Metodi statistici per il management

Richiami di inferenza statistica

Probabilità

Partendo da una prova è possibile avere due tipi di eventi: ; ; … ; ) : uno dei possibili risultati della prova. L’insieme degli eventi elementari evento elementare ( relativi ad una prova viene definito o fondamentale Ω = { }, spazio campionario esempio: lancio della moneta, gli eventi elementari sono due: esce testa o esce croce.

Evento non elementare: evento che può essere a sua volta scomposto in più eventi elementari. ; ; … ; ℑ È possibile introdurre una = { }, composta da eventi E, tutti sottoinsiemi collezione di eventi ℑ CΩ). di Ω (avremo che

Dato che attraverso gli eventi elementari si può costruire un’algebra di Boole (unione, negazione, intersezione), allora la collezione di eventi conterrà tutti gli elementi derivanti dall’unione, intersezione e negazione. Si tratta di un insieme chiuso, il risultato si trova sempre al suo interno.

(A∪B): dati due eventi A e B, la loro unione è data dall’evento “almeno uno degli eventi A e B si verifica”. Unione

(A∩B): dati due eventi A e B, la loro intersezione è data dall’evento “tutti e due gli eventi A e B si verificano contemporaneamente”. Intersezione

(̅ ): dato un evento A, la sua negazione (complemento di A), è data dall’evento “A non si verifica”. Negazione ℑ

Ad una generica prova è associato uno spazio campionario Ω e a esso una collezione di eventi la cui struttura matematica è quella di un’algebra di Boole. Si dice che la probabilità (P) è una funzione d’insieme ℑ che associa ad ogni evento E appartenente a un numero reale. La probabilità è quindi un numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento se:

• La probabilità di un generico evento è maggiore o uguale a 0 [P(E) ≥ 0]. La frequenza relativa di un evento non è mai negativa per definizione.
• P(Ω) = 1, se l’evento si presenta in tutte le prove, la rispettiva frequenza relativa è 1.
• Se gli eventi e non si sono mai presentati contemporaneamente nelle prove, allora la n frequenza è uguale alla somma delle frequenza di e di .

∩ = ∅ => ∪ = + 1 ∩ = ∅ .

Esempio: lancio di un dado, abbiamo due eventi: esce pari ( ), esce dispari ( ). La loro intersezione è un insieme vuoto, si dice quindi che e sono incompatibili se vale

Proprietà

1) Probabilità dell’unione (non richiede che gli eventi siano incompatibili): in una prova, dati due eventi E e F si ha che la probabilità della loro unione è pari alla somma delle loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione: ∪ = + – ∩

2) Probabilità della negazione: la probabilità che non si verifichi l’evento E è pari ad 1 meno la probabilità che si verifichi: = 1 −

Esempio: l’evento E è “uscirà un numero pari”, mentre l’evento è “uscirà un numero dispari”. Se P(E) è pari a 0,6, allora P( ) sarà pari a 1 – 0,6 = 0,4.

3) Probabilità condizionata: utile per valutare la probabilità di un evento sapendo che si è già verificato un altro evento ad esso collegato. Dati due eventi E e F, quest’ultimo si è già verificato, quindi la probabilità di E condizionata a F sarà pari al rapporto tra l’intersezione dei due eventi e la probabilità dell’evento verificato [detto evento condizionante, P(F)]. ∩ | = !" > 0

Esempio: si ha che E = 2 e F = numero pari. Qual è la probabilità che esce 2, sapendo che è uscito un numero pari??| Visto che E = {2} e che F = {2, 4, 6}, l’intersezione (E∩F) sarà 2. La probabilità che esca 2 [quindi P(E)] è pari a 1/6, & % % & mentre la P(F) è pari a 3/6. Si ha quindi che = / = Dato che si conosce l’evento F, questo altera P(E), che passa da 1/6 ad 1/3 (salvo il caso di eventi indipendenti).

