Prove non distruttive - appunti lezioni

Deformazioni

Lezione 1 04/04/2017

Le deformazioni si possono definire a partire dalla conoscenza del vettore spostamento dei punti del mezzo che stiamo studiando.

Onde elastiche

Eseguire prove non distruttive su materiali significa capire come un’onda acustica si propaghi in un mezzo elastico; per far ciò risulta necessario comprendere ed individuare le deformazioni, derivate parziali del vettore spostamento, il legame Sforzi – Deformazioni, le proprietà elastiche del mezzo, le equazioni che regolano il processo deformativo (ovvero il legame costitutivo). Fatto ciò, è possibile procedere con la determinazione dei modi di propagazione di un’onda in un mezzo.

Le onde sismiche viaggiano allontanandosi da ciascuna sorgente a velocità dipendenti dal modulo elastico e dalla densità del mezzo che attraversano. Ci sono due differenti tipi di onde: le onde di volume, che attraversano masse o mezzi, e le onde di superficie, che sono confinate sulle interfacce tra mezzi con differenti proprietà elastiche.

Sforzi

Consideriamo un cubo di volume unitario che abbia gli spigoli orientati come gli assi cartesiani x, y, z che formano una terna di assi mutuamente perpendicolari.

Quali sono gli sforzi individuati sulle sue superfici?

• Sforzi normali: agiscono perpendicolarmente alle facce del cubo e vanno a definire compressioni/trazioni e allungamenti/accorciamenti.
• Sforzi tangenziali: agiscono nel piano delle superfici del cubo e definiscono sforzi di taglio e rotazioni/deformazioni angolari.

Dato che il cubo si trova in equilibrio, valgono le seguenti proprietà della meccanica del continuo:

• T = tik ki.
• Gli sforzi dipendono dalla normale alle superfici.
• In assenza di forze di volume, le forze superficiali esterne sono equilibrate dalle tensioni interne.

Corpo elastico

Corpo elastico isotropo

Nel caso valga la proprietà di isotropia del materiale in esame, sono necessarie solo 2 costanti elastiche indipendenti per descrivere il legame sforzo-deformazioni.

Il comportamento del corpo è indipendente dalla direzione in cui si applica la forza ed esso reagisce nello stesso modo indipendentemente dalla direzione della sollecitazione.

• Il corpo non cambia di forma nell’altra direzione, ma subisce aumento/diminuzione di volume: ν=0.
• Il corpo è incomprimibile, non cambia di volume: ν=0.5.
• Il corpo si comprime anche nell’altra direzione: ν=-1.

Costanti elastiche

Deformazioni di volume

Considero il volume elementare dxdydz.

Sottopongo il volume ad una variazione di pressione.

• La prima costante di Lamé μ ci informa della resistenza del corpo ai cambiamenti di forma.
• La seconda costante di Lamé λ è una formulazione matematica.

Dopo avere trascurato le opportune quantità di ordine superiore, la deformazione volumetrica è chiaramente pari alla divergenza (somma delle derivate di un vettore rispetto ad una terna di assi) del vettore spostamento.

Onde elastiche

Le equazioni d’onda nascono dalla risoluzione della seconda legge di Newton, ovvero della seconda legge della dinamica per la quale “l'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale e nella stessa direzione della forza netta agente su di esso, mentre invece è inversamente proporzionale alla sua massa”.

Sforzi e deformazioni

• Forza F.
• Massa m.
• Accelerazione a.

Traduco la relazione di Newton in termini tensoriali introducendo: σ e t.

Attraverso il legame sforzo-deformazione ci spostiamo verso l’equazione della dinamica.

Logica: per definire quelli che sono i modi di propagazione delle onde.

Per ora abbiamo definito gli sforzi, le deformazioni, il loro legame, la matrice, le costanti elastiche.

È necessario però ora individuare quale relazione cattura le informazioni derivanti dal passaggio delle onde all’interno del mezzo elastico considerato. Conclusione: quando voglio studiare un certo tipo di onda, devo fare ricorso al modello che consente di rilevarle.

1. Le equazioni delle onde sono influenzate dalle caratteristiche meccaniche dei materiali pertanto, per qualunque problema legato alla caratterizzazione meccanica, bisogna fare riferimento alle onde acustiche.
2. Le onde non si propagano tutte allo stesso modo all’interno dello stesso mezzo.

