Matematica per le applicazioni economiche

Insiemi

nellmenodi èInsiemi la Qualiper chiaroQualecollezione oggetti= sonocontenti collezionenellaE appartenenza¢ non apparteneva AVale EEBOGNI ✗B perE ✗sesoloainsiemeSOTO Ba AEBse BEAsolo see= eOperation { }cioUnione AUB ✗ E EBA× := ✗t elementi ad almeno AGlicontiene che appartengono Btratutti euno}{anIntersezione B A EBE= ✗× ✗e:t 0anbelementi disgiuntiche comunecorrere al hanno al BGli Btutti in → ={Differenza }a -13 A B€E= ✗✗ e× :AIB1 ↳ dielementi di BMa nonA Ba-B- a è ugualecommutativa anon alto sianonN }{naturalinumeri addizionead moltiplicazione1,2 chiuso rispetto e3,4= →= , .. . mt.mm-E.IMmenn ,}{Alleati2 numeri addizionev1 0,1 moltiplicazionead2,3 sottrazionechiuso rispetto;= → e= - ... ,t OGNIcontiene NEZ=numero nat relativoInteroNUM }r{Q ENRational chiusonumeri MA di rispetto= al → QuattroMez operazioni×= en✗ variare alle: = )la divisione( eccettoM zeroperNatnn- ha finite DecimalicifreformaOGNI razionalerum Decimalescritto in Infinite periodicolol è( PUO essere espressofrazionecome unaIrrazionalinumeri infinite cifrehanno Decimali= frazionicomeessere espressipossononon ')l'radice (è TateQuadrata ta anumero positivounicodata 0a > =, .µ 0= inecessarila sonodi OGNI rumradice :calcolare o>Per7Numeri reali R{ }R QU irrazionali= numeri1Razionali! ZEQERNEQER e tenervi→R Reinacorrispondenza adlaR corrispondeBiunivoca ERtra neraogni un punto sulla✗retta intera =e→=N 2 Q sottoinsiemi= ad rete corrispondeogni realepunto un, Della rum,proprietà Rinsieme :BER btaatbfa > ==, )( btcb)tra +aCER + c(atb =/ , +0=7' ④neutroelementofa ER a>=] a) a)C- t.C.atfa ER C- 0=Fa b. abb E R a. =, c)(b.b) a.( efa ER > a. =b c =, , Eticamentefa 1- ⑦R a.c- > neutro= →6-6-1=1( 1)-1=1f 1+0 a-ER afa a a.con = Etc -.fa riflessivitàEER aafa completezzaebbeb ab ER c-a,fa bb Eb bER Ea a antisimmetriase ae =,fa bR Transitivitàb b >E c- aC c-se Ea eC C=, ,tra c)(ib btba.RE +C a. ca.=,fa b btcbic ER Ea +Ca c-, bK b 00 EEE R osaaib a.se e↳ soddisfalaanche a completezzadiQuellatranneIntervalli b-Intervallo limitatodiceSIf. seguentidei adiDati b :insiemiba. ER ampiezzaa ciascunoc. - }b{b a E✗ER E:ai = ✗ }b{ a < × <"b :=a. }b{ -Exab :ia. = }b{a.b ac" a-: ✗=! ( b) aiba. E( }{b) aibU a.ba =/ d costituitoinsieme puntiDa Due Intervallo illimitatoDato deiER dicea :insiemi siciascuno seguenti}{ R aC- < ×:✗ non aTutti >i=co+a , }{ : a sxeo =a. + }{ a: <✗a=aoo ,- }{aso : an ✗ e=- , )+! (R +0o= , )(R - -00 o= , l' complementareDato la AdiR indicaAER insiemeAcon = si- .Quindi l'èca di che Aadi realeinsieme num appartengononontutti)() 5,7( -00,3A u= [ D)5)(ca U +73= , , 1×1 è definitoIl valore indicaassoluto eddi connumero reale ✗ siuno>aseAl ose <✗×-151=5ls 21=21-Proprietà :1- I ×✗ = / 0I O =\se01×1=0 ✗✗✗ >se = , Dall'di origine realeistanza Della tetta× retedistanzal/ sulla realeeytra× y ×=- I< / ✗✗ = }1×1 {= ××Max -,¥ al/// al☒✗ ✗vale +E✗ it ✗✗ 22i .esempio :mmmm12×1-61 E +8✗ { cioè2×+670/ 2×+6 se12×+6 -3✗ 7Def seper =: (2×+6) cioèse 2×+6 se -3co ✗ a- ][ soluzioni ORIGINARIA (312 soluzioni Unione+8<per Sla2×+6=-3 -14/3→> ✗ DI> ✗ → 