Paniere fisica tecnica domande aperte

Risposte aperte paniere FT

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Come viene definito il titolo di vapore e come viene impiegato?

Il titolo del vapore viene definito come il rapporto tra la massa del vapore saturo secco (m_VS) e la massa totale del vapore saturo (m_L + m_VS) costituito dalla miscela liquido + vapore, ossia:

x = m_VS / m_TOT = m_VS / (m_L + m_VS)

che è ovviamente una grandezza adimensionale variabile tra 0 ed 1.

Per ogni valore di pressione (o temperatura) del vapore saturo, esiste una corrispondenza biunivoca tra volume specifico e titolo: lo stato può quindi essere caratterizzato dalla coppia di valori P (o T) ed x. Il luogo dei punti aventi medesimo titolo definisce le curve isotitolo.

Il suo impiego è fondamentale per il calcolo di alcuni parametri specifici del vapore saturo, come energia interna u, entalpia h ed entropia s, mediante l’utilizzo delle seguenti formule binomie:

u = u_L + x(u_VS - u_L)

h = h_L + x(h_VS - h_L)

s = s_L + x(s_VS - s_L)

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Si enunci il principio degli stati corrispondenti.

Il principio degli stati corrispondenti dice che la funzione fattore di comprimibilità z = f(P_R, T_R) = (P*v)/(R*T) è unica per tutte le sostanze, dove la temperatura ridotta T_R e la pressione ridotta P_R, sono calcolabili mediante le seguenti relazioni:

T_R = T/T_C e P_R = P/P_C

dove T_C e P_C sono rispettivamente la temperatura e la pressione critica.

Per cui volendo identificare lo stato di sostanze diverse in termini delle coppie P_R e T_R, si avrà che il valore di z corrispondente ad ogni coppia sarà lo stesso per tutte le sostanze.

In definitiva, il modello di gas ideale può ragionevolmente essere utilizzato per 2 condizioni distinte, ovvero, se:

• T_R > 2 per ogni valore della pressione P_R
• Oppure T_R > 1 e P_R < 0,1

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Enunciare il primo principio della termodinamica per i sistemi aperti.

In generale il 1° principio della termodinamica afferma che: l’energia non può essere né creata né distrutta, ma può essere solo trasformata.

Sapendo dunque che per un processo ciclico si ha: ∮ ≠ 0 ∮ ≠ 0 e dove il loro valore dipende dal particolare cammino; il 1° principio, derivato da osservazioni sperimentali, sancisce che:

( ) ∮ ∮ ∮ ∮ ∮ = ; − = 0; − = 0

L’espressione d(Q-L) rappresenta un differenziale esatto di una certa funzione di stato U_t (U_tot) che rasenta l’energia totale immagazzinata: questa è una proprietà del sistema e la sua variazione durante un processo è data dalla differenza tra le quantità delle 2 energie di scambio, calore e lavoro, in gioco nel processo stesso, infatti:

d(Q-L) = dU_t; dU_t = dQ-dL

Considerando anche i termini energetici esterni, si può scrivere inoltre che l’energia totale immagazzinata è equivalente a:

1 2 ( ) = + = + + = + + 2

Che in termini differenziali e con riferimento all’unità di massa (tutte le grandezze diventano specifiche), diventa:

1 2 = − = + + 2

Siccome si vuol ricavare il principio per i sistemi aperti, allora si sostituisce al differenziale del lavoro dl la relazione per i sistemi aperti dl = dl’ + d(pv), ossia:

1′ 2 [ ( )] − + = + + ; 2

1 1′ 2 ′ 2 ( ) − − = + + ; − = ( + ) + + 2 2

Dove la quantità u+pv = h è definita come entalpia, per cui in definitiva si può scrivere:

′ − = + +

Che trascurando i termini cinetici e potenziali relativi all’energia esterna diventa infine:

dq-dl = dh

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Dimostrare come si ottiene la relazione di Mayer tra i calori specifici di gas perfetti.

La relazione di Mayer tra i calori specifici di gas perfetti è la seguente:

c_p - c_v = R

Dimostrazione:

Partendo dalla definizione generale di calore specifico: il calore specifico di una sostanza è l’energia necessaria per innalzare di un grado la temperatura della massa unitaria della sostanza stessa e si misura quindi in [J/(kg*K)].

