Moti parabolici

Cinematica del punto: caduta gravi

1. Moto del proiettile

1. Un proiettile viene sparato da un cannone a un angolo di 35° rispetto al piano orizzontale.

Esso colpisce il suolo a 4 km dal cannone.

Calcolare:

• (a) La velocità iniziale del proiettile;
• (b) Il tempo di volo;
• (c) La massima altezza raggiunta dal proiettile durante il suo volo;
• (d) La velocità del proiettile nel punto di massima quota.

2. Moto della bomba

2. Un bombardiere vola a 430 km/h alla quota costante di 1200 m verso un punto posto sulla verticale di una nave ormeggiata in mare aperto.

Sotto quale angolo visuale, rispetto alla direzione orizzontale, il pilota dovrebbe lanciare una bomba per essere certo di colpire la nave?

3. Salto dell’acrobata

3. Un acrobata cinematografico deve attraversare di corsa un terrazzo di un edificio e lanciarsi orizzontalmente nel vuoto per atterrare sul tetto di un edificio vicino, che si trova a una distanza di 5.2 m dal primo.

Il dislivello fra le sommità dei due edifici è pari a 4.8 m.

Quale dovrebbe essere la velocità orizzontale minima dell’acrobata per evitare di sfracellarsi al suolo?

4. Servizio del tennista

4. Durante il servizio, un tennista lancia la palla, assimilabile a un punto materiale, orizzontalmente, sì da imprimere ad essa una velocità iniziale parallela al suolo.

Calcolare:

• (a) La minima velocità iniziale che deve essere impressa alla palla perché essa possa superare la rete alta h = 0.9 m e posta a distanza D = 15 m dal tennista, se la palla viene lanciata da un’altezza H = 2.5 m;
• (b) La distanza d dalla rete in corrispondenza della quale la palla toccherà il suolo, nell’ipotesi che la palla sfiori la rete;
• (c) Determinare il tempo di volo della palla, nell’ipotesi di cui al punto precedente.

5. Salto con gli sci

5. In un salto con gli sci dal trampolino uno sciatore stacca nel punto O con una velocità v = 16 m/s in direzione orizzontale.

Assumendo che il pendio di arrivo sia inclinato di 45° rispetto al piano orizzontale, si calcoli:

• (a) La lunghezza OA del salto, misurata lungo il pendio;
• (b) Il tempo di volo;
• (c) La velocità di impatto con cui lo sciatore cade sul pendio;
• (d) La direzione del moto quando cade sul pendio.

6. Tiro del cannone

6. Una nave pirata è ormeggiata a 500 metri dalla base di un forte che difende l’entrata del porto di un’isola.

Il cannone che la protegge, piazzato a livello del mare, ha una velocità di bocca di 82 m/s.

Calcolare:

• (a) A quale alzo, angolo di elevazione, si deve puntare il cannone per colpire la nave pirata;
• (b) Il tempo di volo per l’alzo maggiore;
• (c) A quale distanza L dal porto deve portarsi la nave per essere fuori dalla portata di tiro del cannone.

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Alcuni consigli utili

L’oggetto della cinematica del punto è la descrizione del moto, cioè consiste nel determinare come varia la posizione del punto in funzione del tempo.

Posizione, raggio vettore, velocità e accelerazione sono quindi le grandezze cinematiche fondamentali che descrivono il moto e sono legate tra loro da operazioni di derivazione e integrazione.

Sono però grandezze vettoriali in quanto generalmente il moto avviene nello spazio, e quindi la propria descrizione deve avvenire tramite 3 equazioni scalari dette leggi orarie x(t), y(t), z(t).

Di fondamentale importanza è la scelta del sistema di riferimento in base alla quale si descrive il moto di un oggetto attraverso appunto le leggi orarie (x(t), y(t), z(t)) proiettate sul sistema di riferimento stesso.

Un po’ di formule

La velocità è:

v̄ = d r̄ / dt

Integrando:

r̄(t) − r̄(t₀) = ∫_t0^t v̄(t) dt

v̄ dt = d r̄

∫₀^t v̄ dt = ∫₀^t d r̄

Che se t₀ = 0, riscritta ci dà la formula del moto rettilineo uniforme:

r̄(t) = r̄(0) + v̄ · t

L’accelerazione è:

ā = d v̄ / dt = d² r̄ / dt²

Integrando:

v̄(t) − v̄(t₀) = ∫_t0^t ā(t) dt

ā dt = d v̄

∫₀^t ā dt = ∫₀^t d v̄

Anche in questo caso, se t₀ = 0, riscritta ci dà la formula della velocità nel moto rettilineo uniformemente accelerato:

v̄(t) = v̄(0) + ā · t

Sapendo che ā = d² r̄ / dt², allora possiamo dire che r̄(t) = r̄(0) + ∫₀^t [v̄(0) + ā · t] dt, che risolta ci dà la nota formula del moto rettilineo uniformemente accelerato:

r̄(t) = r̄(0) + v̄(0) · t + ½ ā · t²