Analisi del pendolo smorzato: equazioni, metodi e traiettorie

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di _stan
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Sapiens
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L'analisi del pendolo smorzato esamina le equazioni del moto e l'integrazione numerica con il metodo Runge-Kutta. Scopri come queste tecniche modellano traiettorie, punti di equilibrio e offrono una comprensione approfondita del sistema dinamico.

Concetti Chiave

  • Le equazioni del moto di un pendolo smorzato descrivono la posizione e la velocità angolare, permettendo di analizzare le traiettorie attraverso condizioni iniziali variabili.
  • Il metodo del quarto ordine Runge-Kutta viene utilizzato per calcolare le traiettorie, consentendo di generare soluzioni numeriche in un intervallo temporale definito.
  • Otto condizioni iniziali vengono selezionate per le traiettorie, alcune partendo da posizione 0 con velocità positiva, altre da 2π con velocità negativa.
  • Nel tracciato di fase, i punti di equilibrio sono rappresentati da rettangoli neri, con due punti stabili e uno instabile, evidenziando i comportamenti delle traiettorie.
  • La direzione delle traiettorie è indicata da frecce lungo il percorso, mostrando l'evoluzione nel tempo e facilitando l'interpretazione del tracciato di fase.

Il Pendolo Smorzato Questi appunti mostrano le varie fasi per la costruzione del il sistema di equazioni che descrivono il moto di un pendolo smorzato a partire dalle: Condizioni iniziali relative alla posizione e alla velocità N , il numero di passi da rilevare lungo l'intervallo temporale

Cosa sono le equazioni del moto?

JPG[/imgforce] c , la costante di smorzamento Ambiente Le equazioni del moto di un pendolo smorzato sono [imgforce alt=" " width="72" height="51px;" width="23" height="22"]https://cdn.skuola.net/news_foto/staticimages/fisica/oscillazioni_smorzate/oscillazioni_smorzate0010.

Cosa sono le equazioni del moto?

JPG[/imgforce] c , la costante di smorzamento Ambiente Le equazioni del moto di un pendolo smorzato sono [imgforce alt=" " width="72" height="51" class="img_force" /> dove p(t) è la posizione angolare del pendolo e v(t) è la velocità angolare.
E' possibile costruire soluzioni sull'intervallo temporale [0,20] per una serie di condizioni iniziali , usando una tecnica numerica detta
metodo del quarto ordine Runge–Kutta con passi di misura fissa. Dapprima si sceglie un numero di passi e si definiscono variabili di escursione per generare le soluzioni: numero di passi dimensione del passo temporale Variabili di escursione per generare e tracciare soluzioni: Per generare otto soluzioni, conviene calcolarle a blocchi. Bisogna definire un vettore derivativo che dia le derivate di p e v per quattro soluzioni. Si verranno ad aggiungere altre righe alla matrice risolutiva. La costante di smorzamento c viene posta uguale a 0.2 .

Condizioni iniziali e traiettorie

JPG[/imgforce] blocco vettore derivativo Condizioni iniziali Ora si scelgono otto condizioni iniziali. In questo esempio , alcune traiettorie vengono fatte partire dalla posizione 0 con velocità positiva, e altre dalla posizione 2 p con una velocità negativa: [imgforce alt=" " width="149" height="221px;" width="174" height="235"]https://cdn.skuola.net/news_foto/staticimages/fisica/oscillazioni_smorzate/oscillazioni_smorzate0031.

