Misure della distanza tra punti e propagazione dell'errore

Misure della distanza tra punti e propagazione dell’errore

Ing. Pier Paolo Conti, Asti 04 gennaio 2014

Introduzione

Con la presente esposizione mi propongo di mostrare che la propagazione dell’incertezza di un’operazione di misura, per esempio la distanza tra due punti, dipende oltre che dalle ovvie incertezze dei fattori originali anche dalla forma dello spazio in cui viene svolta la misura stessa.

Questo in linea di principio permetterebbe di identificare lo spazio in cui vengono svolti esperimenti di misura analizzando i risultati in termini di propagazione degli errori.

Verrà mostrato che solo le misure di distanza svolte in spazi euclidei hanno la proprietà di essere isovariabili nel senso che l’operazione di misura determina un valore della distanza che ha un’incertezza uguale a quella delle incertezze iniziali dei punti nello spazio, cosa che non vale per una geometria Riemanniana ad esempio.

Introducendo il concetto di incertezza della misura e inglobando questa informazione nell’espressione della misura stessa, verrà mostrato che molte proprietà geometriche e algebriche non sono più valide. 1/10

Propagazione degli errori di misura

Il principio alla base di questa esposizione è quello dello studio della propagazione degli errori.[1]

Per esempio è applicato in ingegneria per inferire l’incertezza estesa di una certa quantità fisica a partire dalle incertezze delle quantità delle variabili fisiche indipendenti.

Per esempio nella relazione dei gas perfetti:

Questi studi permettono di determinare quale sarà l’incertezza della variabile pressione (P) a partire dalle incertezze delle variabili fisiche indipendenti come in questo caso il numero di moli (n), l’elasticità del gas (R), la temperatura (T) e il volume (V).

Il principio della propagazione degli errori si basa sui seguenti concetti.

Consideriamo una funzione a due o più variabili: dove le variabili non sono correlate e ad ognuna di esse è associata una propria incertezza.

Si può calcolare l’incertezza estesa della funzione partendo dalle incertezze di ciascuna variabile calcolando le derivate parziali di rispetto ad esse:

(1)

La relazione (1) vale nella maggior parte dei casi in cui la funzione coinvolta sia abbastanza regolare ed è sufficiente a descrivere gli effetti delle piccole variazioni di fattori d’influenza e degli errori accidentali.

In alcuni casi, però, ci si può trovare in presenza di forti interazioni tra fattori, che possono richiedere la presenza dei termini di ordine superiore dello sviluppo in serie di Taylor e anche misti.[2]-[3]