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No 212

AB = 6 cm

P?

Angle BAP = x

a) AQ + QP = 6

b) AQ + QP = 7

Caso (a)

a) -> AQ + QP = 6

AQ = AP * cos x

(AP = AB * cos x = 6 cos x)

-> AQ = 6 cos x * cos x

= 6 cos2x

QP = AP * sen x

= 6 cos x * sen x

AP = AB * cos x

AP = 6 cos x

6 cos2x + 6 sen x * cos x = 6

cos2x + sen x cos x = 1

sen x cos x + 1 - sen2x = 1

sen x (cos x - sen x) = 0

sen x = 0 -> x = 0o

e cos x - sen x = 0

cos x - sen x = 0

cos x / cos x - sen x / cos x = 0

1 - tan x = 0 -> tan x = 1

x = 1/4 -> x = 45o

Caso (b)

ĀQ + QP = 7

6 cos2 x + 6 sen x cos x = 7

6 cos2 x + 6 sen x cos x - 7 = 0

Poiché 2 sen x cos x = sen 2x

e 2 cos2 x - 1 = cos 2x

Scrivo -7 come -3 - 4

6 cos2 x - 3 + 6 sen x cos x - 4 = 0

3(2 cos2 x - 1) + 3 . 2 sen x cos x - 4 = 0

3 . cos 2x + 3 . sen 2x - 4

L'equazione è:

3 cos(2x) + 3 sen(2x) - 4 = 0

Poniamo 2x =

3 cos + 3 sen - 4 = 0

Usiamo le formule:

3 . 1 - t2⁄1 + t2 + 3 2t⁄1 + t2 - 4 = 0

3(1 - t2) + 3 . 2t - 4(1 + t2)⁄1 + t2 = 0

3 - 3t2 + 6t - 4 - 4t2 = 0

-7t2 + 6t - 1 = 0

7t2 - 6t + 1 = 0 -> Svolgo l'eq. di 2°

7t2 - 6t + 1 = 0

Delta = 36 - 28 = 8

t = (6 +/- sqrt(8))/14

t = (6 +/- 2sqrt(2))/14 = (3 +/- sqrt(2))/7

(3 + sqrt(2))/7

(3 - sqrt(2))/7

t1 = (3 + sqrt(2))/7

t = tan a/2 = tan x (essendo a = 2x, a/2 = 2x/2 = x)

tan x = (3 + sqrt(2))/7 -> x = arctan((3 + sqrt(2))/7) ~ 32,24°

tan x = (3 - sqrt(2))/7 -> x = arctan((3 + sqrt(2))/7) ~ 12,76°

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Sintesi

Problemi di geometria piana risolvibili mediante equazioni goniometriche

Risolviamo insieme un classico problema di geometria piana utilizzando le equazioni goniometriche.

Questo è il testo del problema:

"Su una semicirconferenza di diametro AB di lunghezza 6 cm, determina un punto P in modo tale che, detta Q la proiezione ortogonale di P su AB, siano verificate le seguenti identità:

  • AQ+QP=6
  • AQ+QP=7

Svolgimento

Come prima cosa, va fatto sempre un disegno, quindi tracciamo la nostra semicirconferenza aiutandoci con un compasso e posizioniamo su di essa un generico punto P. Poi proiettiamo il punto scelto su AB e individuiamo il punto Q. A questo punto abbiamo un triangolo ABP di cui PQ è altezza relativa ad AB.

Scegliamo come incognita l’angolo

[math]BAP=x[/math]
ed esprimiamo le misure dei segmenti AQ e PQ mediante le funzioni goniometriche dell’angolo
[math]x[/math]
: seno, coseno, tangente…

Nel triangolo AQP, rettangolo in Q, usiamo le relazioni tra cateto adiacente ad un angolo ed ipotenusa e tra cateto opposto allo stesso angolo ed ipotenusa.

Per il lato AQ, adiacente all’angolo x, scriviamo:

[math]AQ=APcosx[/math]

Per il lato QP, opposto all’angolo x, scriviamo:

[math]PQ=APsenx[/math]

Ora osserviamo che il triangolo ABP è a sua volta rettangolo in P, perché è inscritto in una semicirconferenza ed ha per ipotenusa il diametro AB.

In questo triangolo AP è cateto adiacente ad x, dunque, scriviamo per esso:

[math]AP=ABcosx[/math]

Essendo noto AB, possiamo scrivere ancora

[math]AP=6cosx[/math]

Ora possiamo inserire nelle espressioni di AQ e QP l’espressione di AP appena trovata:

[math]AQ=6cosx*cosx=6cos^2x[/math]

[math]QP=6cosx*senx[/math]

La prima relazione AQ+QP=6 diventa allora:

[math]6cos^2x+6cosxsenx=6[/math]

che può essere ulteriormente semplificata in:

[math]cos^2x+6cosxsenx=[/math]

Questa, una volta risolta, ci fornisce come soluzione due valori:

[math]x=45°=\pi/4[/math]

[math]x=0°[/math]

Nel pdf allegato c'è lo svolgimento completo anche della seconda relazione.

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