Microeconomia: Utilità

Capitolo 4: utilità

I filosofi in età vittoriana consideravano l'utilità come indicatore di benessere complessivo di un individuo. In età moderna invece siamo passati a considerare l'utilità come un mezzo per descrivere le preferenze dei consumatori, perché quello che conta è stabilire se un paniere può dare utilità maggiore, non importa stabilire di quanto.

Funzione di utilità

Assegna un numero ad ogni paniere di consumo. I panieri più preferiti ottengono quindi un valore più elevato.

x > y ⇔ x e y ∉ x m(u(x)) u(y) ha significato ordinale quindi le preferenze sono transitività ma poniamo ovvero una funzione di utilità.

A>B>C>A ⇔ u(A) > u(B) > u(C) > u(A) è impossibile.

Data una funzione di utilità ordinale possiamo ricavarne infinite altre per mezzo di trasformazioni monotone.

Trasformazione monotona

È una funzione che trasforma ciascun numero U in un altro numero in modo da mantenerne l'ordine. (Moltiplicazione per n° positivo, somma, elevazione a potenza dispari.)

u₁ > u₂ allora f(u₁) > f(u₂).

Costruzione di una funzione di utilità

Se le preferenze sono complete, riflessive e transitive possiamo sempre trovare una f(u) che rappresenti le preferenze. Basta tracciare la diagonale e misurando la distanza dall'origine si attribuisce un n° crescente alle curve, più alte sono, più valori elevati avranno.

Capitolo 4 - utilità

I filosofi in età vittoriana consideravano l'utilità come indicatore di benessere complessivo di un individuo. In età moderna invece siamo passati a considerare l'utilità come un mezzo per descrivere le preferenze dei consumatori perché quello che conta è stabilire se un paniere può dare utilità maggiore, non importa stabilire di quanto.

Funzione di utilità

Associa un numero ad ogni paniere di consumo, i panieri preferiti ottengono quindi un valore più elevato. x > y se e solo se u(x) > u(y) ha significato ordinale quindi le preferenze sono transitive ma non può avere una funzione di utilità a > b > c > a → u(A) > u(B) > u(C) > u(A) è impossibile.

Data una funzione di utilità ordinale possiamo ricavarne infinite altre per mezzo di trasformazioni monotone.

Trasformazione monotona

È una funzione che trasforma ciascun numero u in un'altra funzione in modo da preservarne l’ordine (moltiplicazione per n° positivo, somma, elevazione a potenza dispari...) u₁ > u₂ allora f(u₁) > f(u₂).

Costruzione di una funzione di utilità

Se le preferenze sono complete, riflessive e transitive possiamo sempre trovare una f(u) che rappresenti le preferenze, basta tracciare la diagonale e misurando la distanza dall'origine si attribuisce un n° crescente alle curve, più alte sono, più valori elevati avranno.

Alcuni esempi di funzioni di utilità

Consideriamo una funzione di utilità

μ(x₁, x₂) = x₁ x₂. Come saranno le curve?

Sappiamo che la curva è l'insieme dei punti x₁ e x₂ tali che K = x₁ x₂, risolvendo per x₂ si ottiene x₂ = K/x₁.

E se υ(x₁, x₂) = x₁² x₂²? È una trasformazione monotona di μ(x₁, x₂), è il suo quadrato quindi le curve hanno la stessa forma.

Perfetti sostituti

μ(x₁, x₂) = qx₁ + bx₂ dove q e b sono numeri positivi che rappresentano il valore che il consumatore attribuisce ai beni 1 e 2, la sua inclinazione è quindi -q/b dato che x₂ = -^q/_b x₁.

Perfetti complementi

μ(x₁, x₂) = min {x₁, x₂} ad esempio ci indica il n° minimo tra scarpe dx e sx che possiede il consumatore, il n° minimo perché ogni unità in più è per lui superflua.

La forma generale è quindi μ(x₁, x₂) = min {ax₁, bx₂} con a e b numeri positivi che rappresentano la proporzione in cui i beni vengono consumati.

Quasi-lineari

Sono curve che corrispondono ciascuna alla traslazione dell'altra, in verticale.

x₂ = K - φ(x₁) → μ(x₁, x₂) = K : φ(x₁) + x₂. Qui φ è lineare per il bene 2 ma non per il bene 1, per questo è detta quasi-lineare.

Cobb-Douglas

u(x₁, x₂) = x₁^c x₂^d con c e d numeri positivi.

Godono di convessità e monotonicità, sono regolari per eccellenza.

Possiamo riscrivere le Cobb-Douglas come trasformazioni.

Logaritmica: v(x₁, x₂) = c ln x₁ + d ln x₂. Potenza 1/c+d = v(x₁, x₂) = x₁^1/c+d x₂^d/c+d ma se α = c/(c+d) u(x₁, x₂) = x₁^α x₂^1-α.

Utilità marginale

Se il consumatore ha un paniere (x₁, x₂) come varia l'utilità di questo consumatore se aumentiamo di poco la quantità di x₁?

Utilità marginale

È il saggio che misura la variazione dell'utilità totale che unisce una piccola quantità di uno dei beni.

MU₁ = ΔU = [u(x₁ + Δx₁, x₂) - u(x₁, x₂)] / Δx₁ ➜ MU₁ = ΔU/Δx₁ ➜ ΔU = MU₁ Δx₁.

MU₂ = ΔU/Δx₂ ➜ ΔU = MU₂ Δx₂.

Utilità marginale e MRS

Il saggio marginale di sostituzione misura l'inclinazione della curva di indifferenza e può essere interpretato anche come il saggio al quale si è disposti a sostituire x₂ con x₁.

L'utilità marginale permette di calcolarlo immediatamente, se si prende una variazione nel consumo di ciascun bene (Δx₁, Δx₂) che mantengano l'utilità costante e consenta quindi di spostarci lungo la curva di indifferenza, dobbiamo avere quindi:

MU₁Δx₁ + MU₂Δx₂ = ΔU.

Ma ΔU deve essere 0 per rimanere sulla stessa curva.

Avremo perciò che il rapporto tra le utilità marginali è uguale alla variazione dei due beni rapportata tra loro.

MRS = ^Δx₂/_Δx1 = -^MU₁/_MU2 ⇒ ha segno negativo perché per avere una quantità maggiore di x₁ dovremo avere una quantità minore di x₂ per avere utilità uguale.

Calcolo MRS con derivate

In economia, in genere marginale equivale a derivata.

Infatti l'utilità marginale del bene 1 è:

MU₁ = lim_Δx1→0 ^{u(x₁+Δx₁, x₂) - u(x₁, x₂)}/_Δx1 = ^{∂u(x₁, x₂)}/_∂x1.

È una derivata parziale rispetto x₁ perché x₂ rimane costante.

Calcolando quindi MRS con il differenziale avremo:

dU = ^{∂u(x₁, x₂)}/_∂x1 dx₁ + ^{∂u(x₁, x₂)}/_∂x2 dx₂.

Minuto incremento dell’utilità derivante da una piccola variazione dx₁; minuto incremento dell’utilità derivante da una piccola variazione dx₂. Queste variazioni devono essere tali che dU si annulli.

dU = ^∂u/_∂x1 dx₁ + ^∂u/_∂x2 dx₂ → lungo la curva dU=0 quindi ^∂u/_∂x1 dx₁ + ^∂u/_∂x2 dx₂ = 0 → dU dx₂ = -dU dx₁ → ^dx₂/_dx1 = -^∂u/_∂x1 ^∂u/_∂x2 = -^MU₁/_MU2.