Moto di rotolamento

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di marziomelis26
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Esplora il moto di rotolamento in fisica, analizzando il momento angolare e le sue formule. Scopri la relazione tra grandezza vettoriale, modulo e momento torcente, fondamentali per comprendere e risolvere esercizi pratici in questo ambito.

Concetti Chiave

  • Il momento angolare è una grandezza vettoriale calcolata come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la quantità di moto, rappresentato dalla formula L = r × p.
  • Il modulo del momento angolare raggiunge il massimo quando i vettori posizione e quantità di moto sono perpendicolari, con un valore nullo quando sono paralleli o antiparalleli.
  • Il momento torcente, indicato con M, è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza applicata, e il suo modulo può essere calcolato con M = r × F.
  • La distanza tra l'origine e la retta di azione dei vettori forza o momento angolare è chiamata braccio, calcolata come b = r × sin(θ).
  • La seconda legge di Newton, espressa in termini di momento angolare, stabilisce che la variazione del momento angolare nel tempo è pari al momento torcente risultante.

Il momento angolare

Si può dire che un corpo, di massa
[math]m[/math]
ha un momento angolare quando esso si muove con una certa velocità lungo una retta che non passa per il punto di riferimento, dunque, quando il punto di riferimento è esterno alla retta.
Il momento angolare è una grandezza vettoriale e si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e
[math]\vec{p}[/math]
, (dove
[math]\vec{r}[/math]
è il vettore posizione e
[math]\vec{p}[/math]
è la quantità di moto).
In formule:

[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]

NB:
–

[math]\vec{L}[/math]
è perpendicolare al piano formato da
[math]\vec{r},\vec{p}[/math]
.
– il momento angolare si misura in
[math]kg\ m^2/s[/math]
.
– il punto di applicazione di
[math]\vec{L}[/math]
è quello nel quale è definito il momento angolare, dunque l'origine di
[math]\vec{r}[/math]
.

Per quanto riguarda il modulo di

[math]\vec{L}[/math]
, esso si calcola con la seguente formula:

[math]L =|\vec{L}|= |\vec{r}|\cdot|\vec{p}|\cdot\sin\theta[/math]

essendo

[math]\theta[/math]
l'angolo tra i due vettori. Il modulo di
[math]\vec{L}[/math]
ha valore massimo quando
[math]\vec{p}[/math]
è perpendicolare ad
[math]\vec{r}[/math]
, dunque quando
[math]\theta =90^\circ[/math]
, come nel moto circolare. In tal caso, abbiamo:

[math]L = rp = rmv[/math]

Il momento angolare è invece nullo quando l'angolo è pari a

[math]0^\circ[/math]
o a
[math]180^\circ[/math]
, vale a dire quando i due vettori sono paralleli o antiparalleli.

Il momento torcente

Esso viene indicato con la lettera

[math]M[/math]
, e può essere chiamato anche “momento di una forza”. Si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e la forza agente sul corpo,
[math]\vec{F}[/math]
:

[math]\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}[/math]

Per calcolare il modulo, utilizziamo invece la formula:

[math]M =|\vec{M}|=|\vec{r}|\cdot|\vec{F}|\cdot\sin\theta[/math]

NB:
–

[math]θ[/math]
è l'angolo formato da
[math]\vec{r}[/math]
ed
[math]\vec{F}[/math]
–
[math]\vec{F}[/math]
è la forza applicata nel punto individuato da
[math]\vec{r}[/math]

La distanza tra l'origine

[math]O[/math]
, detto polo di rotazione e la retta di azione dei vettori Forza o momento angolare viene detto braccio, e si definisce al modo seguente:

[math]b = r\cdot\sin\theta[/math]

Da quest'ultima relazione, possiamo ricavare la seguente formula per il momento angolare

[math]L = bp[/math]

Analogamente, possiamo modificare la formula per il momento torcente:

[math]M = bF[/math]

La seconda legge di Newton, in termini di momento angolare

Dalla relazione

[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]
segue che
[math]\Delta\vec{L}[/math]
sarà definito come una variazione di
[math]r[/math]
oppure di
[math]p[/math]
. Si dimostra che:

[math]\Delta\vec{L} = \Delta\vec{r}\times\vec{p} + \vec{r}\times\Delta\vec{p}[/math]

Dividendo tutto per

[math]\Delta t[/math]
, per conoscere la variazione nel tempo:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}[/math]

D'altra parte

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\vec{v},
\qquad \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}=\sum\vec{F}[/math]

per cui possiamo scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \vec{v}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\sum\vec{F}[/math]

Osserviamo adesso che

[math]\vec{v}\times\vec{p}=\vec{v}\times m\vec{v}=\vec{0}[/math]

In aggiunta

[math]\vec{r}\times\sum\vec{F}=\sum\vec{M}[/math]
è il momento torcente risultante.
Infine possiamo dunque scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t}=\sum\vec{M}[/math]

In parole, questa formula mette in relazione momento angolare e torcente, affermando che la variazione del momento angolare rispetto ad un certo punto fisso è pari al momento torcente risultante, misurato in quel punto.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Cos'è il momento angolare e come si calcola?

    2. Il momento angolare è una grandezza vettoriale definita come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione \(\vec{r}\) e la quantità di moto \(\vec{p}\), espresso dalla formula \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\). Il suo modulo si calcola con \(L = |\vec{r}| \cdot |\vec{p}| \cdot \sin\theta\), dove \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori.

  2. Quando il momento angolare è nullo?

    3. Il momento angolare è nullo quando l'angolo \(\theta\) è pari a \(0^\circ\) o \(180^\circ\), cioè quando i vettori \(\vec{r}\) e \(\vec{p}\) sono paralleli o antiparalleli.

  3. Come si definisce il momento torcente e qual è la sua formula?

    4. Il momento torcente, indicato con \(\vec{M}\), è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione \(\vec{r}\) e la forza \(\vec{F}\) applicata, espresso dalla formula \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\). Il suo modulo si calcola con \(M = |\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin\theta\).

  4. Qual è la relazione tra momento angolare e momento torcente secondo la seconda legge di Newton?

    5. La variazione del momento angolare nel tempo è pari al momento torcente risultante, espressa dalla formula \(\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \sum\vec{M}\). Questo stabilisce un legame diretto tra il momento angolare e il momento torcente misurato in un punto fisso.

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