Un che altro è bene punto: va )( 60002000 8000 00,, , , Ho vincoli altri massimizzato XRM controllo gli se esoddisfatti ancora sono. Devo direzione il è dove c' guadagno capire una se cresce? la11.

Se succede cosa aumento e ogni 21 fai Ps di diminuire di unità mi una e $5 soltanto fa guadagnare. 66 416 =- -$L2 6 guadagno se → È tesposto fuoco mi verso corto. $ 6$5 la LA Ala1 mentre i1 incremento 5. Da vincolo questo capisco che aumentare posso )( 600EXRM LIt 2×12t che •3 più XL dit la le sfiorare ore per non settimanali di lavoro.

( ) Prima provato 2000 6000 08000 0 avevamo con, ,, , la trovi PzLad dunque aumentare )(-6000 60002000 20000 ,, ,, { 6000 lavoro di ore 3.2 4-26- 42+36732-6-867 b 16 2tt = =-- -. $24110 96 000 di guadagni = e - in che qualunque può notare direzione si ora mi dal guadagno diminuirà il uscirà dominio muovo appena. )( 60002000 6000 Dunque 0 2000-7 la è,, , , XPZ XLZXp soluzione XLLXRM 1 ottimale.

Problema inventario di multi periodo

Problema inventario di multi periodo. Quando abbiamo che problemi il di visto lineari parliamo massimo il di vertice di si trova minimo o sempre su un insieme di rimpianto oppure semplice un su un. Ci da vertici dove i problemi connesso saranno. Troppi dunque calcolatore anche esplorare per sono e un in sarà troveremo possibile regola cui muoversi una all' base vertice in altro funzione alla da un obiettivo di il più possibile minimizziamo conseguenza e il da esplorare di vertici numero.

Un' prestabilita azienda prodotto di i ha domanda la un per 3 mesi prossimi 2. 150 400, zoo MMZMI 3. Tre tipi costo di: §del invitò normale 2000 lavoro costo - §3000 /del costo lavoro straordinario unità - $ 1500 rendo mi costa unità se non -.

La produzione di capacità è: al prodotti normale 200 lavoro il mese - con illimitati straordinario lo con - all' hanno 100 prodotto che del inizio quantità costa non tenerlo in magazzino. Averli in magazzino per pago go.gg#e ← I inventario 100 200RP ←200 produzione 200 normale OP 4- produzione straordinaria so µg300 300 400 soluzione ottimale tot faccio↳ solo straordinario di so400150200 Ì infinite soluzioni però.

Forma standard di un problema lineare

Forma problema standard di lineare un. Vogliamo che disequazione soltanto ci siano non ma per farlo introduciamo fittizie variabili equazioni delle:. Abbiamo il shock E variabili delle introduciamo se - E 70 difetto di le variabili poniamo ovvero. Il delle va.