Parte 2, Geometria analitica e algebra lineare

Revisionato il 02/09/2026

di shevaar

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Seconda parte degli appunti di geometria analitica e algebra lineare per l'esame della professoressa Fortuna. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: dai prodotti scalari alle …

Esame Geometria analitica e algebra lineare

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Fortuna Elisabetta

Università Università degli Studi di Pisa

A.A. 2013-2014

126 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Prodotto scalare

IR² ⟨(x₁,y₁),(x₂,y₂)⟩ = _def. x₁x₂ + y₁y₂

Norma |(x,y)| = √⟨(x,y),(x,y)⟩ = √x² + y²

x,w ∈ IR² sono ortogonali ⟺ ⟨v,w⟩ = 0 v⊥w

Forme bilineari

Def: ∀ k-sp vett Φ:V x V → k è detta applicazione (o forma bilineare) se:

∀ x,y,z ∈ V Φ(x+y,z) = Φ(x,z) + Φ(y,z)
∀ x,y,z ∈ V Φ(x,y+z) = Φ(x,y) + Φ(x,z)
∀ x,y ∈ V ∀ α ∈ k Φ(αx,y) = αΦ(x,y) = Φ(x,αy)

In generale Φ: V x V x ... x V → k è detta multilineare se è lineare in ciascuna variabile

Esempi

Φ = 0
Φ: IR x IR → IR Φ((x,y))= t xy = Σxᵢyᵢ
A ∈ M(n,k) Φ: kⁿ x kⁿ → k (x-y) -x A y
Il determinante è visto come applic. sulle righe (o colonne) costituz. lineari
a,b M(n,k) Φ(A,B) = tr(A.B)
φ M(n,k) Φ(A,B) = tr(A B)
Fissati a₁,...,ar ∈ k Φ: kⁿ x kⁿ − k

Φ(P(x),q(ω)) = Σp(αi)q(αi)

a,b IR⁴ Φ((x₁, -x₁),(y₁,-y₁)) = x₁y₄ + x₂y₂ + x₃y₃ + x₄y₄

Def: Una forma bilineare Φ: V x V → k si dice prodotto scalare se è simmetrica, cioè se ∀ v,w ∈ V Φ(v,w) = Φ(w,v)

Esempio: A ∈ M(n,k)

Φ: kⁿ x kⁿ → k è p. scal ⟺ t A = A

α(x,y) = x A y

Prodotto scalare

IR² <(x₁, y₁), (x₂, y₂)> _def. x₁x₂ + y₁y₂

Norma — ||(x, y)|| = √<(x, y), (x, y)> = √x² + y²

v, w ∈ IR² sono ortogonali — <v, w> = 0 v ⊥ w

Forme bilineari

Def. ∀ V k-sp vett Φ : V x V --> |k é detta applicazione (o forma) bilineare se:

1) ∀ x, y, z ∈ V Φ(x+y, z) = Φ(x, z) + Φ(y, z)
2) ∀ x, y, z ∈ V Φ(x, y+z) = Φ(x, y) + Φ(x, z)
3) ∀ x, y ∈ V ∀ α ∈ k Φ(αx, y) = αΦ(x, y) = Φ(x, αy)

In generale Φ : V x... x V --> x V __ k é detta multilineare se é lineare in ciascuna variabile

Esempi

1) Φ = 0
2) Φ : IRⁿ x IRⁿ --> IR Φ(x, y) = t x y = Σx_iy_i
3) A ∈ M(n, |k) Φ : |kⁿ x |kⁿ --> |k (x - y) --> t x A y
4) Il determinante, visto come applic. sulle righe (o colonne) equiv lin. inan
5) ∃ A, B ∈ M(n, |k) Φ(A, B) = tr( t A B)
6) ∃ A, B ∈ M(n, |k) Φ(A, B) = tr( t A B)
7) ∃ a₁, ..., a_r ∈ |k — Φ(|kⁿ x |kⁿ, z) --> |k Φ(p(x), q(x)) = Σρ(a_iq(a_i))
8) ∃ IR⁴ - Φ((x₁, -x₂), (y₁, -y₂)) = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ + x₄y₄

Def. Una forma bilineare Φ : V x V --> |k si dice prodotto scalare se é simmetrica, cioé se ∀ v, w ∈ V Φ(v, w) = Φ(w, v)

Esempio: A ∈ M(n, |k) Φ : |kⁿ x |kⁿ --> |k _{p. scal} —> t A = A ( x, y ) x A y

Achtung!

Lavoreremo su campi

Def: Sia V _{_k} forma bilineari si chiamo forme quadratiche indotte da l'applicazione q: V k definita da q(v) = (v,v)

Esempio:, _{_k}, dunque q(x) = x_₁²+x_₂²+...+x_{_n²} (forma quadratica standard)

Def: Una applicazione q: V k si dice forma quadratica se forma bilineare su V tc.q = q_₀ (ossia q(u,v) = (u,v) _{_k} v,u,v V)

Prop: V _{_k} forma quadratica allora esiste uno e un solo prodotto scalare che induce q.

dim.: per def forma bilineare tc. (w)=(u,v) v e V allora (u,v) = (u,v)+(v,u) è un prodotto scalare che induce q

Inoltre se è un prodotto scalare che induce q allora q(u+v)+q(u)=(u,v)+ (u,v)+(u,v) da cui (u,v)+(v,u)=2(u,v), per cui il prodotto scalare è univocamente determinato da q.

Def: BI(V)= { (phi)| V V | | bilineare} possiamo definire in BI(V) una somma e un prodotto per scalare:

1) , = BI(V), =(v, w), = (v,w)
2) V ,

Osservazione

BI (V) è uno sp. vett PS(V)= {prodotti scalari su V} BI(V) Q(V)= {forme quadratiche su V} in un sotto sp. di { | V k} e l'appl.

PS(V) Q(V) è isomorfismo

Def.: Se (V, Φ) k. sp. vett dotato di prod. scal. (W, ψ) f: V → W si dice isometria se:

f è isomorfismo di sp. vett.
∀ x, y ∈ V Φ(x, y)

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