4) Probabilità composte: dati due eventi E e F tali che P(E) > 0 e P(F) > 0, si ha che: | ∩ = ∗ | = ∗

5) Eventi indipendenti: dati due eventi E e F, si dicono indipendenti quando la probabilità della loro intersezione è pari al prodotto delle loro probabilità. ∩ = ∗

Nel caso di probabilità condizionata, se i due eventi sono indipendenti allora sostituendo si ottiene: ∗ | = = Quindi, se i due eventi sono indipendenti, la conoscenza di F non altera il risultato (nell’esempio precedente, rimane sempre 1/6).

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Esempio: studio delle probabilità di incasso delle fatture. Codici di pagamento: PP = se puntuale; RP = se ritardatario; MP = se mancato. Avremo che: Ω = {PP, RP, MP} ℑ,

Con riferimento alla collezione di eventi quando Ω è finito è utile considerare: ∅} ℑ = {(PP), (RP), (MP), (PP, RP), (PP, MP), (RP, MP), Ω, ∅

Si tratta si un sistema chiuso rispetto all’algebra di Boole, dove rappresenta l’evento impossibile, cioè la negazione di Ω. La funzione di probabilità P può essere scelta assegnando una probabilità ai tre eventi elementari che rispetti l’assioma P(Ω) = 1, e le probabilità agli altri eventi in modo coerente con l’assioma di additività di P.

Si ipotizza che:

• P(PP) = 0,6
• P(RP) = 0,3
• P(MP) = 0,1

Si avrà che: (eventi incompatibili)

• P(PP∪RP) = 0,6 + 0,3 = 0,9
• P(PP∪MP) = 0,6 + 0,1 = 0,7
• P(RP∪MP) = 0,3 + 0,1 = 0,4
• (Include tutti gli eventi) P(Ω) = 1
• P(∅ = 0

Variabili casuali

Una variabile casuale X è una funzione definito sullo spazio campionario Ω che associa ad ogni risultato elementare un unico numero reale.

Applicazione X: Ω → R(( ∈ *, , ∈ - . ℑ, Se per ogni allora X è una variabile casuale. La misura di probabilità indotta dalla variabile X è definita in modo naturale dalla misura di partenza P mediante: ( (2, = / ∈ 0: , ∈ (2 = /, 345 !6"7 ( ∈ *.-.

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Esempio: si consideri il lancio di due dadi, si può definire la variabile casuale X come la somma dei punteggi ottenuti per ciascun dado. L’insieme dei valori che la variabile casuale può assumere è quello dei numeri interi compresi tra 2 e 12.

X 1,1 2 1,2 3 2,1& 3….. ….. 6,6 121,2 2,1].

Ad ogni evento elementare viene quindi associato un numero reale, ma non è vero l’inverso, infatti al 3 sono & associati due eventi elementari [ e

Distribuzione di probabilità

X P(X)2 1/363 2/36 :

Una variabile casuale X si dice discreta se assume un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali. , = : , : La funzione di probabilità di una variabile casuale discreta X associa a ognuno dei possibili valori di la probabilità cioè la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore .= : ],

In alcune situazione si potrebbe essere interessati non alla probabilità che la variabile casuale X assuma uno : ≤ : ] specifico valore [, ma alla probabilità che essa assuma un valore minore o uguale ad un dato −∞, , ]. : valore . Si parla quindi di probabilità cumulate [, che si riferiscono alla probabilità degli intervalli , ≤ :

Data, quindi, una variabile casuale discreta X, la funzione che fa corrispondere ai valori le probabilità cumulate viene detta funzione di ripartizione: >0, −∞,: * → 1], : = , ≤ : = /, :]2-

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Proprietà della funzione di ripartizione

: < : → : ≤ : ossia

1) F(x) è monotona non decrescente, cioè:

2) F(x) è continua a destra, lim : = : FDE. → .

3) lim : = 0 F(x). → -G : = 1lim 1. → HG x

Per una variabile casuale X, la probabilità dell’intervallo [a,b] è data da: />?, @]2 = @ − ?.

Tale proprietà è alla base della rilevanza operativa della funzione di ripartizione. Infatti: ? ≤ : ≤ @ = : ≤ @ − : ≤ ? → @ − ?

Per trovare l’area si fa: F(b) – F(a)

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Una variabile casuale X è detta continua se può assumere tutti i valori in un intervallo reale. Le probabilità sono assegnate ad intervalli e non a singoli punti mediante la funzione di densità di probabilità, tramite la quale si è in grado di calcolare la probabilità di qualsiasi intervallo.

