Numeri complessi e trasformate

Metodi matematici per l’Ingegneria

Appunti di Maggiacomo Riccardo

I numeri complessi

Forma algebrica

La forma algebrica si esprime con una coppia di valori: z = a + jb, dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria; j è l’unità immaginaria e corrisponde a −1.

Re z = a; Im z = b;

Valori di j: j³ = −j; j² = −1; j⁴ = 1. I valori si ripetono per π/2 alla volta.

(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)

Moltiplicazione: (a + jb) · (c + jd) = (ac − bd) + j(ad + bc)

Divisione: (a + jb) / (c + jd) = [(ac + bd) + j(ad − bc)] / (a² + b²)

z* = a − jb; |z|² = a² + b².

Forma trigonometrica

La forma trigonometrica si esprime come: z = a + jb ⇔ z = ρ(cos θ + j sen θ)

Dove ρ è il modulo di z e θ è l’argomento o fase, si ha che:

ρ cos θ = a; ρ sen θ = b; ρ = √(a² + b²) = |z|.

θ = arctg(b/a) se a > 0.

θ = arctg(b/a) + π se a < 0 e b ≥ 0.

θ = arctg(b/a) − π se a < 0 e b < 0.

Forma esponenziale

La forma esponenziale si esprime con: z = a + jb ⇔ z = ρ(cos θ + j sen θ) ⇔ z = ρe^jθ.

Valgono le stesse regole della forma trigonometrica.

z = ae^j0 se z = a reale positivo.

z = ae^jπ se z = a reale negativo.

z = be^jπ/2 se z = jb con b > 0.

z = be^−jπ/2 se z = jb con b < 0.

Moltiplicazione: ρe^jα · γe^jφ = ργe^j(α+φ).

Divisione: ρe^jα / γe^jφ = (ρ/γ)e^j(α−φ).

Le serie a valori complessi, criteri di convergenza

1) Condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie:

∑ Z_n converge ⇒ lim Z_n = 0, se n → ∞.

La successione dei moduli tende a zero.

2) Condizioni necessarie:

∑ Z_n converge ⇒ ∑ |Z_n| converge.

Se Z_n converge con infinitesimo di ordine h > 1 allora la serie converge.

Criterio del rapporto: ∑ Z_n converge se lim Z_n+1/Z_n = l con l < 1.

Criterio della radice: ∑ Z_n converge se lim √ⁿZ_n = l con l < 1.

La serie geometrica

La serie geometrica, serie di funzioni: f(Z) = ∑ Zⁿ.

La successione dei moduli ci dice per quali valori di Z la serie può convergere:

• Se |z| > 1.
• Se |z| < 1, lim Zⁿ = 0 per n → ∞.
• Se |z| = 1.

A noi interessa solo il caso in cui |z| < 1.

Proprietà dell’esponenziale nel campo complesso

Presa la funzione complessa a valori complessi: f(z) = e^z = ∑ zⁿ/n!.

e^z = e^x+jy = e^xe^jy = e^x(cos y + j sen y).

Re z = x; Im z = y; arg z = Im z.

La funzione è periodica di 2πk.

e^z1+z2 = e^z1 · e^z2.

e^−z = 1/e^z; arg z* = −arg z; arg(−z) = arg z + π.

Seno, coseno, seno h, coseno h, nel campo complesso

sen z = (e^jz − e^−jz) / 2j = ∑ (−1)ⁿz²ⁿ⁺¹ / (2n + 1)!

cos z = (e^jz + e^−jz) / 2 = ∑ (−1)ⁿz²ⁿ / (2n)!

senh z = (e^z − e^−z) / 2 = ∑ z²ⁿ⁺¹ / (2n + 1)!

cosh z = (e^z + e^−z) / 2 = ∑ z²ⁿ / (2n)!

Varie

• cosh z + senh z = e^z.
• (cosh z)² − (senh z)² = 1.
• senh jz = j sen z.
• cosh jz = cos z.
• cosh jz + senh jz = e^jz.
• cos z + j sen z = e^jz.
• cos (−z) + j sen (−z) = e^−jz.
• cos z − j sen (−z) = e^jz.

Proprietà del logaritmo

Per definizione si pone: log z = w ⇔ e^w = z.

e^w = z ⇔ e^w = z e^j2πk ⇔ w = log |z| + j(arg z + 2πk).

log(z₁ · z₂) = log z₁ + log z₂ = log |z₁| + log |z₂| + j(arg z₁ + arg z₂ + 2πk).

log(z₁/z₂) = log z₁ − log z₂ = log |z₁| − log |z₂| + j(arg z₁ − arg z₂ + 2πk).

log z^a = a log z = a log |z| + j(a arg z + 2πk).

log z = log |z| + j arg z.

La determinazione principale è data da arg z.

La potenza con esponente complesso: z^w = e^{w log z}, con w e z numeri complessi.

La serie di Fourier

La serie di Fourier si applica a funzioni reali di variabile complessa, chiamiamo queste funzioni segnali. In genere tale serie serve per approssimare i segnali periodici, anche discontinui con discontinuità di Iª specie, con funzioni buone, di classe C^∞, come seno e coseno.

