Oscillatore armonico

Oscillatore armonico

^d2x(t)/dt² + ω₂ x(t) = 0 x(t) = A sin(ωt + φ)

Ampiezza Fase iniziale Pulsazione

T = 2π/ω γ = 1/T

Parametri: A e φ dipendono dalle condizioni iniziali, ω dipende dalla dinamica

α = −ω₂x(t)

Esempi di moto armonico

• Forza elastica → m d²x/dt² = −Kx
• Pendolo semplice → m d²θ/dt² = g/l θ ≈ 0
• Pendolo composto → m g θ/I ≈ 0

ω₁² = K/m ω₂² = g/l Ω₂ = g/l = m g h/I

Esempio: forza elastica (forza conservatrice)

E_tot = E_K + E_P = cost ¹/₂ m ω² A² = cost

Somma di moti armonici ω₁ ≠ ω₂

Moto (x₁ + x₂) / 2 (x₂ - x₁) / 2

Per entrambi: ^d2x/dt² + ω² x = 0 x(t) = A sin(ωt + φ)

Oscillatore armonico: ^d2x(t)/dt² + ω²x(t) = 0 x(t) = A sin(ωt + φ)

T = 2π/ω₀       X_t = 1

Parametri: A, ω, φ A, φ dipendono dalle condizioni iniziali ω dipende dalla dinamica a = -ω²x(t)

Esempi di moto armonico

• Forza elastica: md²x/dt² = -Kx, ω² = K/m
• Pendolo semplice: d²θ/dt² + g/l θ = 0, ω² = g/l
• Pendolo composto: mgℓ/I θ, Ω² = g/l = mgℓ/I

Esempio forza elastica (forza conservativa)

E_tot = E_K + E_P = cost ½mω² A² = ½ Kx²

x(t) = A sin(ωt + φ) v(t) = ω A cos(ωt + φ)

A² = (A cos(ωt + φ))² + (A sin(ωt + φ))² = A²

E_K + E_P = ½ m v² + ½ m ω² x² = ½ mω² (A² - x²)→ E_tot = E_K = E_P = ½ m ω² A² = cost

Somma di moti armonici ω₁ = ω₂

Moto (x₁ + x₂)/2   ⊕   (x₁ - x₂)/2

Ipotenii: m₁ = m₂ = m Per entrambi: d²x/dt² + ω²x = 0     ω² = K/m

x(t) = A sin(ωt + φ) x₁(t) = A₁ sin(ωt + φ₁) x₂(t) = A₂ sin(ωt + φ₂)

x_s = x₁ + x₂ soluzione dell'equazione differenziale x_s(t) = A sin(ωt + φ) = A₁ sin(ωt + φ₁) + A₂ sin(ωt + φ₂)

sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

Acosφ = A₁cosφ₁ + A₂cosφ₂   sinφ = A_sinφ + A₁sinφ₁

A_sin ± A₂sinφ₂   φ = t_f   ω   A₁ cosφ₁ - A₂ cosφ₂ A₁ sin φ₁ - A₂ cos φ₁

Qualcosa somma ρ = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosφ₂ + φ₁ + 2A₁A₂sinφ₂cos(ϕ₁ - ϕ₂) = cosϕ₁cosϕ₂ + sinϕ₁sinϕ₂

A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(ϕ₁ - ϕ₂)) A dipende dallo spostamento

d = θ₁ - θ₂ Anche la somma è un moto armonico

Diversi casino spostamento ϕ₁ = ϕ₂ d = 0, 2π, 4π...