La funzione di densità della variabile casuale continua X è la funzione f(x) per cui l’area sottesa alla funzione, corrispondente a un certo intervallo (c,d), è pari alla probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo.

Valore atteso e varianza di variabili casuali

Spesso si è interessati a conoscere il valore medio che una variabile casuale può assumere in un gran numero di prove. Un modo per sintetizzare i valori (a cui sono collegate delle probabilità di realizzarsi) espressi dalla variabile casuale è quello di andare a considerare il valore atteso [E(X)].

∑= : , = : Se la variabile casuale è discreta: , = : L:M:K HG-G

Se la variabile casuale è continua:

Le variabili vengono descritte da una funzione di probabilità se si tratta di variabili casuali discrete, o descritte da una funzione di densità, se si tratta di variabili casuali continue. Le funzioni descrivono il comportamento aleatorio della variabile casuale. Nella variabile casuale discreta si utilizza la sommatoria perché appunto si sommano i valori della X che sono in numero finito. Nella variabile casuale continua si usa l’integrale perché si hanno un continuo di valori. Successivamente si moltiplica ognuno dei valori per la sua probabilità di essere osservati, rappresentata dalla distribuzione di probabilità, in caso di variabile casuale discreta, oppure dalla sua funzione di densità , nel caso in cui la variabile casuale X sia continua.

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Esempio: PQ = N N PQ = N N O O OO , = R : , = : = 4,0-2 0,4 -0,8 +6 0,4 +2,4+12 0,2 +2,4Totale 4,0

Per verificare se il gioco è favorevole si calcola il valore atteso che, in questo caso, è pari a 4. Ciò significa che se si potesse giocare più volte, alla fine ci si attende una quantità positiva di 4.

Il valore atteso è un valore indicativo dei possibili valori della variabile casuale, in realtà bisognerebbe ! U,], accompagnarlo con il fenomeno della variabilità, cioè quanto variano i valori che si possono presentare V. intorno al valore medio. Una misura della variabilità della variabile casuale è la sua [T varianza cioè il valore atteso del quadrato dello scostamento della variabile casuale dalla sua media. La varianza dice in media quant’è la distanza tra il valore della x e il valore medio, dove questa distanza è presa come differenza tra i due valori al quadrato. T = , − V

La varianza esprime una misura di variabilità, però non ha la stessa unità di misura della variabile casuale (a causa dell’elevamento al quadrato). Per tale motivo, per rendere la varianza coerente all’unità di misura della variabile casuale, si utilizza la (T), cioè la radice quadrata della varianza. Deviazione standard

∑:T = − V , = : Se la variabile casuale è discreta: T = : − V L:M:K HG -G

Se la variabile casuale è continua:

Dall’esempio precedente avremo [V o E(X) è pari a 4]: PQ = N N N − W PQ = N X T = R: − V , = : = 28,8OO O O − 4 0,4]-2 0,4 14,4[−2 σ = 5,367+6 0,4 1,6+12 0,2 12,8Totale 28,8

La deviazione standard è pari a 5,367, ciò vuol dire che i risultati si discostano di poco più di 5 dalla media.

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Il valore atteso diventa molto rappresentativo di quello che avverrà se la varianza è bassa, perché significa che tutti i risultati sono vicini al valore medio. Se la varianza è molto alta, vuol dire che il valore medio è un valore di compromesso (esempio: i titoli rischiosi caratterizzati da ampie oscillazioni rispetto alla media).

Variabili casuali notevoli

La variabile casuale cerca di descrivere il fenomeno reale. Si cerca di capire com’è la realtà e la si assimila ad un modello probabilistico, cioè ad una variabile casuale.

