Meccanica 1

Corpi rigidi e moti piani

I corpi con cui avremo a che fare sono rigidi e i moti sono piani.

1. Cinematica
2. Statica
3. Geometria delle masse: baricentro e momenti d'inerzia

Algebra vettoriale

Prendiamo un vettore v.

Le grandezze vettoriali sono caratterizzate da tre grandezze:

• Direzione, cui rimanda una retta parallela al vettore.
• Verso.
• Modulo, lunghezza del vettore.

Nei casi in cui il vettore sia applicato, dobbiamo considerare anche il punto di applicazione.

Operazione fra vettori

Somma: u + v : Regola del parallelogramma.

Possiamo anche utilizzare la regola testa-coda.

La coda dell'ultimo vettore è unita alla testa del primo.

Sottrazione: u - v = u + (-v).

Corpi rigidi e moti piani

I corpi con cui avremo a che fare sono rigidi e i moti sono piani.

1. Cinematica
2. Statica
3. Geometria delle masse: baricentro e momenti di inerzia

Algebra vettoriale

Prendiamo un vettore v.

Le grandezze vettoriali sono caratterizzate da tre grandezze:

• Direzione, determinata dalla retta parallela al vettore.
• Verso.
• Modulo, lunghezza del vettore.

Nel caso in cui il vettore sia applicato, dobbiamo considerare anche il punto di applicazione.

Operazione fra vettori

Somma: u + v: Regola del parallelogramma.

Possiamo anche utilizzare la regola testa-coda.

La coda dell'ultimo vettore è unita alla testa del primo.

Sottrazione: u - v = u + (-v).

Prodotti scalari per vettori

C _u = V.

v e u hanno la stessa direzione.

v e u hanno lo stesso verso se c > 0 < e < 0 >.

Un esempio di tale prodotto è: F = ma.

Prodotto scalare: si effettua fra due vettori.

U · V = a ∈ R = |U||V| cos α → Il risultato è uno scalare.

α ∈ [0, π].

α = arcsin ( <<.

Prodotto vettoriale

|w| = |u||v| sin β.

Il risultato è un vettore.

Per quanto riguarda il verso vale la regola della mano destra.

• Verso uscente.
• Verso entrante.

u x v = -v x u.

Il prodotto vettoriale è anticommutativo, mentre quello scalare è commutativo.

u x v = 0.

Interpretazione geometrica: |u x v| = |u||v|sinβ.

Prodotto triplo misto

(u x v) • w = -a ∈ ℝ → Abbiamo come risultato uno scalare.

(u x v) • w = 0 → Se i vettori sono complianari, cioè appartengono tutti allo stesso piano.

Possiamo anche scrivere:

• w • (u x v) Prop. commutativa.
• (v x u) • w Prop. di circolarità.
• ((u x v) • w) • α Prop. di inversione dei prodotti.

Doppio prodotto vettoriale

a x (b x e) = b (a • e) - e (a • b).

BAE minus EAB.

Decomposizione vettoriale

+au + v = e.

Decomponiamo così, il vettore nelle sue due componenti.

Abbiamo in questo caso, l'unica possibilità è decomporliamo.

Componenti cartesiane di un vettore

Abbiamo 3 assi l'uno fra loro, abbiamo quindi creato un'unità destrorsa o levogira.

V_x, V_y, V_z: vettori componenti.

Ricordiamo che un versore è un vettore con modulo unitario × × = V_x, V_y, V_z: sono componenti cartesiane di V.

U_x + U_y + U_z = U.

V_x = V · , (scalare).

V_y = V · , (scalare).

V_z = V ·, (scalare).

Le componenti possono essere negative, le componenti sono positive se i versi sono concordi con i versori , , negativi altrimenti.

= + + = + + le coordinate del punto P saranno le componenti del vettore.

|| = √_x² + _y² + _z² le componenti di un sistema cartesiano dipendono dal sistema di riferimento S = + sistema di riferimento.

Avrò per il vettore somma 3 componenti:

• _x = | _x | + | _x |
• _y = | _y | | _y |
• _z = | _z | | _z |

Prodotto scalare per vettore

S = e · r. di riferimento.

• _x = | e _x | | _x |
• _y = | e _y | = -e | _y |
• _z = | e _z | | _z |

Prodotto scalare

| · | = | _{x y z} | | _x | = _xx + _yy + _zz.

Prodotto vettoriale

| x | =