Problemi di massimo sulla piramide

Problema di massimo su piramide

Una piramide VABC ha per base un triangolo rettangolo ABC i cui cateti AB ed AC misurano rispettivamente 15 cm e 20 cm; l’altezza della piramide coincide con lo spigolo laterale VA e la faccia VBC forma con il piano di base un angolo il cui coseno è . Calcolare l’area laterale della piramide.

√

Determinare a che distanza dal vertice occorre condurre un piano parallelo alla base in modo che risulti massimo il volume della piramide di vertice A e con base il poligono secondo cui il piano taglia la piramide VABC.

Risoluzione: V A

C B

H

Sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa nel triangolo rettangolo ABC. Lo spigolo VA, essendo altezza della piramide, è perpendicolare in A al piano della base, quindi è perpendicolare a tutte le rette di tale piano passanti per A, in particolare le rette AB, AC, AH.

Essendo VA perpendicolare in A al piano ABC ed AH perpendicolare in H alla retta BC, per il teorema delle tre perpendicolari risulta VH perpendicolare in H a BC e la retta BC perpendicolare in H al piano AVH; ne segue che l’angolo AĤV è quello che la faccia laterale VBC forma con il piano di base e di cui è dato il coseno.

Occorre procedere nei triangoli rettangoli ABC e VAH.

Applicando il teorema di Pitagora nel triangolo ABC si ha: √15 + 20 = cm = 25 cm; ora si può calcolare = : = 12 cm.

Nel triangolo rettangolo VAH, mediante teorema trigonometrico per i triangoli rettangoli, si ha 12 ∶ : = cos AĤV cm; dal teorema di Pitagora applicato allo stesso triangolo si ha = cm = 30 cm.

6√29 − 12