Riassunto esame Meccanica e Termodinamica - Parte 1, prof. Rotondi, libro consigliato Fisica - Volume 1", Mazzoldi, Nigro, Voci

Meccanica

Angelo Raimondi

Contents

1 Breve introduzione 4

2 Strumenti utili per l’apprendimento 6

2.1 Vettori e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Derivata di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Coseni direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Cinematica 11

3.1 Cinematica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Moto rettilineo smorzato esponenzialmente . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Moti curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 Moto parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Dinamica 21

4.1 Reazione vincolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Forza d’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Caduta in un corpo viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5 Forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.6 Forza centripeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.7 Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.8 Momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Lavoro, energia e potenza 28

6 Moti relativi 32

6.1 Moto rotatorio uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Dinamica dei sistemi 35

7.1 Sistema di riferimento del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . 36

7.2 Teoremi di König . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3 Urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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7.4 Massa variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Gravitazione 42

8.1 Campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.2 Potenziale ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

44

48.4 Osservazioni ed approfondimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Corpi rigidi 49

9.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.2 Teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.3 La ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.4 Momento d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.5 Perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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1 Breve introduzione

Gli appunti che seguiranno sono stati redatti da uno studente laureato, con il semplice obiettivo di digitalizzare i propri appunti, per motivi di praticità.

Non sono riproduzioni fedeli delle lezioni, piuttosto un’unione fra pagine scritte durante queste ed integrazione da parte di uno o più libri, in questo caso principalmente il Fisica Volume 1 - Mazzoldi, Nigro, Voci.

Sono estremamente probabili errori grammaticali, di battitura nella scrittura del pdf, ma anche concettuali, classici errori da studenti, nessuno è onniscente, nonostante ciò mi sono stati utilissimi nel superare tale esame.

Bene sottolineare anche come i ragionamenti siano adatti alla mia forma mentis, quindi augurandovi di trovarvici bene, spero siano d’aiuto per qualcuno, qualsiasi sia l’occasione di lettura di questi appunti.

In ogni caso, se volenterosi di correggere eventuali sviste ed errori, contattatemi pure, tramite sito di acquisto di questi appunti, e provvederò a correggerli non appena potrò!

Grazie dell’attenzione e buona lettura e studio!

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2 Strumenti utili per l’apprendimento

Per prima cosa, è bene ripassare quello che viene definito come calcolo vettoriale, in quanto estremamente centrale in ambito meccanico e non solo.

2.1 Vettori e proprietà

Innanzitutto i vettori sono degli elementi necessari per rappresentare quantità fisiche tramite una direzione, verso ed intensità, un numero, in generale.

Fanno parte di uno spazio vettoriale, quindi possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti invece scalari in quanto solo numeri/quantità.

Vediamo le proprietà generali:

• Somma: c⃗ = a⃗ + b⃗, graf. ottenuto con la regola del parallelogramma;
• Modulo: chiamata anche norma del vettore, quantità numerica che indica l’intensità o lunghezza del vettore stesso. Si calcola con |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²) nel sistema cartesiano;
• Versori: vettori di modulo unitario, u = v / |v| = 1;
• Scomposizione componenti: è possibile scomporre un vettore nelle sue componenti moltiplicate a dei versori, in funzione del sistema di riferimento scelto. Ad esempio nel cartesiano si ha v = v_x u_x + v_y u_y + v_z u_z;
• Prodotto scalare: a · b = (Σ a_i u_i) · (Σ b_j u_j) = Σ a_i b_j δ_ij =⇒ a · b = Σ a_i b_i;
• Prodotto vettoriale: a × b = c = |a| · |b| sin θ, con θ angolo compreso fra i due vettori. Vale inoltre b × a = − a × b. Considerando i versori, si introduce il simbolo di Levi-Civita ε_ijk associato ai versori degli assi x, y, z, rispettivamente u_i, u_j e u_k: u_i × u_j = u_k ε_ijk, dove 1, numero di permutazioni di ijk pari; −1, numero di permutazioni di ijk dispari; 0, se due indici uguali fra ijk.

