Meccanica razionale - lo spazio duale di uno spazio vettoriale

Spazio duale di uno spazio vettoriale

Sia E uno spazio vettoriale l'applicazione ƒ : E → R. Si dice "forma lineare" sullo spazio E se accade: ƒ(ax + by) = a ƒ(x) + b ƒ(y).

Definizione

L'insieme delle forme lineari su E è uno spazio vettoriale detto spazio duale di E e si indica con E^*.

Basta dare come definizione che: se ƒ, g ∈ E^* allora:

• (ƒ + g) : E → R   ∀ x ∈ E → (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x).
• A ƒ : E → R   ∀ x ∈ E → (a ƒ)(x) = a ƒ(x).

Teorema

Lo spazio E ed il suo spazio duale E^* sono tali che dim E = dim E^*.

Data una base {e_i}ⁿ₁ di E possiamo costruire una base {e^β} di E^* che si chiama base duale a {e_i}.

Sia v = vⁱe_i.

Definiamo n forme lineari e^β(v) di E^*.

e^β(v) = e^β(vⁱe_i) = vⁱe^β(e_i).

Dove poniamo e^β(e_λ) = δ^β_λ.

Spazio duale di uno spazio vettoriale

Sia E uno spazio vettoriale l'applicazione ℓ: E → R. Si dice "forma lineare" sullo spazio E se accade ℓ(ax + by) = aℓ(x) + bℓ(y).

Definizione

L'insieme delle forme lineari su E è uno spazio vettoriale detto spazio duale di E e si indica con E^*.

Basta dare come definizione che: se ℓ, g ∈ E^* allora:

• (ℓ + g) : E → R se ∀ x ∈ E → (ℓ + g)(x) = ℓ(x) + g(x).
• Aℓ : E → R se ∀ x ∈ E → (aℓ)(x) = aℓ(x).

Teorema

Lo spazio E ed il suo spazio duale E' sono isomorfici. dim E = dim E^*.

Data una base {ℓ_i}_{i=1}ⁿ di E possiamo costruire una base {e_i} di E^* che si chiama base duale a {ℓ_i}.

Sia v = v^α e_α.

Definiamo in modo lineare e^β(v) del ∈ E^*.

e^β(v) = e^β(v^α e_α) = v^α e^β(e_α).

Dove poniamo e^β(e_α) = δ_α^β.

Data un. Proviamo che {eⁱ} non comprimono impacchettati.

Consideriamo la forma nulla c_p e^p = 0 e applicchiamo algebricas hoindice e_d e _i(c_p eⁱ e_d) = c_p d_d = c_i = 0.

Quindi {e_i} sono linearmente indipendenti e dim n° = dim E.

Proviamo che ∀ forma f ∈ E^* può essere espressa come f = f_i eⁱ con f_i = f(e_i).

Infatti se abbiamo che f(e_i) = f_i = f_i δ_i = f_i e^*i(e_s).

Da cui f = f_i eⁱ.

Cambiamenti di base nello spazio duale

{e^*i = Aⁱ_j e^*i. f_i = A_i^j f^*i.

Infatti abbiamo visto che ξ = ξ_μ e^μ.

Nel caso parti genara in cui eⁱ coincide con la forma ξ (f = e^*i).

eⁱ = f_μ e^μ dove f_μ = f(e_μ) = e^*i(e_i).

Ha e^*i(e_i) = e^*i(A^μ e_μ) = A^μ e^*i(e₁) = A^μ δ_μ1 = A^μe^{2 = A_μ1 e1}.

Veniamo a vedere che _fi = A^-1 f_{epsilon i}.

f_i = _f(_{epsilon i}) = f(A^-1 _{epsilon i}) = A^-1 f(_{epsilon i}) = A^-1 f_{epsilon i} ⇌.

Esiste in E⁺, dim E = muna ^V vaersione V⁺ V E V⁺ = A^-1 V⁺.

_fi = A^-1 fi.

Nello spazio duale E^* (dim E^* = n) una vaersiane forma f ∈ E^*.

f = f_i eⁱ.

f_i = A^-1 f_i.

eⁱ = A^-1 eⁱ ⇌.

Prodotto scalare e spazio vettoriale pseudoeuclideo

Dato uno spazio vettoriale E, dim E = n.

Definiamo una applicazione φ : E x E → ℝ. ∀ V, U ∈ E, (V, U) ⇒ U • V ∈ ℝ.

Con le propietà:

• V • V = U • V (Prop. simmetria).
• V • (δU + βZ) = δV • U + βV • Z (Prop. di linearità).
• ∀ V ∈ E, V • V = 0 ⇔ V = 0 (Prop. di nondegenarazione).