Equazione delle onde

Questa è la formulazione delle onde elastiche.

Le equazioni delle onde acustiche hanno al loro interno le costanti elastiche.

Caratterizzazione meccanica del materiale eseguita tramite la formulazione con EQ. ONDE ELASTICHE. Velocità di propagazione: Vp e Vs.

Le onde espresse nella precedente espressione sono quelle dette ONDE P (di pressione). Le onde Vp e Vs sono proporzionali, con radice, alla rigidezza del corpo K e si propagano all’interno di un certo corpo ma con modalità differenti. Notare che quando μ=0, ovvero sono in un fluido, la Vs è nulla in quanto non sopportano taglio.

Onde P

La direzione di propagazione di un’onda è una sola, per il vincolo legame sforzo-deformazione, la direzione è unica perché lo è la soluzione del problema (Navier).

Le onde espresse nella precedente espressione sono quelle dette ONDE S (di taglio).

Onde S

Il materiale viene continuamente compresso e allungato dal passaggio dell’onda. Esse si propagano in maniera circolare in partenza dalla singola sorgente compiendo appunto compressioni ed espansioni del materiale attraversato. Il loro passaggio ricorda molto il colpo d’ariete di idraulica.

• Sabbia 500-1000 m/s.
• Concrete 3500 m/s.

Come osservabile dalla tabella, densità e rigidezza del materiale giocano un ruolo fondamentale nella determinazione della velocità di propagazione di un’onda in mezzo elastico.

Le onde di taglio vanno nella stessa direzione delle onde P, quindi propagano con fronte d’onda circolare dallo stesso punto di partenza (sorgente), MA si muovono trasversalmente con moti sinusoidali, continuando a salire e a scendere rispetto al piano orizzontale passante per la sorgente. Creano un movimento ondulatorio.

Velocità delle onde S

Osservazione: le velocità sono proporzionali alla rigidezza del corpo (prima costante di Lamè: indica il rapporto tra sforzo tangenziale e deformazione lineare con stesso indice) e inversamente proporzionali alla densità.

Se effettuiamo il rapporto tra Vp e Vs si osserva che Vp > Vs, ovvero le onde di pressione propagano più velocemente in quanto percorrono una stessa distanza dalla sorgente in minore quantità di tempo per il fatto che propagano senza ondulazioni. Nelle onde P il percorso è lineare; nelle onde S il percorso è sinusoidale e pertanto più lungo.

A che velocità viaggiano le onde?

Ma non esiste nessuno strumento che misura direttamente la velocità, dovremo sempre passare attraverso altre grandezze e per successivi passaggi matematici ricondurci alla definizione della velocità di propagazione. Per cui la velocità è una grandezza derivata.

Velocità: tempo di propagazione che la nostra onda acustica ci mette ad attraversare secondo un certo percorso il mezzo in esame.

Noi studiamo i tempi che un’onda impiega per spostarsi all’interno di un mezzo.

Come detto, tanto più un corpo è rigido rispetto ad una deformazione, tanto più la velocità di propagazione di quell’onda all’interno dello stesso è alta. Di conseguenza per le onde S, tanto più alta è la rigidezza del mezzo a deformazione a taglio, tanto più alta sarà la velocità di propagazione. I casi estremi per la valutazione della velocità delle onde S sono rocce dure e fluidi, quelli intermedi sono tutti i mezzi porosi più o meno saturi.

Cosa possiamo dire dei mezzi porosi?

Considero un cubo fratturato: il nostro scopo è capire come propagano nel mezzo fratturato le onde elastiche S. Noto che nonostante le fratture, la velocità di propagazione delle onde S non varia. Di conseguenza se volessi eseguire una prova per valutare la presenza di fratture in un mezzo, NON utilizzo le onde S perché non catturerebbero nessuna informazione utile.

• Roccia fratturata 300-700 m/s.
• Roccia dura (granito, basalto) 4500-6000 m/s.

Dal punto di vista meccanico la prima costante di Lamè non cambia, ma aumenta la densità. La Vs praticamente non cambia. Se inserisco del materiale non coeso all’interno delle fratture assisto ad un abbassamento delle Vs perché la densità aumenta. Per cui, come già detto, la composizione e la morfologia di una roccia comporta cambiamenti nella registrazione dei fenomeni di attraversamento delle onde.

