Relazione e proprietà

Relazioni e loro proprietà

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 1

1

Relazioni e proprietà

• Generalità………………………………………. 2
• Relazioni particolari tra insiemi…………….. 3
• Relazioni tra numeri…………………………… 6
• Proprietà delle relazioni in un insieme……… 9
• Relazioni di equivalenza……………………… 13
• Le classificazioni……………………………… 15
• Relazioni d’ordine……………………………… 17
• Una particolare relazione d’ordine: la divisibilità…… 20
• Relazione di congruenza……………………… 23

1 Carmine De Fusco – Venaria Reale – cadefu@libero.it www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 2

Relazioni

Generalità

Nel linguaggio comune mettere in relazione vuol dire effettuare un legame, mettere in corrispondenza, quindi indica la presenza di una legge che lega qualcosa a qual cos’altro.

Consideriamo l’esempio:

“Carlo ha 15 anni”;

In questo caso la relazione è un legame tra una persona e un numero, ove il numero indica l’età.

Con i diagrammi di Venn possiamo rappresentare l’insieme delle persone e l’insieme dei numeri che indicano l’età delle persone:

Persone Anni

Carlo .1 .2 .3

.15 .4

“................. ha ............ anni”

La freccia indica la relazione “............. ha ............ anni” dove la frase “Carlo ha 15 anni”, che è una proposizione vera, è diventata un predicato a due posti.

Riempiendo questi posti vuoti otteniamo delle coppie ordinate di elementi che rendono il predicato una proposizione vera oppure una proposizione falsa.

Il predicato dimostra di essere una fabbrica di insiemi e in esso non possiamo mettere prima 15 e poi Carlo perché le coppie devono essere ordinate.

Il primo insieme è detto dominio della relazione, il secondo insieme è detto codominio.

Nel dominio prendiamo sempre il primo elemento della coppia ordinata, nel codominio prendiamo il secondo elemento.

Consideriamo un insieme A costituito da 10 alunni (indicati con i numeri da 1 a 10) e un insieme B costituito dai primi sei mesi dell’anno.

Fra i due insiemi possiamo stabilire una relazione, ad esempio la relazione: “...... è nato nel mese di ......”:

A B

.1 Gennaio

.2 Febbraio

.5 Marzo

.3 .6 Aprile

.4 .7 Maggio

.8 Giugno

.9

.10 www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 3

La relazione si può rappresentare mediante le frecce che uniscono ciascun alunno al proprio mese di nascita. Dalla rappresentazione grafica si vede chiaramente che qualche alunno non è nato in alcuno dei mesi considerati e che in qualche mese (febbraio) non è nato alcuno dei ragazzi considerati.

Il fatto che di frecce ce ne sia una o che ce ne siano tante o nessuna, dipende dal tipo di relazione.

La parola “relazione” è sempre legata alle coppie ma non necessariamente ad una frase vera o falsa.    

Consideriamo l’insieme I₁ = 1, 2, 3 e l’insieme I₂ = a, b.

Tutte le possibili coppie, quindi tutte le possibili relazioni, possono essere rappresentate dal prodotto cartesiano I₁ x I₂.

b 1b 2b 3b

a 1a 2a 3a

1 2 3

Se prendiamo alcune delle possibili coppie abbiamo stabilito una relazione:

 

R = (1b), (2b), (2a).

Se le coppie le prendiamo a caso oppure se le frecce sul diagramma di Venn le mettiamo a caso, sarà difficile che la relazione abbia delle proprietà.

Si vede chiaramente che, quando si stabilisce una relazione qualsiasi tra due insiemi, essa ci dà sempre un sottoinsieme del prodotto cartesiano fra i due insiemi. Possiamo quindi dare la seguente definizione: ⊆

Tra due insiemi A e B esiste una relazione quando si ha un sottoinsieme R ⊆ (A x B).

A è il dominio della relazione e B è il codominio.

Affinché esista una relazione occorrono: un insieme A, un insieme B e un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano A x B.

Relazioni particolari tra insiemi

Data una relazione tra un insieme A e un insieme B abbiamo notato che:

• Un elemento x di A può avere una, nessuna o più immagini in B;
• Un elemento y di B può avere una, nessuna o più controimmagini in A.

In base alla esistenza ed al numero delle immagini e delle controimmagini possiamo individuare alcuni tipi particolari di relazioni.

Consideriamo gli insiemi:

a 1

A = , b, c e B = , 2, 3, 4

e le relazioni R_I, R_II, R_III, R_IV con i relativi diagrammi a frecce e le relative rappresentazioni cartesiane.