Ancora, è possibile anche valutare la direzione e verso del nuovo vettore con la regola della mano destra, ovvero ruotando la mano destra dal primo al secondo vettore, nell’ordine preciso di comparsa nel prodotto, se la rotazione è oraria, il nuovo vettore ”uscirà” dal palmo della mano, in caso contrario anti-orario, dal dorso invece.

Allora con Levi-Civita, possiamo anche calcolare:

a × b = (a_x u_x + a_y u_y + a_z u_z) × (b_x u_x + b_y u_y + b_z u_z) =

= a_xb_x u_x×u_x + a_xb_y u_x×u_y + a_xb_z u_x×u_z + a_yb_x u_y×u_x + a_yb_y u_y×u_y + a_yb_z u_y×u_z + a_zb_x u_z×u_x + a_zb_y u_z×u_y + a_zb_z u_z×u_z =

= a_xb_y u_z − a_xb_z u_y − a_yb_x u_z + a_yb_z u_x + a_zb_x u_y − a_zb_y u_x =

= (a_yb_z − a_zb_y) u_x + (a_zb_x − a_xb_z) u_y + (a_xb_y − a_yb_x) u_z (1)

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2.2 Sistemi di riferimento

Si tratta di un sistema di coordinate necessarie per individuare i vettori e grandezze vettoriali, di conseguenza.

Esistono diversi tipo di sistemi di riferimento, la scelta dipende dal sistema che si sta studiando, puntando alla comodità d’uso.

L’aspetto principale sono i versori, i quali moltiplicati alle componenti scalari, tutti in combinazioni lineari, è possibile costruire la posizione di qualsiasi oggetto.

Alcuni di essi sono:

• Cartesiano: il più classico, i più utilizzati sono in 2 o 3 dimensioni, 2-3 assi cartesiani. I versori caratteristici sono quelli lungo le tre direzioni, cioè u_x, u_y e u_z;
• Polare: sistema di riferimento 2-dim. che prevede una coordinata radiale ed una angolare, indicate con r e θ. Nel caso fossimo in 3-dim., si aggiunge un’ulteriore angolare, la prima rispetto all’asse z e la seconda all’asse x, cioè r, θ e φ. Vengono definite sferiche;
• Mobile: riferimento solidale ad un punto materiale in moto, si utilizzano come coordinate i versori tangente e normale alla traiettoria, u_T e u_N.

Si può passare dal cartesiano al mobile tramite una semplice matrice di rotazione:

(a_T, a_N) = (cos θ sin θ; −sin θ cos θ) · (a_x, a_y) (2)

v⃗ → −v z θ r → −v y → −v φ x

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d v⃗ / dt

v⃗(t) Δv⃗ Δθ v⃗(t + Δt)

Figure 1: Derivata di un vettore v.

2.3 Derivata di un vettore

Molto frequentemente si parlerà di derivata di un vettore, strumento utile nell’analisi vettoriale, matematicamente simile a quello funzionale, ma sarà utile nel definire diverse quantità.

Sia quindi un vettore in funzione del tempo v(t) il quale varia, con la traiettoria, in v(t + Δt).

Allora si definisce derivata di un vettore:

dv / dt = lim_Δt→0 [v(t + Δt) − v(t)] / Δt = lim_Δt→0 Δv / Δt

= d/dt (v_xu_x + v_yu_y + v_zu_z) (3)

Il vettore appena descritto come derivata, in realtà, è un nuovo vettore ortogonale all’originale v.

Stessa cosa vale per i versori u_i, i quali sono considerati costanti rispetto a t, di conseguenza una variazione Δt → 0 vuol dire far coincidere il vettore differenza Δu, dato da una variazione d’angolo θ, con l’arco differenziale du.

