Problemi di geometria piana risolvibili mediante equazioni goniometriche

Problemi di geometria piana risolvibili mediante equazioni goniometriche

Risolviamo insieme un classico problema di geometria piana utilizzando le equazioni goniometriche.
Questo il testo del problema:
"Su una semicirconferenza di diametro AB di lunghezza 6 cm, determina un punto P in modo tale che, detta Q la proiezione ortogonale di P su AB siano verificate le seguenti identità:
1) AQ+QP=6
2) AQ+QP=7

Svolgimento

Come prima cosa, va fatto sempre un disegno, quindi tracciamo la nostra semicirconferenza aiutandoci con un compasso e posizioniamo su di essa un generico punto P. Poi proiettiamo il punto scelto su AB e individuiamo il punto Q. A questo punto abbiamo un triangolo ABP di cui PQ è altezza relativa ad AB.
Scegliamo come incognita l’angolo ed esprimiamo le misure dei segmenti AQ e PQ mediante le funzioni goniometriche dell’angolo : seno, coseno, tangente…
Nel triangolo AQP, rettangolo in Q, usiamo le relazioni tra cateto adiacente ad un angolo ed ipotenusa e tra cateto opposto allo stesso angolo ed ipotenusa.
Per il lato AQ, adiacente all’angolo x, scriviamo:


Per il lato QP, opposto all’angolo x, scriviamo:


Ora osserviamo che il triangolo ABP è a sua volta rettangolo in P, perché è inscritto in una semicirconferenza ed ha per ipotenusa il diametro AB.
In questo triangolo AP è cateto adiacente ad x, dunque, scriviamo per esso:


Essendo noto AB, possiamo scrivere ancora


Ora possiamo inserire nelle espressioni di AQ e QP l’espressione di AP appena trovata:




La prima relazione AQ+QP=6 diventa allora:



che può ulteriormente semplificata in:



Questa una volta risolta ci fornisce come soluzione, due valori:





Nel pdf allegato c'è lo svolgimento completo anche della seconda relazione.