Meccanica razionale

Vettori geometrici

Consideriamo lo spazio tridimensionale. Gli elementi di tale spazio sono i punti geometrici A, B, C... Togliendo elementi di tale spazio otteniamo il gruppo delle traslazioni che indicheremo con a, b, etc. che sono detti vettori.

L'azione dell'elemento u del gruppo delle traslazioni sull'elemento A dello spazio affine è A+u=B ↔ u=B-A. Considerata l'azione di un altro elemento dello spazio, ad esempio C, scriveremo C+u=D ↔ u=D-C.

Diciamo che u è la classe di equivalenza di cui i segmenti orientati B-A e D-C sono elementi rappresentativi.

Prodotto scalare

Prodotto scalare: μ·σ = μσ cosφ dove φ è l'angolo formato dalle rette orientate ad S.

Se μ·σ = 0, μ·σ=0 perciò cosφ=0.

Sia v un vettore e sia r una retta caratterizzata dal versore v_r, la grandezza v_R = v·v_r si dice proiezione scalare di v su r.

w = u×v = uv sinφ.

Rappresentazione cartesiana dei vettori

Rappresentazione cartesiana dei vettori î·ĵ=ĵ·k̂=k̂·î=0 î×ĵ=k̂ , ĵ×k̂=î , k̂×î=ĵ (Relazioni fondamentali).

La somma di due vettori è quel vettore che ha come componenti la somma delle componenti.

Il prodotto scalare è dato dalla somma dei prodotti delle componenti omologhe.

Momento risultante

Il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O, è dato dalla somma vettoriale dei momenti delle singole forze agenti sempre rispetto al polo O.

Vettori geometrici

Consideriamo lo spazio tridimensionale.

Gli elementi di tale spazio sono i punti geometrici A, B, C.

Due elementi dello spazio generano il gruppo delle traslazioni che indicheremo con a, b, etc. che sono detti vettori.

L'azione dell'elemento u del gruppo delle traslazioni sull'elemento A dello spazio finito è A + u = B → u = B - A.

Quando si opera con un altro elemento dello spazio, ad esempio C, scriveremo C + u = D → u = D - C.

Diciamo che u è la classe di equivalenza di cui i segmenti orientati B - A e D - C sono elementi rappresentativi.

Prodotto scalare

Prodotto scalare: u · v = u v cos φ dove φ è l'angolo formato dalle rette orientate retta S.

Se u · v = 0 allora cos φ = 0.

Sia v un vettore e sia n una retta ortaterzzata dal vettore &exists;, la grandezza v_n = v · n si dice proiezione scalare di v su n.

W = u × v = u v sen φ.

Rappresentazione cartesiana dei vettori

Rappresentazione cartesiana dei vettori [ⁱ_x ^j_y ^k_z] ^k_x = 0.

i× i = j× j = k× k = 0.

i× k = -k j× i = k.

j× k = i.

k× i = j.

Relazioni fondamentali

La somma di due vettori è quel vettore che ha come componenti la somma delle componenti.

Il prodotto scalare è dato dalla somma dei prodotti delle componenti omologhe.

Momento risultante

Momento risultante delle forze rispetto ad un polo O, è il dato della somma vettoriale dei momenti delle singole forze agenti sempre rispetto al polo O.

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Rotazioni nel piano

Lo \( ( x, y, z ) \) è un sistema di riferimento e lo \( ( x', y', z' ) \) un nuovo sistema ottenuto per una rotazione oraria di un angolo φ di assi xy intorno all'asse z.

\[ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \] sono i versori degli assi non ruotati.

\[ \hat{i}', \hat{j}', \hat{k}' \] sono i versori degli assi ruotati.

\[ \hat{i}' = \hat{i} \cos \varphi + \hat{j} \sin \varphi \]

\[ \hat{j}' = -\hat{i} \sin \varphi + \hat{j} \cos \varphi \]

\[ \hat{k}' = \hat{k} \]

da cui: \( \hat{i}' \cdot \hat{i} = \cos \varphi \) \( \hat{i}' \cdot \hat{j} = \sin \varphi \) \( \hat{j}' \cdot \hat{i} = -\sin \varphi \) \( \hat{j}' \cdot \hat{j} = \cos \varphi \) \( \hat{k}' = \hat{k} \).

\[ u_x' = u_x \cdot \hat{i}' = u_x \cos \varphi + u_y \sin \varphi \]

\[ u_y' = u_y \cdot \hat{j}' = -u_x \sin \varphi + u_y \cos \varphi \]

\[ u_z' = u_z \]

\[ \mathbf{u}' = \mathbf{R} \cdot \mathbf{u} \]

\[ \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Matrice di rotazione.

Rotazioni nello spazio e angoli di Eulero

Lo \( ( x, y, z ) \) è un sistema di riferimento e sia lo \( ( x', y', z' ) \) il nuovo sistema ruotato.

Si esegue prima una rotazione attorno a z ottenendo così un nuovo sistema di riferimento che indichiamo con lo \( ( \beta, \eta, \xi) \).

La seconda rotazione è di un angolo θ attorno alla linea \( \eta \xi \) e indichiamo con lo \( ( \xi', \eta', \varsigma') \).

La terza rotazione è di un angolo ψ e attribuiamo \( ( x''', y''', z'' )\).

Gli angoli φ, θ, ψ sono detti angoli di Eulero e sono detti rispettivamente angolo di precessione, angolo di nutazione e angolo di rotazione propria.

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