In pratica:

du = u_N(t)dθ = u_Ndθ =⇒ du/dt = u_N dθ/dt (4)

con u_N sempre normale alla traiettoria, essendo u(t) costante.

Ma allora consideriamo v = v · u e ne studiamo la derivata:

dv/dt = dv/dt u_r + v du/dt = dv/dt u_r + v dθ/dt u_θ (5)

Abbiamo ottenuto la derivata in coordinate polari, dove il primo termine è radiale, quindi parallelo a v iniziale, mentre il secondo termine è ortogonale a v, detto tangenziale.

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2.4 Coseni direttori

Si tratta di particolari coseni di angoli fra gli assi cartesiani ed il vettore, molto utili per descrivere quest’ultimo.

In particolare, α è associato all’asse x, β all’asse y e γ all’asse z, gli angoli verranno indicati per semplicità con θ_i.

Grazie alle proprietà trigonometriche:

v = Σ v_iu_i = v cos θ₁ u_x + v cos θ₂ u_y + v cos θ₃ u_z = v(αu_x + βu_y + γu_z) =⇒

=⇒ |v|² = v²(α² + β² + γ²) ⇐⇒ α² + β² + γ² = 1 (6)

Possiamo descrivere i coseni direttori anche in questa maniera:

α = cos θ₁ = (v · u_x) / ||v|| = v₁ / √(v₁² + v₂² + v₃²)

β = cos θ₂ = (v · u_y) / ||v|| = v₂ / √(v₁² + v₂² + v₃²)

γ = cos θ₃ = (v · u_z) / ||v|| = v₃ / √(v₁² + v₂² + v₃²)

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3 Cinematica

Si tratta della branca della Meccanica che studia il moto senza tenere conto delle cause di esso.

Innanzitutto definiamo la terminologia di base della cinematica:

• Punto materiale: corpo di dimensioni trascurabili rispetto agli spostamenti che compie;
• Traiettoria: luogo geometrico dei punti occupati successivamente dal punto materiale in movimento e costituisce una curva continua nello spazio;
• Quiete: tipo di moto in cui le coordinate restano costanti, quindi anche velocità ed accelerazioni;
• Vettore posizione: definito come un vettore le cui componenti dipendono dal tempo t, quindi r = x(t); y(t); z(t) = x u_x + y u_y + z u_z;
• Diagramma orario: descritto dalla variazione del vettore posizione, governata da una legge oraria.

x → Δt 0 r⃗(t) r⃗(t + Δt) B A r⃗(t + Δt) r⃗(t) t t_i t_f Δt

Figure 2: Esempio di legge oraria x(t) di un moto, con calcolo della velocità istantanea

Come sappiamo, calcolare la velocità vuol dire valutare lo spazio percorso rispetto al tempo impiegato per percorrerlo, quindi si parla di velocità media v_m = (x_f − x_i) / (t_f − t_i) = Δx / Δt.

Se invece si volesse valutare la velocità in un preciso istante, dato il punto materiale in una certa posizione descritta da r, allora si parla di velocità istantanea:

v_i = lim_Δt→0 v_m = lim_Δt→0 Δr / Δt = lim_Δt→0 [r(t + Δt) − r(t)] / Δt = dr/dt (7)

Per definizione di rapporto incrementale, possiamo decretare che la velocità istantanea è la derivata del vettore posizione.

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Finora abbiamo parlato di moto rettilineo, di velocità lineare, cosa accadrebbe se il moto fosse curvilineo, invece?

In cinematica, così come in dinamica, tale situazione non prevede alcun cambio drastico dal punto di vista matematico, serve solo una leggere flessibilità mentale.

È possibile, infatti, creare delle associazioni mentali e logiche fra elementi di un moto rettilineo con quelli di uno curvilineo e proprio ora faremo il primo passo: come già detto la velocità è definita come il rapporto fra spazio e tempo, analogamente per il nuovo caso soltanto che non si parla di ”spazio” come distanza percorsa, ma di angolo tracciato dalla curva.

