Meccanica Razionale

Meccanica razionale

Lo spazio della meccanica è l'insieme di uno spazio di punti e uno spazio di vettori.

Ad ogni coppia di punti è associato un unico vettore.

Prodotto scalare: a · b (modulo, modulo, cos α)

Prodotto vettoriale: a ∧ b (modulo, modulo, sen α + regola della mano destra)

Prodotto misto: a ∧ b · c (a ∧ b = b ∧ c ∧ a)

Terne ortonormali

Terna ortonormale destra
e₁ ∧ e₂ = e₃

Terna ortonormale sinistra
e₁ ∧ e₂ = -e₃

ɛ_h ɛ_k - δ_hk

v = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃, v_A = v · e_i

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

a ∧ b = \begin{vmatrix} e₁ & e₂ & e₃ \\ a₁ & a₂ & a₃ \\ b₁ & b₂ & b₃ \end{vmatrix}

Meccanica razionale

Lo spazio della meccanica è l'insieme di uno spazio di punti e uno spazio di vettori (E, V). Ad ogni coppia di punti è associato un unico vettore.

Prodotto scalare: a · b (modulo, modulo, cos)

Prodotto vettoriale: a ∧ b (modulo, modulo, sin + regola della mano destra)

Prodotto misto: a ∧ b · c (a, b, c) = a · (b ∧ c), c)

Terne ortonormali

Terna ortonormale destra

Terna ortonormale sinistra:
e₁ ∧ e₂ = e₃
e₁ ∧ e₂ = -e₃

e_i e_k - δ_ik (i ≠ k) (i/k ± k)

v = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃, v_A = v-v_c

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

a ∧ b = | e₁ e₂ e₃ | | a₁ a₂ a₃ | | b₁ b₂ b₃ |

Cinematica

OP(t) = X₀(t)i₁ + X₀(t)i₂ + X₀(t)i₃

dP(t), v(t), dP, d(OP)dt dt dt de- X₁(t)i₁ + X₁(t)i₂ + X₁(t)i₃ = OP'(t)

P(t) è il M.R.R.. X è la traiettoria.

Δl(t) è passo curvilineo, ovvero la lunghezza D.L.

Δ(t) = ∫v(t)dt ₀₀

dΔ dt = |v(t)|

Per consentire alla traiettoria di avere sensi dobbiamo permettere alla velocità di annullarsi.

{Δ_L = |v(t)|dt Δ(t) t∈Δ}}

P(t) : Equazione della traiettoria ℵx(t) : Legge oraria

v(t) = dP = dP ds = dP i = i ξ;dt dt ds ds

ξ = dPds : Versore tangente

a(t), dv = d²P = d(d²t)i + ξ . di + d . di + .. ξ;(t + ξ²n)dt dt

c . n c : Curvatura

n : Versore normale

R = 1/c

b = t ∧ n

Versore bitangente

Sistema di punti

Un moto rigido è un moto in cui la distanza dei punti non cambia.

Un punto solido è un punto esterno al sistema le cui distanze da esso non cambiano.

Possono esserci anche piani solidi ...

P(t) = Q(t) + Y₁ e₁(t) + Y₂ e₂(t) + Y₃ e₃(t) - Q(t) + QP(t)

Q(t) è arbitrario ma le U₁ devono essere ortogonali in qualsiasi istante di tempo.

Angoli di Eulero

n = e₁ × e₃  : Versore normale
  · e₃ = 0

Θ : Angolo di inclinazione

ψ : Angolo di rotazione proprio

ψ : Angolo di precessione

L'insieme delle velocità dei punti del corpo rigido si chiama atto di moto (è un campo vettoriale).

Teorema di Poisson

• Θ· = ω · e₂
• ω · e₂ = ω · e₃

Con : ψ ( Θ · e₁ + Ψ · e₂ + Θ · e₁)

Velocità angolare del moto

Formula del moto rotoradiatorio

v(P) = v(Q) + w ∧ QP

Proprietà

• I punti del corpo rigido hanno la stessa velocità sulla direzione che li congiunge.
• Le velocità di tutti i punti del corpo rigido nella direzione di w devono essere uguali.
• I punti appartenenti a rette parallele a w avranno velocità uguali.

Invariante scalare cinematico

I. v(A) • w = v(Q) • w (non dipende dal punto)

Asse del mozzo o asse di moto

I punti hanno velocità nulla con componente solo in direzione di w.

(Varia da istante a istante non è una proprietà del corpo)

Se I. v(A) • w = 0 vuol dire che tutti i punti devono essere paralleli e perpendicolari a w.

Se ciò accade il corpo starà ruotando attorno l'asse del mozzo che chiameremo asse di istantanea rotazione.

Classi di moto

Sono definite su un intervallo di tempo.

Traslatorio
w = 0

Rototraslatorio
direct(w) = cost.