Potenze, radici, valore assoluto

Potenze e radici quadrate

1. Valore assoluto di un numero

2. Potenze ad esponente intero e loro proprietà

3. Esercizi sulle potenze ad esponente intero

4. Radice quadrata di un numero reale (positivo o nullo)

5. Esercizi sulle radici quadrate ed applicazioni relative

1. Valore assoluto di un numero

Il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è uguale all'opposto del numero se il numero è negativo:

|x| = { x SE x >= 0 - x SE x < 0

Ad esempio: |7| = 7, |0| = 0, |-3| = 3, |-2.25| = 2.25, |-2| = 2.

Molte calcolatrici scientifiche programmabili hanno un tasto specifico (indicato con |x| o con ABS) per determinare il valore assoluto di un numero.

Proprietà

|x + y| ≤ |x| + |y|

Il valore assoluto della somma di due numeri è minore o uguale della somma dei valori assoluti dei due numeri.

Il segno di uguaglianza è vero solo quando i due numeri reali hanno lo stesso segno, oppure quando almeno uno dei due numeri è nullo. Ecco alcuni esempi:

• |5 + 3| = |8| = 8 e |5| + |3| = 5 + 3 = 8. In questo caso risulta: |5 + 3| = |5| + |3|.
• |5 + (-3)| = |2| = 2 e |5| + |-3| = 5 + 3 = 8. In questo caso risulta: |5 + (-3)| < |5| + |-3|.
• |(-5) + (-3)| = |-8| = 8 e |-5| + |-3| = 5 + 3 = 8. In questo caso risulta: |(-5) + (-3)| = |-5| + |-3|.

|x - y| ≤ |x| + |y|

Il valore assoluto della differenza di due numeri è minore o uguale della somma dei valori assoluti dei due numeri.

La dimostrazione di questa proprietà fa riferimento alla precedente. Infatti si ha:

|x - y| = |x + (-y)| ≤ |x| + |-y| = |x| + |y|.

|xy| = |x||y|

Il valore assoluto del prodotto di due numeri è uguale al prodotto dei valori assoluti dei due numeri.

La dimostrazione di questa proprietà fa riferimento alla radice quadrata e si trova nel paragrafo 4. In ogni caso è di facile verifica con esempi numerici.

R. SANTORO: Potenze e radici quadrate

|x / y| = |x| / |y| (y diverso da 0)

Il valore assoluto del rapporto di due numeri è uguale al rapporto dei valori assoluti dei due numeri.

La dimostrazione di questa proprietà fa riferimento alla radice quadrata e si trova nel paragrafo 4. In ogni caso è di facile verifica con esempi numerici.

2. Potenze ad esponente intero e loro proprietà

Una potenza ad esponente intero è un'espressione del tipo: a² = a · a,  a⁵ = a · a · a · a · a; in generale:

a^m = a · a · ... · a

dove a è un numero reale.

Vocabolario

a^m è la potenza

a è la base della potenza

m è l'esponente della potenza

Ad esempio: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Qui 2³ è la potenza, 2 è la base della potenza, 3 è l'esponente della potenza e 8 è il valore numerico della potenza.

Proprietà

a^m · aⁿ = a^m+n     (1)

Il prodotto di due potenze, aventi la stessa base, è un'altra potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma dei due esponenti.

Formula certamente valida quando m e n sono numeri naturali. Ad esempio:

a³ · a⁴ = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a · a · a · a · a · a · a = a⁷

a^m / aⁿ = a^m-n     (2)

Il rapporto di due potenze, aventi la stessa base, è un'altra potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza dei due esponenti.

Anche questa formula è certamente valida quando m e n sono numeri naturali ed m maggiore o uguale a n. Ad esempio:

a⁵ / a² = (a · a · a · a · a) / (a · a) = (a · a · a) / 1 = a³ = a^5-2

a³ / a³ = (a · a · a) / (a · a · a) = 1 = a^3-3 = a⁰

a⁰ = 1     (3)

Una potenza con esponente nullo è uguale a 1.

Quest'ultima conclusione è suggerita dal secondo esempio fatto per la proprietà (2).

Inoltre, lo stesso esempio porta ad estendere la validità della formula (1) al caso in cui gli esponenti m ed n sono numeri interi

R. SANTORO: Potenze e radici quadrate

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(positivi e negativi), in quanto, essendo il prodotto di due numeri reciproci uguali a 1, si ha, ad esempio:

a³ / a³ = a³ · 1 / a³ = 1.

Allora, ponendo la definizione 1 / a³ = a^-3, si avrebbe applicando la formula (1): 1 = a³ · 1 / a³ = a³ · a^-3 = a^3+(-3) = a⁰.

a^-m = 1 / a^m (4)

Generalizzando, si può porre la definizione (4), in quanto consistente con le proprietà (1), (2) e (3):