2== = ,2)Delle][ -3 soluzioni3=7-2×-6 143+8 →Eper ✗ ✗c- ,di Rsottoinsiemiestremi perAER limitatosuperiormente PERdice =pt.ci EAesistesi per OGNIse ;✗✗↳ di AMAGGIORATE numerinon maggiorenavale ianzimaggioratanonse esiste un↳ e- superiormentea Illimitato limitatoInteriormenteAER dice Eesiste ERse t.C.AE ✗✗ ✗ AOGNISI per↳ i dia/ nnminore tuttiminorarte augualeun=artese minoresistenon↳ e-a inferiormenteIllimitatoMASSIMO halimitato adAER= diDato massimoA che Asup MAGGIOR Aesistese arte appartieneunun,. è indicaMAGGIOR conunicoQuando esiste naxaarte sitale e, è il Dell'più Grandenum insiemeQuandoIl esistediMax Insiemeun ,,MINIMO Inf dilimitato adAER appartieneche Aa ha minimo ADato= arteminorun esiste unse,.Quando indicaesiste MINAconè unicotale nuora ente siE diMln insieme InsiemeDell'un se piùesiste è piccolorumil, ,ESTREMO SUPERIOR Supalimitato loè indicailER MAGGIORanti conMINIMOa pera sisupDato Del= .. .Illimitatoe-aSe SUP Supa +00ponesi =PIÙ PICCOLO50Pa MAGGIORantiDel= InflittoESTREMO Al limitato è 1nF1nF il indicadiAER aconmassimo ADato minorati= Dei si. .1nFA illimitatoè 1nFse apone 00si = -PIÙ1nF a MINORDelGrande anti=esempio ] )(1,3 (B no a[= = - ,limitatoSUP/p P (MAGGIOR7G peranti se insiemeun ne== .. . illimitatoInf)esiste infinitisonouno 1-, t.LYFXECBÈSUPUMIRTO YEChanon >Max ×→non ha✗ /1 -6 minMimran✗= = .. . )limitatoint ¢e-B> Insieme MAGGIORDel antiMIN= MAGGIORanti +00 -7, ci sole> a=Max =InfB [=3 o= -non esiste MIN 13=3[ ) sup>taMAGGIORanti =Insieme 3 ,Inf 1B = })[ {eD= oo 6,52 + -3=, ,Illimitato hasup non Max limitatosuplnf limitato limitatolnfMIN D= 62 Max =sup D= +00 MIN E 3= -Inf D= 2 lsup 6=Nfl -3=)[maxa èse aè Dell'insiemeesiste MAGGIOR A Maxanti +00Del insiemeil MNMax e,)( esisteASopa a se MaxMax= " di"limitatoèsup esistono Sopa AMaxse diaGORAN unè SOSTITUTOmaG-anon eesistea eMax dialcuniper esisteR nonIlsottoinsiemi Min ↳) HPAER un'( natosu21 non noto eteorema ciò Quandonon avviene considerasiscopaesisteTS l' Inx Del sottoinsiemeMAGGIORanti unDI↳ limitatoRdi di supproprietà completezzalahaR mmmproprieta-Q ha Questanon 1 a)(ta ebbeEbb ER a,esempio : }{ Ea AEQI(:O razionaleEQ < da✗ solocostituito< un= ✗ &EMa Qscopa = aestremo peresiste supUnnon in QAEQnonostanteQuando esisteMina vita MINA= = ''èvita unlimitatoaèinf SOSTITUTO minaperQuando esisteMina non eLIMITATOInsieme limitatosupera=TOPOLOGIAINTORNO di Punto b)III. (un bXOER cheè t.ci✗qualsiasi <a. contiene cioè aintervalloDato un -✗o o,,( ↳ contiene ✗cheintervallo estremisenza oPuntoper OGNI ✗ esistono infiniti INTORNIo UN )PER INSIEMEINTERNOPUNTO ( dealo diintornoe- esisteEAAER Il✗ un contentoDato solo 1nA✗ ✗e sese o, ,À ' ÀInternochiamaInsieme diInterni sipunti eDei = DXISXe- Partendo ( ) dapocoInternoSe diPosso usareda spostarvi senza a.