Quindi la generica funzione f(t) = ∑ f_n(t) uniformemente in (a,b), se f(t) è continua.

Dove (a,b) è l’intervallo di definizione della f(t) mentre f_n(t) è una serie di funzioni tale che:

f_n(t) = c_ne^jntω = c_n[cos(ntω) + j sen(ntω)], con successione di numeri complessi c_n e successione dei seni e dei coseni.

A noi interessa trovare la successione c_n, tramite una dimostrazione, che non riportiamo, si giunge al risultato:

f(t) = ∑ c_ne^jntω ⇔ c_n = (1/T)∫_−T/2^T/2 f(t)e^−jntωdt.

Dove T = periodo; ω = 2π/T frequenza angolare, pulsazione.

Teoremi della serie di Fourier

1. Se una funzione f(t) è continua a tratti e limitata, allora è anche integrabile.
2. Se abbiamo una funzione f(t) periodica di periodo T, regolare a tratti in R, allora il segnale regolarizzato f_r(t) è la somma della serie di Fourier del segnale f(t) e la convergenza è puntuale.
3. Se abbiamo una funzione f(t) periodica di periodo T, regolare a tratti in R, ma continua, allora la convergenza è uniforme.

Per il calcolo della serie di Fourier c’è bisogno di calcolare dapprima il coefficiente C₀:

c₀ = (1/T)∫_−T/2^T/2f(t)dt, cioè per n = 0.

In seguito va calcolata la ridotta ennesima che approssima il segnale con la serie di Fourier:

c_n = (1/T)∫_−T/2^T/2f(t)e^−jntωdt per n ≠ 0.

Quando è stato trovato anche C_n la serie avrà la forma:

f(t) = c₀ + ∑_n≠0c_ne^jntω = c₀ + ∑_n=1^+∞(c_ne^jntω + c_n*e^−jntω) = c₀ + ∑_n=1^+∞2 Re(c_ne^jntω).

Da ciò, scrivendo C_n come una successione complessa e portando in forma trigonometrica, C_n = c_ne^jβn, si può scrivere la serie di Fourier come la somma di seni e coseni:

f(t) = c₀ + ∑_n=1^+∞c_n2 cos(nωt) + ∑_n=1^+∞(−2c_n) sen(nωt).

Tipi di convergenza della serie di Fourier

Supponiamo di aver calcolato la serie di Fourier di un segnale periodico, vediamo che tipo di convergenza ha questa serie:

∑ c_ne^jntω.

Essendo c_n ∈ l¹(R), ci calcoliamo la serie dei moduli e notiamo che questa serie converge secondo i criteri già enunciati, avremo quindi che la serie converge uniformemente in R ed anche nel senso dell’energia.

Se la serie dei moduli non converge bisogna osservare se converge ∑ c_n², se ciò avviene avremo una convergenza in l²(R) ed anche nel senso dell’energia.

Per vedere se una serie converge puntualmente bisogna osservare il grafico del segnale nel periodo T, se il segnale è regolare a tratti allora convergerà puntualmente la serie.

Se vogliamo vedere a priori se un segnale converge nel senso dell’energia bisogna operare il limite seguente: lim c_n = 0, il limite deve tendere a zero con un ordine di infinitesimo a > 1, se ciò avviene la serie converge in l¹(R) nel senso dell’energia ed anche in l²(R).

Se il limite non esiste in l¹(R) allora bisogna provare con lim c_n = 0, il limite deve tendere a zero con un ordine di infinitesimo a > 1, se ciò avviene la serie converge nel senso dell’energia ed anche in l²(R).

Criteri di sommabilità

I. Se f(t) è continua in (a,b) − {t₀}, non limitata, ciò è:

lim f(t) = +∞ per t → t₀, con infinito di ordine α.

Se si quantifica l’ordine di infinito allora:

• Se α < 1, f è sommabile.
• Se α ≥ 1, f non è sommabile.

II. Se f(t) è continua in (a,+∞) o in (−∞,a) allora supponiamo che:

lim f(t) = 0 per t → +∞, con ordine di infinitesimo α.

Se si quantifica l’ordine di infinitesimo allora:

• Se α > 1, f è sommabile.
• Se α ≤ 1, f non è sommabile.

Energia di un segnale periodico

Diremo che f(t) appartiene a L¹([a,b]) se e solo se è sommabile in [a,b].

f(t) ∈ L²([a,b]) ⇔ f(t)² è sommabile in [a,b]. Analogamente: è al quadrato sommabile.

Si definisce energia del segnale f(t) al quadrato sommabile, l’integrale:

∫_a^bf(t)²dt = ‖f(t)‖², dove ‖f(t)‖² è detta energia del segnale.

O anche se la somma della successione converge nel senso dell’energia alla funzione f(t) se:

∑ f_n(t) = f(t) in L²([a,b]) o nel senso dell’energia.

lim ∑_n=−kⁿ[f(t) − S_n(t)]² = 0 ⇔ lim [S_n(t) − f(t)]² = 0.

∫_−T/2^T/2|f(t)|²dt = ∑ |c_k|² = a_n² + b_n².

