Ricerca di massimi e minimi

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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La ricerca di massimi e minimi

Sia g(x) una funzione definita per a < x < b e si supponga che c sia un numero interno all'intervallo ]a,b[, ossia a < c < b.

Si supponga, inoltre, g derivabile nell'intervallo, eccetto al più nel punto c.

Se g'(x) > 0 per ogni x < c, e g'(x) < 0 per ogni x > c, allora g ha un massimo locale in c.

Un altro modo, meno formale, di affermare ciò è:

Se la derivata di una funzione cambia segno in c, allora la funzione ha un minimo locale oppure un massimo locale in c.

Tali punti sono chiamati punti critici o stazionari.

Rappresentiamo

2

.

g x 5 x .2 x e troviamo i suoi punti critici.

Derivata di g: .

g' x 1 .4 x

La derivata è positiva quando x < 2.5 e negativa quando x > 2.5.

Perciò la funzione raggiunge un massimo locale in x = 2.5.

r 2 , 1.9 .. 5

8

6

g r

g 2.5 4

2 2 1 0 1 2 3 4 5

r , 2.5 1

3

2

Troviamo i punti critici di

h t t 2 .

2 1

.

h' t 1

3 3

t 2 1

3

t 2

La derivata h'(t) è positiva quando è positivo, o quando è t > 2.

È negativa quando t < 2.

Poiché cambia segno in t = 2, h(t) ha un punto di minimo in t = 2.

Nota che la derivata h'(t) non è definita in t = 2.