Si possono differenziare 2 casi:

• Il 1° nel quale si fornisce energia alla sostanza in condizioni isocore (V costante), e quindi il calore specifico c_v a volume costante è dato dalla variazione dell’energia interna specifica della sostanza rispetto alla variazione unitaria di temperatura, ossia: ( ) [ ]. =

Siccome per una trasformazione internamente reversibile in un sistema chiuso vale che = −, la forma differenziale della 1° legge della dinamica per un sistema di tal tipo = −, =, diventa ma dato che V è costante allora si può scrivere che e () ( ) [ ]; = = dunque la relazione per il calcolo di c_v diventa:

⋆

• Il 2° nel quale si fornisce energia alla sostanza in condizioni isobare (P costante), e quindi il calore specifico c_p a pressione costante è dato dalla variazione dell’entalpia specifica ℎ ( ) = [ ]. della sostanza rispetto alla variazione unitaria di temperatura, ossia: ⋆

Siccome per una trasformazione internamente reversibile in un sistema aperto la 1° legge della dinamica assume la forma ℎ = +, la relazione per il calcolo di c_p diventa:

() ( ) [ ]. = = quindi: ⋆

Da alcuni esperimenti effettuati da J. P. Joule nel 1843 si è evinto che sia l’energia interna che l’entalpia di un gas ideale sono funzioni unicamente della temperatura e dunque si può scrivere che:

ℎ = + () { → ℎ = + = + = ℎ () =

E quindi anche i calori specifici c_v e c_p dipendono unicamente dalla temperatura:

() () ( ) = = = (() () + ) () () () ( ) = = = = + = + = ()

Da cui la relazione di Mayer:

() () − = . . . N.B. Ciò che è segnato in grigio è superfluo.

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Un dispositivo cilindro-pistone contiene 0.8 kg di azoto a 100 kPa e 300 K. L'azoto 1.3 in seguito viene compresso lentamente secondo la legge del tipo PV = costante fino a dimezzare il suo volume. Si determini:

• Il lavoro fatto durante tale trasformazione;
• Il calore trasferito durante tale trasformazione.

Uno schema del sistema ed il diagramma pV del processo sono mostrati sotto:

a) Alle condizioni specificate l’azoto può considerarsi un gas ideale in quanto la temperatura è alta rispetto al suo valore critico T_c = 126,15 K e la pressione è bassa rispetto al valore critico P_c = 3390 kPa.

Essendo dunque il gas compresso con una legge del tipo PV^1,3 = k, si può scrivere che:

P₁V₁^1,3 = k; 100000*V₁^1,3 = k

Il volume specifico iniziale v₁ è calcolabile dall’equazione di stato dei gas perfetti Pv = RT, per cui:

296,8 * 300 / 100000 = 296,8 * 300 / 100000

1 2 ( ) * * 2 296,8 * 300 / 100000 = 296,8 * 300 / 100000 2 2 2 * *

= 0,8904 m³/kg

Dove la costante R dell’azoto vale R = 296,8 J/(kg*K).

Per cui il volume iniziale V₁ sarà:

V₁ = v₁*m = 0,8904*0,8 = 0,7123 m³

E dunque:

100000*0,7123^1,3 = k; k = 64337,151 Pa*m³ = 64337,151 N/m²*m³ = 64337,151 N*m = = 64337,151 J = 64,337 kJ

Dopo la trasformazione il volume è dimezzato e dunque:

P₂V₂^1,3 = k; P₂*(V₁/2)^1,3 = 64337,151; P₂*(0,7123/2)^1,3 = 64337,151

P₂*0,356^1,3 = 64337,151; P₂ = 64337,151/0,261 = 246502,494 Pa = 246,502 kPa

Il lavoro svolto è dunque calcolabile mediante la relazione per le trasformazioni polintropiche con n = 1,3, ossia:

− 246502,494*0,356 − 100000*0,7123 / 87754,888 − 71230 2 1 1 = = = = −55082,96 = 1 − 1 − 1,3 −0,3 −55,083, ovvero il lavoro è svolto dall’ambiente verso il sistema.