Dall’ultima implicazione ci ricaviamo l’uguaglianza di Parseval che ci dà l’energia della serie di Fourier:

∫_−T/2^T/2f(t)² = T∑ c_n².

Quindi partendo da un segnale periodico f(t) di periodo T, se questo segnale appartiene a L²([a,b]) allora la serie di Fourier converge nel senso dell’energia.

Esempio: f(t) = 1/t, f(t)² = 1/t²; essendo un segnale non regolare a tratti e discontinuo allora si applica: lim 1/t = +∞ per t → t₀, l’ordine di infinitesimo è 1 quindi la funzione non è sommabile quindi non è sviluppabile in serie di Fourier.

La convergenza nel senso dell’energia ci fornisce una relazione tra la f(t) ed il suo polinomio di Fourier al tendere di n all’infinito.

Teorema

Se la funzione f(t) soddisfa le seguenti ipotesi:

• f(t) è periodico di periodo T.
• f(t) è limitata ovvero f(t) ≤ k.
• f(t) è integrabile in [0,T].

Allora risulterà che:

f(t) − S_n(t) → 0 per n → +∞ ⇔ f(t) = ∑ c_ne^jntω.

La misura dell’area compresa tra le due funzioni tende a zero.

La derivata di funzioni complesse a valori complessi

Le funzioni di variabile complessa a valori complessi associano ad ogni punto (x,y) ∈ A, dominio della funzione, un punto (x,y) ∈ B, codominio della funzione.

z = x + jy; f(z) = f(x + jy) = u(x,y) + jv(x,y), dove la parte reale u(x,y) è funzione del punto z come la parte immaginaria v(x,y).

Derivare la funzione f(z) significa fare il limite del rapporto incrementale:

f′(z) = lim_Δz→0[f(z + Δz) − f(z)]/Δz, essendo z = x + jy e scrivendo f(z) come u(x,y) + jv(x,y), la derivata si può esprimere lungo rette parallele ai due assi cartesiani x,y.

f′(z) = lim_Δx→0[f(x + Δx,y) − f(x,y)]/Δx e f′(z) = lim_Δy→0[f(x,y + Δy) − f(x,y)]/jΔy.

A questo punto il limite può dipendere o meno dall’incremento però per definizione diremo:

Sia f(z) una funzione di variabile complessa a valori complessi, se esiste ed è finito il limite:

lim_Δz→0[f(z + Δz) − f(z)]/Δz

Indipendentemente da come l’incremento tende a zero allora tale limite si definisce come derivata della f(z), ciò fa sì che la funzione sia anche differenziabile.

Se la funzione f(z) ammette derivata in qualsiasi punto z ∈ A allora la funzione è detta olomorfa in A.

Il fatto che la derivabilità implichi la differenziabilità, nel campo complesso, innesca un nuovo meccanismo illustrato dal teorema di Cauchy-Riemann.

Essendo:

f′(z) = lim_Δx→0[f(x + Δx,y) − f(x,y)]/Δx = ∂f/∂x;

f′(z) = lim_Δy→0[f(x,y + Δy) − f(x,y)]/jΔy = (1/j)∂f/∂y.

Allora in virtù di ciò avremo che ∂f/∂x = (1/j)∂f/∂y, condizione di Cauchy-Riemann.

In base a questo risultato avremo che:

f(z) = u(x,y) + jv(x,y); f_x(z) = u_x(x,y) + jv_x(x,y); f_y(z) = u_y(x,y) + jv_y(x,y).

Essendo: f_y(z) = (1/j)[u_y(x,y) + jv_y(x,y)] = v_y(x,y) − ju_y(x,y), sfruttando la condizione di Cauchy-Riemann risulterà che:

u_x(x,y) = v_y(x,y); v_x(x,y) = −u_y(x,y).

Funzioni olomorfe

Anche la funzioni radice e logaritmo, se prese nella loro determinazione principale escluso l’asse negativo delle x, sono funzioni olomorfe:

f(z) = zⁿ; f′(z) = nzⁿ⁻¹.

f(z) = e^z; f′(z) = e^z.

f(z) = sen z; f′(z) = cos z.

f(z) = cos z; f′(z) = −sen z.

f(z) = log z; f′(z) = 1/z.

f(z) = senh z; f′(z) = cosh z.

f(z) = cosh z; f′(z) = senh z.

La condizione di olomorfia, derivazione, analiticità, di una funzione complessa è più forte della derivata nel campo reale, in quanto una funzione olomorfa è differenziabile ed è di classe C^∞.

Un’altra caratteristica delle funzioni olomorfe è:

Se f(z) è olomorfa in A ⇒ f(z) è armonica in A, una funzione è armonica quando: ∀z ∈ A, f_xx(z) + f_yy(z) = 0. Tale proprietà è chiamata operatore di Laplace.

Quindi se una funzione è olomorfa in A è anche indefinitamente derivabile in A.

Le funzioni complesse a valori reali sono olomorfe solo se sono funzioni costanti.

Integrale curvilineo di funzioni olomorfe

Definiamo a questo punto l’integrale di una funzione f(z) lungo una curva γ, sappiamo che ogni spostamento