Variabili discrete

Tra le variabili discrete si hanno:

• Variabile casuale bernoulliana, cioè una variabile casuale X che assume valore 1 o 0. Ad esempio se nella popolazione si ha l’80% di occupati e il 20% di disoccupati, allora lo schema ^ ^. che descrive la popolazione è una bernoulliana. Avremo che la variabile assumerà 1 con probabilità se occupato, e 0 se disoccupato con probabilità 1 – Quindi: ^ = 0,81 “occupato” dove 1 − ^ = 0,2X 0 “disoccupato” dove
• Altri fenomeni che si possono studiare attraverso una variabile casuale bernoulliana sono: testa o croce, maschio o femmina……
• Variabile casuale binomiale: nasce come somma di tante variabili bernoulliane ed indica il numero di successi in prove. n ha la seguente forma:
• Variabile casuale Poisson assume valori discreti interi da 0 a +∞. I primi valori hanno alta probabilità di verificarsi, mentre è bassa per i valori superiori. Questa distribuzione si utilizza solitamente per descrivere il numero di eventi che cadono in un certo periodo di tempo (esempio: quante telefonate si ricevono in un minuto, 1,2,3 probabile, ma per valori superiori si tratta di eventi rari). 0 1 2 3 4 5
• Variabile casuale binomiale negativa: a differenza della binomiale dove si hanno prove, con la binomiale negativa ci si chiede quante prove si deve attendere prima di osservare un successo. In questa distribuzione, (numero di prove) non è fisso ma è la variabile casuale n (esempio: quanti minuti si dovranno attendere prima di ricevere una chiamata).

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Variabili continue

Tra le variabili continue si hanno:

• Variabile casuale gaussiana, si ritrova in molti fenomeni reali perché, come afferma il teorema del limite centrale, tutti i fenomeni che sono ricavati dalla somma di tanti piccoli fenomeni, l’uno indipendente dall’altro, fanno scattare l’evento (esempio: fare un incidente in macchina. Esso è causato da tanti piccoli motivi indipendenti l’uno dall’altro). Tutti i fenomeni che in realtà rappresentano la somma di tanti altri piccoli fenomeni indipendenti si distribuiscono come una variabile casuale di tipo gaussiana.
• Variabile casuale lognormale, quando per la variabile X, il logaritmo di X si distribuisce in modo normale: Quindi non è la X che si distribuisce normalmente, ma è il logX, il quale ha l’effetto contrario della potenza, cioè tende a restringere il valore. Se il logX si distribuisce come una normale, la X si distribuisce come una lognormale (utilizzata in finanza per i livelli di prezzo):
• Variabile casuale uniforme, quando si ha massima incertezza. Tutti i valori della variabile casuale hanno stessa densità di probabilità. La massima incertezza si ha quando non c’è motivo di pensare che tra i diversi valori che assume la variabile casuale, ce ne sia qualcuno più probabile di altri (esempio: tutti i valori tra A e B hanno stessa densità di probabilità).
• Variabile casuale gamma, per fenomeni a valor positivi.
• Variabile casuale beta, per fenomeni con supporto un intervallo (esempio: un tasso percentuale aleatorio).
• Variabile casuale esponenziale, per descrivere il tempo tra due eventi (nascite, decessi, arrivi)

Statistica descrittiva e inferenza

La statistica è lo strumento conoscitivo atto ad analizzare in termini quantitativi un fenomeno collettivo.

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La grossa distinzione viene fatta tra:

• Statistica descrittiva: solamente metodi che servono a descrivere e sintetizzare l’informazione osservata (distribuzione di una o più variabili statistiche) su un collettivo di dati. L’obiettivo è andare a rilevare fenomeni su un collettivo (popolazione) e poi andare a sintetizzare quello che si è osservato.
• Statistica inferenziale: non si può o non si vuole osservare l’intero collettivo di unità statistiche. Ha gli stessi obiettivi della statistica descrittiva ma tenta di perseguirli rilevando solo una parte (campione) della popolazione. Il campione è un sottocollettivo della popolazione che viene estratto secondo le regole del caso e questo implica l’uso dello strumento matematico del calcolo delle probabilità.

Le metodologie dell’inferenza

Partendo da una popolazione con tante unità statistiche sulle quali si va ad osservare un certo fenomeno, molto spesso si è interessati a quantificare il valore di un parametro (valore numerico fissato) della, , , … , , , popolazione, cioè una statistica del fenomeno (media, mediana, varianza, moda…). Dalla popolazione si