L’associazione sta proprio nel sostituire lo spazio o posizione x con l’angolo ”spazzato” θ, quindi definiamo la velocità angolare come:

ω = dθ/dt oppure ω = |0; 0; dθ/dt| (8)

Riscriviamo ora il nostro vettore posizione in coordinate polari sul piano xy r = r cos θ u_x + r sin θ u_y e ne ricaviamo la velocità:

dr/dt = dr/dt cos θ u_x − r dθ/dt sin θ u_x + dr/dt sin θ u_y + r dθ/dt cos θ u_y =

= dr/dt (cos θ u_x + sin θ u_y) + r dθ/dt (cos θ u_y − sin θ u_x) = dr/dt u_r + ω × r (9)

Possiamo trarre due considerazioni molto importanti per descrivere i primi semplici moti di un punto materiale:

• Prima di tutto supponiamo moto unidimensionale in direzione x, cioè x = x(t); 0; 0. Allora: v = dx/dt =⇒ dx = v dt ⇐⇒ ∫_x0^x dx = ∫_t0^t v dt =⇒ x(t) = x₀ + ∫_t0^t v(t′)dt′ (10) con x₀ posizione iniziale. Questo moto è chiamato Moto Rettilineo, se non si ha accelerazione, a(t) = 0 =⇒ v(t) = v₀, allora vale x(t) = x₀ + v₀(t − t₀), detto Moto Rettilineo Uniforme. Infine possiamo definire la velocità media come v_m = 1/(t − t₀) ∫_t0^t v(t′)dt′.

a(t) v(t) x(t) v₀ x₀ 0

Figure 3: Moto Rettilineo Uniforme, legge oraria

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• Analogamente possiamo definire l’accelerazione media ed istantanea, come la velocità, quindi: a_i = lim_Δt→0 Δv / Δt = dv/dt = d²x/dt². ⇐⇒ dv = a dt v(t) = dx/dt = v₀ + ∫_t0^t a(t′)dt′ (11). x(t) = x₀ + ∫_t0^t [v₀ + ∫_t0^t′ a(t′′)dt′′] dt′ = x₀ + v₀(t − t₀) + ∫_t0^t ∫_t0^t′ a(t′′)dt′′dt′ (12). Queste due equazioni sono chiamate anche I e II legge del moto, e descrivono un Moto Rettilineo Accelerato, se a(t) = a₀, allora è anche detto Uniforme e vale la classica legge x(t) = x₀ + v₀(t − t₀) + 1/2 a₀(t − t₀)².

a(t) v(t) x(t) v₀ x₀ 0

Figure 4: Moto rettilineo uniformemente accelerato

• Si può fare un’ulteriore osservazione: supponiamo che volessimo ricavare una legge oraria dipende dallo spazio percorso x anziché in funzione del tempo t, allora: a = dv/dt = d/dt [v x(t)] = dv/dx · dx/dt ⇐⇒ a = v dv/dx =⇒ adx = vdv (13). ⇐⇒ a(x − x₀) = (v² − v₀²)/2 =⇒ v(x) = √(v₀² + 2a(x − x₀)) (14)

3.1 Cinematica relativistica

In breve, le relazioni tra spazio e tempo vengono alterate ad elevate velocità, prossime a quelle della luce, c = 2.998 × 10⁸ m s^-1.

Per dimostrarlo, supponiamo un sistema di due specchi paralleli, fra i quali rimbalza un raggio di luce.

Nel primo caso, abbiamo il nostro sistema di riferimento inerziale in quiete, in cui la luce percorre 2L di distanza in t_p = 2L / c, classicamente così come abbiamo appena imparato.

Nel secondo caso, invece, abbiamo il nostro sistema di riferimento in moto, supponiamo a velocità c.

La luce percorrerà in questo 13 s2′L L vt