✗ Punto essoo ,Iab)Intervalli (ab)interniDunninsieme>][ab =unita" }{Lo b)( -00 toi b)/ →Intervalli b)(/ no ,Illimitati \ a)( +a. )( +0a→ ,tal[ a , ACCUMULAZIONEPUNTO di è almenocontieneloAER OGNI intorno diseDato unxoer ✗ o, alcontiene di( lavi OGNI infinitiseA diverso valentemente diIntornodi ✗ elementielemento da o✗ /o .diInsieme ACCdipunti aDeia =☐ ↳ diDerivato A (è di Aalvicino ) infinitipunto→ addensatiQualeun si accumulanosono Punti .Intervalli• b)limitati [insieme Punti a.5 :2 diacca]( 52 i b)f- b)] so ([ °,Da → - '21s b)1- •illimitati '[intervallidiPunto ACC✗ 2=o ) )la [+00 +00a., →[ toola ,Un Insieme dice è internoER soloa persuo elementoaperto puntoSI se see aOGNIai (Ovvero )se solo se 1,3)e (esa a Kis]= aperto B NON= aperto=,OGNI )( (a))Intervallo b) IntervalloC-aib Dettoe-00 insieme+00 viene apertoun e, , , apertoteorema apertiHP di InsiemiRA1 sonoAa sottoinsiemi eAn sono= , , . .. èè InsiemeTS InsiemeAI apertoVan unUazu ai naanaperto nanun e= . .. . . .l' apertodi èunione insiemeinsiemi unaperti .l' apertodi è insiemeinsiemiintersezione unaperti .chiusoUn dice soloinsieme complementareil CAseAER insiemee suosesi )(( ) )C- +00U aperto] 3[ chiuso 00,0è ca013aesaperto ,,. ]][ )[DibC-aibOGNI èa. +0 chiusointervallo e-chiuso intervalloviene alto, , .TeoremaHP A1 di= sottoinsiemiAz SONO chiusiERAn SONO, , ,. .. .chiusoèTS ai VanUazu= . .. è chiusoai naan nan .. . .I ](2,5 néné chiusoaperto• ① R di R chiusiUna apertisottoinsiemi ee .TeoremaHP AER= DAEAsolo seD= e- chiuso se eA accumulazioneche dichiusi Basa→ SIDegli PUNTIcaratteristica SUIinsiemi}{](-0,3 7a u= (-00/3)Da chiusoDAEA a= ) a chiuso7)( ( to apertoèU 7CA 3= ,,funzioni direali Variable realetumore 11-funzione leggedue B è unaa- BDati chea unaB Aa associadainsiemi= e >:,, ,)(ad 1-elemento indicatoEAOGNI elemento Un )YEB✗ (con ×Insieme a DOMINIO=• CODOMINIOInsieme B• =funzione reale di A Bvariabile direale = sono sottoinsiemi Revengono due realiassociati numerigohfunzione Icomposta funzioni gohh indicadue asiano a ccon : si→: . mmm] ↳ gehtnzconposta[funzione dihaila l'adche elemento gC- Cogni a✗ associa in .menuIha) ad YEBunogniassocia fa✗ internaqualZECUnYEBassocia) esternaadgcx ogni legandogoh senzaassocia Direttamente ca evidenziarea✗ az , Il perPASSAGGIO Blo hogoh g=\Grafico }:{ )(R YERit✗ ERinsieme insieme✗ reali: numericoppie diDevee }f- {( 'graffio 4)1- 4=11×1diIl è) G- (a- con ERB EAAER> ×Data : a e✗:= ,↳ )' (di 1-R didaCOSTITUITOSottoinsieme CHnumeri ×coppie ,( Del Prodotto al variare di A.in✗)cartesiano R' IRrealiAd→ diOGNI associareècoppia cartesianosulnumeri unpossibile punto pianol' è G-insieme Dei punti 1-L funzione temasolocurvauna e-Pianosul ese OGNIse voltalaverticale curvatocca raro unaoppure .Insieme definizionedi restrizionietua (Quando )solodescritta analiticauna espressione /Indicoviene come un Ponenon CODOMINIODOMINIO siB. l' insieme 1-R dominioconsiderae calcolarepossibileèDellesi percome ER= )cui (✗ × .↳ DefinizioneInsieme DI" all' DefinizionecuiCI in ilrestringeSONO Dominio Insiemesi rispettocasi di• difonz COSTO f-ls ha considerare Definitasenso NLGvalorinon per→1-Urlate tu 1- lastretta te)( indicaedAER di= aData EEAR con si restrizione→: ,1- all' 1-cioè feci)E- RInsieme > pere C-OGNI e✗eie, .te 1-7 fecidominio )ha gliEEA che (→ agisce visto ogniperin come✗ eeper per =,fa definitafa a-èla f- indifferenzaXEE non edominioè neltra e : .. ay)✗ =f-× 2×+1= ✗ - •] ••(e -00= a ×, sy