b) Siccome per molti gas di comune impiego tra 0°C (273,15 K) e 100°C (373,15 K) si può scrivere che Δu = c_v*ΔT, allora si può calcolare la variazione dell’energia interna del sistema come:

1 2 22 2 ( ) ( (Δ = 0,743 * − = 0,743 * − 300) = 0,743 * − 300) 2 1 * (369,754 300) (69,754) = 0,743 * − = 0,743 * = 51,827 → (51,827)

Δ = * Δ = 0,8 * = 41,462

Dove il valore di c_v = 0,743 kJ/(kg*K) è stato preso dalla tabella “calori specifici medi impiegabili nell’intervallo 0 – 100°C”.

Essendo dunque per il 1° principio della termodinamica ΔU = ΔQ-ΔL, si può infine scrivere che:

41,462 = ΔQ-(-55,083) = ΔQ+55,083; ΔQ = -13,621 kJ, ovvero il calore è emesso dal sistema.

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Una turbina a gas adiabatica fornisce la potenza di 5 MW alle condizioni di ingresso e uscita indicate in figura sotto. Considerando i gas che attraversano la turbina come aria, si chiede di:

• Calcolare e confrontare tra loro ?h, ?ec, ?ep;
• Determinare il lavoro compiuto per unità di massa dai gas caldi;
• Calcolare la portata massica dei gas.

Il sistema da considerare è quello interno alla turbina racchiuso dalla linea tratteggiata in rosso. Poiché il gas attraversa questo contorno, si parla di Volume di Controllo (V.C.) ed inoltre poiché non vi sono indicazioni di variazioni nel tempo entro tale V.C., si tratta quindi di un sistema a flusso stazionario.

Per tale sistema si considererà un calore specifico a pressione costante c_p alla temperatura media T_med = (T₁ + T₂)/2 = (1200+600)/2 = 900 K, per cui c_p = 1,121 kJ/(kg*°C).

a) La variazione ?h di entalpia specifica è calcolabile per definizione come:

?h = dh = c_p*dT = c_p*(T₂-T₁) = 1,121*(326,85-926,85) = -672,6 kJ/kg

La variazione ?e_c di energia cinetica specifica è calcolabile per definizione come:

?e_c = de_c = (1/2)*dw² = (1/2)*(w₂²-w₁²) = (1/2)*(180²-50²) = 14950 J/kg = 14,95 kJ/kg

La variazione ?e_p di energia potenziale specifica è calcolabile per definizione come:

?e_p = de_p = g*dz = g*(z₂-z₁) = 9,81*(6-10) = -39,24 J/kg = -0,04 kJ/kg

Si noti che la variazione dell’energia potenziale è insignificante in confronto alle variazioni di entalpia e di energia cinetica, e che la variazione di energia cinetica caratterizza una piccola frazione della variazione di entalpia tanto da essere spesso trascurata;

b) Per il 1° principio della termodinamica applicato ai sistemi aperti, e considerando che il processo è adiabatico (dq = 0), si ha che:

dh+de_c+de_p = dq-dl; -672,6+14,95-0,04 = 0-dl; dl = 657,69 kJ/kg (ovvero tale lavoro è compiuto dal Sistema verso l’ambiente);

c) Per ottenere una potenza di 5 MW è necessaria la seguente portata massica:

5 5000 5000/ṁ = = = = = 7,6/ 657,69/ 657,69/ 657,69/

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CO2 entra in un compressore adiabatico a 100 kPa e 300 K con una portata massica di 0.5 kg/s ed esce a 600 kPa e 450 K. Trascurando la variazione di energia cinetica e potenziale, determinare:

• La portata volumetrica di CO2 all'ingresso del compressore;
• La potenza in ingresso al compressore;

a) Alle condizioni indicate l’anidride carbonica può essere considerata un gas ideale, per cui si può scrivere che:

P*v = R*T

Dove R per tale sostanza vale: R = 188,9 J/(kg*K).