Ora considero un mezzo rigido in cui procedo alla creazione di foro estraendo massa: la densità del volumetto diminuisce, oltre a sostituire materiale solido con fluido (aria od eventuale liquido). Svuotando il materiale risulta più facile il processo deformativo avendo lasciato solamente alcune colonne di sforzo.

Influenza della pressione

Modello il volumetto di materiale secondo un’occupazione spaziale a sfere infinitesime. All’aumentare della pressione tali sfere si deformano andando ad occupare i vuoti che erano presenti, incrementando la densità e più velocemente la costante di Lamè μ (quindi con l’aumento della deformazione – ovvero della pressione – diminuisce la capacità di deformarsi del corpo). L’effetto ottenuto è quello di aumentare la velocità di trasmissione delle onde S.

N.B. L’aumento della costante di Lamé > dell’aumento della densità: Vs aumenta!

L’inserimento all’interno dei vuoti di fluidi in generale comporta la diminuzione della Vs. Bisogna stare attenti a quando si effettuano le misure poiché ogni fluido possiede differenti caratteristiche fisiche e meccaniche; le condizioni dell’ambiente esterno possono influenzare notevolmente la misurazione con gli strumenti: per esempio se l’acqua diventa ghiaccio a causa delle basse temperature, le onde S si propagano anche in essa in quanto è passata dallo stato liquido al solido, con conseguente miglioramento delle caratteristiche meccaniche (misure fatte in quota d’inverno sono poco significative).

ESEMPIO: considero un pilastro scarico e lo stesso pilastro caricato con un peso P assiale. Osservo che nel caso di pilastro carico, la presenza dello stesso incrementa la densità e soprattutto la costante di Lamè μ, per cui la Vs incrementa. Viceversa se scaricassi il pilastro avrei un crollo delle velocità. Confrontando le velocità riesco a individuare i pilastri che portano il carico e quali no essendo tutti fatti con stesso materiale.

Velocità delle onde P

La velocità delle onde P è proporzionale al Bulk modulus K e alla costante di Lamè μ mentre è inversamente proporzionale alla densità.

Influenza della densità

Il grafico mette su asse x la presenza di gas o liquidi, quindi il livello di saturazione. Assenza di liquidi significa saturazione di gas, assenza di gas significa saturazione di liquidi. Sull’asse y invece osservo la velocità di propagazione delle onde P in dipendenza dal grado di saturazione nei pori.

Quando il materiale è saturo di acqua la velocità di propagazione raggiunge picchi maggiori rispetto alla condizione di assenza di liquidi o umidità parziale.

Perché? Nelle situazioni intermedie aumenta la densità e pertanto la velocità diminuisce: l’acqua presente parzialmente però NON incrementa i parametri di rigidezza del volumetto e funge più che altro da lubrificante. Per cui solo quando l’acqua raggiunge la totale saturazione fornisce un contributo meccanico di resistenza osservabile, il che spiega il picco sul grafico. In quella condizione sono bloccati i movimenti all’interno degli interstizi, quindi scompare l’effetto lubrificante del fluido.

Le onde P propagano meglio nei materiali rigidi in quanto c’è grande K e μ. Le onde P propagano anche nei fluidi.

Influenza della porosità

Nei materiali porosi domina la costante di deformazione volumetrica della componente compatta rispetto a quella della componente interstiziale: pertanto la velocità di propagazione nei mezzi porosi sarà inferiore rispetto ai mezzi pieni. Inoltre negli interstizi possono accumularsi gas o liquidi.

Un’onda piana propaga con fronte d’onda retto: per generare un’onda piana è necessario avere una sorgente piana infinita nel caso ideale. In realtà bastano tante sorgenti puntiformi distribuite su una retta: sovrapponendo le onde da loro emesse ottengo un fronte piano.

N.B. Le onde sono per definizione un trasferimento di energia da una sorgente verso un mezzo di trasporto (sia esso solido - liquido - gassoso).

Durante la propagazione di un’onda piana, l’energia si trasmette mantenendosi costante, senza perdere di valore rispetto a quello E0 di partenza.