Opposizione di fase θ = ϕ₁ - ϕ₂

A = √(A₁² + A₂² - 2A₁A₂)= |A₁ - A₂|Se A₁ = A₂ ⇒ A = 0

Quadratura di fase ϕ₁ - ϕ₂ = π/2, 3π/2, ... Una funzione seno, l'altra le coseno

A = √(A₁² + A₂²) Metodo di Fresnel Metodo grafico per rappresentare moti armonici

A₁ con ampiezza A₁ A₂ con ampiezza A₂

Lungo x(t): A₁sinωt + A₂sin(ωt + ϕ₁) Moto armonico

X = x₁ + x₂ ⇒ (sovrapposizione) A₁ + A₂ = Â

Δt = t₂ - t₁ = (ω(t + ϕ₁)) - (ω(t + ϕ₂)) = ϕ₁ + ϕ₂

A² = (Â₁ + Â₂)² A = √(A₂² + A₂² + 2A₁A₂cos(Δt - Δt₁))

Somma di moti armonici con ω₁ ≠ ω₂

x₁ = A₁sin(ω₁t + ϕ₁) x₂ = A₂sin(ω₂t + ϕ₂)

x₁ + x₂ non è soluzione di nessuna delle due equazioni

Δt = t₂ - t₁ = (ω₁t + ϕ₁) - (ω₂t + ϕ₂) 1/2(ω₁ - ω₂)t + (ϕ₁ - ϕ₂)

Modulazione di Ampiezza Esempio: A₁ = A₂ = Aϕ₁ = ϕ₂ = 0

x₁(t) + x₂(t) = A sin(ω₁t) + A sin(ω₂t)

sin p + sin q = 2 sin  cos (  )

x₁(t) + x₂(t) = 2A cos(Ω t) sin(ω t)= A(t) sin(ω t)

A(t) = 2A cos(Ω t)Ω =  ω =  Fenomeno dei battimenti(n

Somma di modi armonici su assi ortogonali

Corpo puntiforme di massa m soggetto a due forze elastichelungo  lungo : due assi:

x(t) = A sin (ωt)  spostamento y(t) = B cos(ωt + ϕ)

Se x e y sono in fase (ϕ = 0, 2π)... x(t) = A sin (ωt) y(t) = B sin (ωt)

 y =   y =   tg  y =  

Se x e y sono in "quadratura" ϕ =   x(t) = B sin(ωt) y(t) = B cos(ωt)

 ^{2 2} ellisse Con l'ellisse è percorso in senso antiorario

Somma di moti s.h.m. ortogonali

w_x/w_y = ↓ circe di Lissague

Oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa

Forza viscosa: R_x = -λvx ma + mλdx/dt = -Kx → mλdx/dt = Kx

Caso 1: Smorzamento forte

x(t) = e^-f[Ae^f+√ + Be^-f+√ ]

Caso 2: Smorzamento critico

x(t) = e^-ft (At + B)

Caso 3: Smorzamento debole

x(t) = e^-ft [Ae^iwt + Be^-iwt ][A + B] A e B devono essere oppure uno è complesso coniugato dell'altro

A = a + ib, B = a - ib x(t) = e^-ft [2a cos(wt) + 2b sin(wt)]

x(t)=e^-βtAsin(ωt+φ) A=√(a²+b²) tgφ=\frac{b}{a} ω=\sqrt(ω₀²-β²)≈ω₀

Moto pseudoperiodico

T=τ=2π/ω L'ampiezza dopo uno pseudoperiodo diminuisce di un fattore \frac{x(t+T)}{x(t)}=e^-βτ=e^-μmg/2k

Se ζ è smorzato da attrito radente

Moto pseudoperiodico T=2π\sqrt{m/k} md²x/dt²=-Kx

ξ=μmg se mgl = 0 L'ampiezza diminuisce ogni pseudoperiodo di 4μmg/K

Energia

Moto armonico semplice: d²x/dt²+ω₀²x = 0 ω₀²=K/m T=2π/ω₀

x(t)=Asin(ω₀t+φ) s(t)=ω₀Acos(ω₀t+φ)

E_tot=\frac{Kx²}{2} + \frac{1}{2} mω₀² = \frac{1}{G} \int_tE_p(t)dt =\frac{1}{2}kA²\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}mω₀²A²\frac{1}{2}E_tot = \frac{1}{G} mω₀²A