Si potrà dunque scrivere che:

P₁*v₁ = R*T₁; 100000*v₁ = 188,9*300; 100000*v₁ = 56670; v₁ = 0,567 m³/kg

Sapendo che la portata massica vale:

ṁ = = = 0,5/1 1 1 1 1 1

E notando che la densità ρ equivale all’inverso del volume specifico, ossia:

ρ₁ = 1/v₁ = 1/0,567 = 1,764 kg/m³

si può quindi calcolare la portata volumetrica come:

ṁ 0,5/ 1 ṁ = = = 0,283 1 1 1,764 3

b) Per tale sistema si considera un calore specifico a pressione costante c_p alla temperatura media T_med = (T₁ + T₂)/2 = (300+450)/2 = 375 K, che è calcolabile mediante l’espressione:

c_p = a+bT+cT²+dT³

prendendo i coefficienti dalla tabella “coefficienti sperimentali per il calcolo del calore specifico a pressione costante per gas ideale secondo la correlazione: c_p = a+bT+cT²+dT³; T[K]. c_p [kJ*kg^-1*K^-1]” per cui:

= 4,498 * 10^-1 + 1,669 * 10^-3*375 − 1,273 * 10^-6*375² + 3,898 * 10^-10*375³ = 0,4498 + 0,626 − 0,179 + 0,021 = 0,9178

Essendo il processo adiabatico (ΔQ = 0), il 1° principio della termodinamica in tal caso si può esprimere come:

dh = dq-dl = 0-dl = -dl; dl = -dh

dove:

dh = c_p*dT = c_p*(T₂-T₁) = 0,9178*(450-300) = 137,67 kJ/kg

e quindi: dl = -137,67 kJ/kg, ovvero è ricevuto dal sistema.

La potenza è calcolabile mediante la seguente relazione:

(−137,67) = ṁ * = 0,5 * = −68,835 = −68,835

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Pag. 14 n° 05

Un dispositivo cilindro-pistone contiene 5 kg di R-134a a 800 kPa e 60 °C. Il refrigerante è ora raffreddato a pressione costante fino a che esso sia completamente sotto forma liquida a 20 °C. Determinare l'ammontare del calore trasferito e mostrare il processo su un piano T-v.

Dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni di saturazione – pressione” si può ricavare che ad una pressione P = 800 kPa = 0,8 MPa, la temperatura di saturazione è T_sat = 31,33 °C e dunque essendo la temperatura iniziale T_ini = 60 °C maggiore di T_sat, ma comunque minore della temperatura critica T_c = 374 K = 99,85 °C (presa dalla tabella “pesi atomici e molecolari e proprietà critiche di alcuni elementi e componenti comuni”) si può dedurre che il refrigerante inizialmente si trova nella fase di vapore surriscaldato.

Nella fase finale invece essendo T_fin = 20 °C minore di T_sat = 31,33 °C si deduce che il refrigerante è allo stato liquido.

La quantità di calore trasferito sarà dunque pari a:

Q = m*dh = m*(h₂-h₁)

Dove:

• h₂ è l’entalpia specifica nello stato finale: h₂ = h_liq = 77,26 kJ/kg, preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni di saturazione – temperatura” entrando con T = 20 °C;
• h₁ è l’entalpia specifica nello stato iniziale: h₁ = h_60°C = 294,98 kJ/kg, preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R134a surriscaldato (3/3)” entrando con P = 0,8 MPa e T = 60 °C.

Per cui:

Q = m*(h₂-h₁) = 5*(77,26-294,98) = -1088,6 kJ

Nella condizione iniziale il refrigerante ha un volume pari ha un volume specifico:

v₁ = 0,02992 m³/kg = 29,92 dm³/kg

Dove v₁ è stato preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R134a surriscaldato (3/3)” entrando con P = 0,8 MPa e T = 60 °C”.

Nella condizione finale invece il suo volume specifico è pari a:

v₂ = 0,0008157 m³/kg = 0,8157 dm³/kg

Dove v₂ è stato preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni di saturazione – temperatura” entrando con T = 20 °C”.

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Una corrente di acqua calda a 80 °C entra in un miscelatore con una portata di 0.5 kg/s, mentre è miscelata con una corrente di acqua fredda a 20 °C. Se si desidera che l'acqua esca dal miscelatore a 42 °C, determinare la portata massica necessaria per la corrente di acqua fredda.

Assumere che tutte le correnti siano ad una pressione di 250 kPa.

In un miscelatore per il bil