Influenza della pressione

Dal grafico è evidente come scendendo in profondità la velocità di propagazione delle onde P aumenta fino a tendere ad un plateau per valori prossimi ai 200 m. Leggo inoltre che un elemento saturo trasmette più velocemente di uno secco a parità di profondità. L’aumento della velocità è dovuto al fatto che si genera una sovrappressione tra strati inferiori e superiori: il terreno ha meno capacità di deformarsi (aumenta la costante di Lamé μ).

A parità di pressione esercitata, se un materiale è poroso e i pori sono saturi il materiale si incastra più velocemente, la velocità aumenta di più. Mentre se il materiale è asciutto dovrò esercitare una pressione maggiore per bloccare il materiale in quanto ancora disponibile spazio per la deformazione.

Gli stati transitori fanno decrescere la velocità perché le caratteristiche meccaniche peggiorano, perché il fluido si comporta da lubrificante fino a quando il liquido non va in pressione.

Soluzione dell’equazione delle onde

In generale vale formula (che viene poi specializzata nel caso di onde S o P): il fronte d’onda di un’onda sferica si propaga secondo una circonferenza a partire dalla sorgente puntiforme. Trascurando i fenomeni di decadimento, l’energia inizialmente pari ad E0, man mano che l’onda si allarga si riduce in quanto aumenta la superficie del fronte in relazione alla distanza dalla sorgente. Per una distanza elevata dalla sorgente, l’energia si dissipa completamente.

L’unità di misura da adottare è il decibel e di sopra sono riportati i modi per valutarli note le varie grandezze di partenza.

Nel momento in cui l’onda propaga, oltre a trasferire energia al mezzo circostante e oltre a dissipare completamente energia a distanze elevate per il fenomeno della divergenza sferica, subisce perdita di energia a causa delle proprietà del mezzo che attraversa nel caso il mezzo non sia elastico.

Esse sono ora presentate:

Propagazione delle onde in mezzi isotropi non elastici

La dispersione è legata al fatto che la velocità di alcune onde varia con le frequenze. Il segnale emesso cambia forma durante la propagazione, rendendo problematica l’interpretazione di segnali sismici.

Esempio: Ne-ve. A parità di mezzo le sinusoidi viaggiano a velocità diverse. Ad esempio nel caso delle sillabe Ne e ve se la seconda viaggia più velocemente della prima l’uditore riceverà Ve-ne. Quindi può capitare che lanciando un segnale acustico il tempo di arrivo non sia costante per tutte le frequenze perché ci saranno frequenze che arrivano prima ed altre che arrivano dopo.

Per caratterizzare un’onda acustica, si possono misurare le seguenti grandezze fondamentali:

• I tempi che impiega per muoversi dentro un mezzo dall’istante in cui viene prodotta a quello in cui viene recepita dal ricevitore.
• Le ampiezze associate all’energia che arriva al ricevitore.

Termine di assorbimento α; lunghezza d’onda λ; Q: fattore di qualità, costante per un materiale e non dipende dalla frequenza.

Interfacce

Le onde si caratterizzano per avere una banda, uno spettro.

Sull’interfaccia vengo ad avere fenomeni di RIFLESSIONE e TRASMISSIONE. Per interfaccia si intende una discontinuità tra materiali identici fratturati oppure tra materiali differenti.

Un impulso è costituito da tante frequenze, da tante sinusoidi che hanno periodo, ampiezza diversa. Il termine di assorbimento è proporzionale alla frequenza. Tanto più la frequenza è elevata tanto più l’assorbimento è maggiore. Per cui per far propagare un’onda in un mezzo rigido è necessario sviluppare onde con frequenze tanto più basse quanto è più alta la profondità a cui voglio arrivare con l’indagine.

Esse possono essere rilevate dalla differente propagazione delle onde le quali si dividono in porzioni differenti quando incontrano delle discontinuità: riflesse, trasmesse. Entrambe le onde P ed S subiscono tale fenomeno all’interfaccia ma con angoli differenti secondo la legge di Snell che correla velocità di propagazione e angoli delle onde.

L’attenuazione è caratterizzata anche dal parametro Q, che è un fattore di qualità del mezzo attraversato indipendente dalla frequenza.

Il fatto che l’onda sia assorbita vuol dire che quel materiale ha caratteristiche meccaniche tali da dissipare l’energia di propagazione fino ad annullarla.

Un modo per osservare la variabilità spaziale di un mezzo è disporre prove con onde lungo una maglia superficiale. Ci aspettiamo omogeneità nella risposta dell’onda, ma se non