R_I A B

.a .1 .2

.b .c .3 .4 www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 4

B

4

3

2

1 a b c A

In questa relazione ogni elemento del dominio A ha almeno un’immagine nel codominio B, quindi da ogni elemento del dominio parte almeno una freccia.

Su ogni semiretta uscente da un elemento di A c’è almeno un punto dell’insieme (a,

R = 2), (b, 1), (c, 3), (b, 3) ⊂ (A x B).

R_I

Una relazione di questo tipo, cioè tale che ogni elemento del dominio ha almeno un’immagine nel codominio, si dice ovunque definita.

R_II A B

.a .1

.b .2

.3

.c .4

B 4

3

2

1 a b c A

Ogni elemento del dominio A ha al più (al massimo) un’immagine in B, quindi da ogni elemento del dominio parte al più una freccia.

Su ogni semiretta uscente da un elemento di A c’è al più un punto dell’insieme (c,

R = 2), (b, 2) ⊂ (A x B).

R_II

Una relazione di questo tipo, cioè tale che ogni elemento del dominio ha al più un’immagine, si dice funzionale o semplicemente funzione.

R_III A B

.1

.2

.a .3

.b .4

.c www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 5

B 4

3

2

1 a b c A

Ogni elemento del codominio B ha almeno una controimmagine nel dominio A, quindi ad ogni elemento del codominio arriva almeno una freccia.

Su ogni semiretta uscente da un elemento di B c’è almeno un punto dell’insieme (a,

R = 1), (a, 2), (a, 3), (b, 4) ⊂ (A x B).

R_III

Una relazione di questo tipo, cioè tale che ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine, si dice suriettiva.

R_IV

A B .1

.a .2

.b .3

.c .4

B 4

3

2

1 a b c A

Ogni elemento del codominio B ha al più una controimmagine in A, quindi ad ogni elemento del codominio arriva al più una freccia.

Su ogni semiretta uscente da un elemento di B c’è al più un punto dell’insieme   ⊂

R = (a, 1), (c, 2), (c, 4) (A x B).

R_IV

Una relazione di questo tipo, cioè tale che ogni elemento del codominio ha al più una controimmagine, si dice iniettiva. www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 6

Questi quattro tipi di relazioni, pur operando tra gli stessi insiemi A e B, sono diverse e godono di proprietà diverse.

Oltre ai diversi tipi di relazioni, abbiamo visto diversi modi per rappresentarle:

1) Dando un predicato a due argomenti, cioè con due posti vuoti;

es. a) il fiume ...... bagna ...... ;

b) il numero ...... è doppio di ...... ;

c) ...... è padre di ...... ; (relazione di parentela)

2) Descrivendo la relazione come insieme di coppie che rendono il predicato vero;

es. a) (Po, Torino), (Tevere, Roma), ..... ;

b) (24, 12), (10, 5), ..... ;

c) (Antonio, Gianni), (Raffaele, Giulio), ..... ;

3) Usando i diagrammi di Venn e le frecce (diagrammi a frecce);

4) Dandone la rappresentazione cartesiana: prodotto cartesiano e tabelle a doppia entrata.

Relazioni tra numeri (N)

Consideriamo l’insieme N dei numeri naturali e l’insieme delle ultime cifre di tutti i numeri naturali (in pratica l’insieme delle cifre che compongono i numeri naturali):

Dominio Codominio

N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Possiamo stabilire una relazione o corrispondenza tra i numeri naturali e la loro ultima cifra.

Questo tipo di relazione è una funzione perché ogni numero naturale ha una ed una sola ultima cifra, quindi è una relazione ovunque definita e funzionale ma è anche una relazione suriettiva perché ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine nel dominio N.

Consideriamo ora la relazione in N che associa ad ogni numero pari il suo successivo pari e ad ogni numero dispari il suo successivo dispari.

Dominio Codominio

N N

0 2

1 3

2 4

3 5

..... ..... www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 7

Abbiamo fatto in modo che l’incremento fosse costante (+2), e la legge generale (o predicato) di questa relazione è: n + 2 = m.

È un predicato perché n e m possono assumere qualsiasi valore, in pratica è come avere: “...... + 2 = ......”.

È una funzione perché ogni elemento del dominio ha una ed una sola immagine, ma ci sono due numeri del codominio (0 e 1) ai quali non arriva alcuna freccia cioè non hanno alcuna controimmagine.

Funzioni di questo tipo si chiamano “macchine”. In questo caso abbiamo “macchina +2”, quindi dando input “n”, otteniamo output “n +2”.

Usando un diagramma a frecce:

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dominio n

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Codominio

m = n + 2