Scoprire nuovi approcci didattici attraverso un'esperienza in classe

Polinomi come numeri

Joseph Toscano - jtosk@libero.it, joseph.toscano@sbai.uniroma1.it

Salve colleghi, quando la didattica è impostata nel modo giusto può succedere che anche noi possiamo imparare dai ragazzi. Vi racconto in queste righe un episodio molto interessante.

Qualche anno fa in una classe prima ho fatto fare una divisione tra polinomi del tipo

− − − −

5 4 3 2 2

(3x 12x + 31x 47x + 38x 12) : (3x 6x + 4)

I ragazzi svolsero la divisione nel seguente modo:

−12x −47x −12 −

5 4 3 2 2

3x +31x +38x 3x 6x + 4

−3x −4x

5 4 3

+6x

−6x −47x − −

4 3 2 3 2

// +27x x 2x + 5x 3

−12x

4 3 2

+6x +8x

−39x

3 2

// 15x +38x

−15x −20x

3 2

+30x

−9x −12

2

// +18x

−18x

2

+9x 12

// // //

Dopo qualche istante chiesi agli studenti di fare la verifica facendo la moltiplicazione tra i due polinomi (divisore e quoziente). Ovviamente io avrei fatto al solito modo e cioè

− − − − − − − −

3 2 2 5 4 3 4 3 2 3 2 2

(x 2x + 5x 3)(3x 6x + 4) = 3x 6x + 4x 6x + 12x 8x + 15x 30x + 20x 9x + 18x 12 =

− − −

5 4 3 2

= 3x 12x + 31x 47x + 38x 12.

Invece, con mia grande sorpresa un ragazzo, ricordando forse che io avevo detto che la divisione tra polinomi è molto simile a quella tra numeri, la svolse nel seguente modo (adoperando lo stesso schema della moltiplicazione tra numeri)

−2x −3

3 2

x +5x

−6x

2 4

3x

−8x −12

3 2

4x 20x

−6x −30x

4 3 2 18x

12x

−6x −9x

5 4 3 2

3x 15x −12

−12x −47x

5 4 3 2 38x

3x 31x

l’era

Mi è sempre rimasto il dubbio se questo ragazzo si era inventato da solo oppure altri glielo avevano insegnato. Per caso avete già visto fare una cosa del genere?

l’ho

Fatto sta che la cosa mi è sempre piaciuta e sempre tenuta presente nella mia mente.

Orbene, qualche tempo fa dovevo spiegare nella classe prima la scomposizione tra polinomi. Una cosa che mi è sempre riuscita difficile è far capire ai ragazzi che alla fine il polinomio iniziale è il prodotto di tutti i polinomi via via trovati.

− − − −

3 2 2

Per esempio, dato il polinomio x x 8x + 12, lo si può dividere per (x 2) ottenendo (x + x 6) che a sua volta può

− − −

3 2

essere diviso ancora per (x 2) ottenendo (x + 3).