Condizioni iniziali e traiettorie

JPG[/imgforce] blocco vettore derivativo Condizioni iniziali Ora si scelgono otto condizioni iniziali. In questo esempio , alcune traiettorie vengono fatte partire dalla posizione 0 con velocità positiva, e altre dalla posizione 2 p con una velocità negativa: [imgforce alt=" " width="149" height="221" class="img_force" /> Integrazione numerica Runge–Kutta Queste equazioni sviluppano l'approssimazione del passo Runge–Kutta che generera le traiettorie seguenti: Le due seguenti equazioni definiscono iterazioni sull'indice i per generare le otto traiettorie . Per facilità di manipolazione, le condizioni iniziali vengono riunite in un sola matrice x . La colonna i-sima di x contiene le otto soluzioni , con le posizioni negli elementi pari e le velocità negli elementi dispari. Indicare la direzione Nell'interpretazione di un tracciato di fase è utile sapere la direzione e il verso secondo cui evolve ogni soluzione. Da solo, il grafico della soluzione non da questa informazione, ma può essere aggiunta posizionando frecce lungo la traiettoria che indichino la direzione corrispondente al variare del tempo. Le seguenti definizioni (alquanto complicate) hanno lo scopo di creare uno spazio ogni quindicesima colonna di x e di inserire punti che disegneranno le frecce. La funzione seguente genera un vettore unitario nella direzione della freccia, che è la direzione del vettore che unisce il punto precedente al successivo. La variabile indipendente a questa funzione sarà una schiere due per due dove la prima fila denota le posizioni e la seconda le velocità per una soluzione particolare. Porre la spaziatura delle frecce: frecce ogni quindicesimo punto Ora ricopiare x in X , lasciando spazi ogni K esima colonna per le frecce Calcola i punti terminali delle frecce ed inseriscile in X . Il parametro di scala stabilisce la dimensione delle frecce. Ripetere i punti sulle teste delle frecce, in modo che i lati si ripieghino sul punto: Per tracciare i grafici, è necessaria una variabile di campo che che tenga conto dei punti in più aggiunti dalle frecce: [imgforce alt=" " width="162" height="47"]https://cdn.skuola.net/news_foto/staticimages/fisica/oscillazioni_smorzate/oscillazioni_smorzate0070.

Spazio delle fasi e punti di equilibrio

JPG[/imgforce] Ecco rappresentato lo spazio delle fasi completo, con la posizione angolare sull'asse orizzontale e la velocità angolare sull'asse verticale. Tre punti di equilibrio, segnati da rettangoli neri, sono visibili in questo tracciato: due punti di equilibrio stabile in (0, 0) e (2 p , 0) , e un punto di equilibrio instabile in ( p , 0) .
Tutte le traiettorie tratteggiate in rosso hanno (0, 0) come loro limite: esse giacciono nel bacino di attrazione di questo punto di equilibrio. Le traiettorie blu, a linea continua, alla fine girano in spirale verso il prossimo equilibrio in (2 p , 0) . L'equilibrio instabile in ( p , 0) rappresenta uno stato dove il pendolo è senza moto ma la massa pendolare è all' inizio del ciclo. Quattro delle traiettorie si avvicinano molto a questo punto. In due di queste il pendolo raggiunge quasi la cima e poi cambia la direzione e ricade; per le altre due il pendolo ce la fa appena a superare la cima cadendo poi nella regione successiva del dominio angolare. Si può vedere dall'assembramento delle frecce vicino all'equilibrio instabile quale posizione e quale velocità sta cambiando lentamente in questa regione dello spazio delle fasi.

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Domande da interrogazione

  1. Quali sono le equazioni del moto di un pendolo smorzato?

    2. Le equazioni del moto di un pendolo smorzato descrivono la posizione angolare p(t) e la velocità angolare v(t) del pendolo, utilizzando una costante di smorzamento c, che nel caso specifico è impostata a 0.2.

  2. Come vengono scelte le condizioni iniziali per il pendolo smorzato?

    3. Le condizioni iniziali vengono scelte in base a otto configurazioni, alcune partendo dalla posizione 0 con velocità positiva e altre dalla posizione 2π con velocità negativa, per generare diverse traiettorie.

  3. Qual è il metodo utilizzato per calcolare le traiettorie del pendolo smorzato?

    4. Si utilizza il metodo del quarto ordine Runge-Kutta con passi di misura fissa per calcolare le traiettorie del pendolo smorzato, generando soluzioni su un intervallo temporale definito.

  4. Come si rappresenta lo spazio delle fasi del pendolo smorzato?

    5. Lo spazio delle fasi è rappresentato con la posizione angolare sull'asse orizzontale e la velocità angolare sull'asse verticale, mostrando tre punti di equilibrio: due stabili in (0, 0) e (2π, 0) e uno instabile in (π, 0).

  5. Qual è l'importanza delle frecce nel tracciato di fase del pendolo smorzato?

    6. Le frecce nel tracciato di fase indicano la direzione e il verso in cui evolve ogni soluzione, fornendo informazioni cruciali sul comportamento del pendolo nel tempo e sulla sua evoluzione verso i punti di equilibrio.

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