Con questa dep. di prod. scalare se E - spazio vetto pseudo eucleo.

Sia dato lo spazio vettoriale e pseudo euclideo.

u = uⁱ e_i.

v = vⁱ e_i.

u·v = uⁱ e_i · vⁱ e_i = uⁱ vⁱ (e_i·e_i).

Definiamo tensore metrico (matricc accopp metriche).

g_ii = e_i·e_i.

Da cui u·v = uⁱ vⁱ g_ij.

Esempi

{ R } base 3d ortonormale:

g_ij = (1 0 0 0 1 0 0 0 1) = δ_ij.

Nel nostro caso la metrica é euclidea.

u·u = uⁱ uⁱ δ_ij = uⁱ uⁱ ≥ 0.

Esempio 2: spazio 4-dimensionale in relatività.

g_ij = (1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1).

u·u = (u¹)² + (u²)² + (u³)² - [u⁴]².

Quindi, in generale, avremo la proprietà u·v = ...

Analogamente, se consideriamo lo spazio vettoriale duale di E pseudoeuclideo:

∀ f, h ∈ E ^* → f = f_i e^i'          h = h_j e^j'.

f • h = f_i h_i (e^i' e^j') = f_i h_i g^ij'.

g^i_j' matrice metrica duale ad g^i_j.

Teorema

Dati i due spazi E ed E^*, se E è pseudoeuclideo allora i due spazi E ed E^* sono isomorfi secondo un isomorfismo canonico da cui E = E^*.

τ : E → E^*.

Si prova che τ è un isomorfismo (è biunivoco e suriettivo) per cui fissato f ∈ E^*          ∀ v ∈ E : τ(v) = f. (espresso in un'unica forma).

Si prova in particolare che:

Sia {e_i} base di E.

Sia {e^i'} base di E^*.

I due isomorfismi canonici tra E ed E^* tale che le due basi sono connesse dalle due relazioni.

eⁱ = j^i' e^i'                      = g^i' e_i.

Quindi e^i' possono essere considerati come vettori di E.

A_jω ι μ ι V = Vⁱ ξ_i = Vⁱ ȣ_i e_i* = Pk e_u e^u* Pk / FSARM V E E*.

In questo senso avremo che ȣ_EE*.

Alcora ripilogando V VG EV = Vi ξi con { V'i = Ai-1i Vi ξi' = Ai-1j ξj }.

Va V potrà scriversi anche come:

V = Vi ei* con { Vi = Ai-1i' Vi' ei* = Ai-1i' e*i' }.

Le componenti V^'i si dicono "contravarianti".

[Perché le V^'i variano tramite la matrice inversa (iose contrariam ATO) rispetto alla trasformazione dei vettori ξ_i].

Le componenti V_i si dicono "covarianti" perché si trasforman tramite la stessi materiali di trasformazione dei vettori ξ_i].

Si passa da { ξ_j } ⇆ { e^'i }       "  "       Vⁱ ⇆ V_i ] tramite la matrice alla metrica (ola sua duale).

P_i ^j => { V^'i = g^ij V^x } V_i = g_xj V^j.

Trasformazioni tensoriali

Se ℰ̀ uno spazio vettoriale sia data l'applicazione T: E × E → R.

Si dice tensore doppio euclideo se È bilineare:

T(α v₁ + β v₂, u) = α T(v₁, u) + β T(v₂, u).

Dati quindi: T(u, v) ossiamo: u = uⁱ eᵢ   v = vˢ eₛ.

T(u, v) = T(vⁱ eᵢ, uˢ eₛ) = vⁱ uˢ T(eᵢ, eₛ).

Gli M numeri Tᵢₛ = T(eᵢ, eₛ) sono le componenti covarianti.

Qui di: fissata una base T(u, v) = uⁱ vˢ Tᵢₛ.

Componenti controvarianti

Tᶦˢ = T(eᶦ, eˢ) = T(gⁱᵘ eᵤ, gˢˡ eˡ) = gⁱᵘ gˢˡ Tᵤₗ.

Tᶦˢ = gⁱᵘ gˢˡ Tᵤₗ.

Componenti miste

Tⁱˢ = T(eⁱ, eₛ) = T(gⁱᵘ eᵤ, eˡ) = gⁱᵘ Tᵤₛ = Tⁱₛ.

La matrice della metrica è data dalle comp. covariati del tensore metrico dove leggi di trasf. al cambiamento di base infatti e così via negli altri casi; generalizzazione ai tensori "multipli" ovunque: che sia multilineare (lineare in tutti i suoi argomenti).