Matematica(integrali e derivate)

Matematica

Integrali su intervalli illimitati

Integrali 0 in [c, +∞) se = insieme illimitato.

Def. L'integrale di una funzione continua su un intervallo illimitato a destra.

Sia continua nel suo dominio, si dice che ha integrale generalizzato se esiste finito o infinito:

• Se il limite è finito si dice convergente.
• Se il limite è infinito si dice divergente.

Esempio: f₁(x) = -x^-2. Esiste?

• Fisso calcolo è una qualsiasi primitiva di

f(x) = x^alfa f(x) = è equivalente a Matematica Integrali ∫_c^+∞ f(x) dx se f >= 0 in [c, +∞) ∫_c f(x) dx = insieme illimitato ∫_c^+∞ f(x) dx

• Fisso un n. t > c
• Calcolo ∫_c^t f(x) dx
• Mando t -> +∞

Definizione dell'integrale su un intervallo illimitato a destra

Sia C ∈ ℝ, sia f : [c, +∞) -> ℝ continua nel suo dominio [c, +∞), si dice che f ha integrale generalizzato in [c, +∞) se esiste finito o infinito il limite lim_t->+∞ ∫_c^t f(x) dx.

• Se il limite è finito ∫_c^+∞ f(x) dx si dice convergente.
• Se il limite è infinito ∫_c^+∞ f(x) dx si dice divergente.

Esempio: f : [1, +∞) -> ℝ, f(x) = -1/x². Esiste ∫₁^+∞ f(x) dx?

• Fisso t > 1
• Calcolo ∫_t^a -∞/x² dx = F(t) - F(1) dove F è una qualsiasi primitiva di 1/x²

Teorema fondamentale del calcolo integrale

f(x) = x^α -> F(x) = 1/α x^α+1 ∀ α ≠ -1 e f(x) = 1/x -> F(x) = ln|x|.

f(x) = 1/x² -> 1/x^-2

Allora 1/x^-2+1 = 1/x^-1 = -1/u.

Esempio 2

f: [0, +∞) → ℝ

f(x) = x

Fisso t ≥ 0

Calcolo ∫₀^t x dx = x²/₂ x = 0 = t²/₂

lim_{t → +∞} ∫₀^t x dx = lim_{t → +∞} t²/₂ = +∞ quindi f è integrabile in [0, +∞) e ∫₀^∞x dx diverge.

Esempio 3

f: [0, +∞) → ℝ

f(x) = senx

Fisso t ≥ 0

∫₀^t senx dx = −cos(x) |^t_x=0

lim_{t → +∞} ∫₀^t senx dx = lim_{t → +∞} (1−cos(t))

Questo limite non esiste quindi f(x) = senx non ha integrale generalizzato in [0, +∞)!

Definizioni e casi analoghi

Def. Sia C ∈ ℝ e sia f definita in [C, ∞), f: [C, ∞) → ℝ continua. Si dice che f ha integrale generalizzato in [C, ∞) se ∃ lim_{t → +∞} ∫_C^t f(x) dx finito o infinito.

∫_C^∞ f(x) dx = lim_{t → +∞} ∫_C^t f(x) dx

Analogamente se f è definito in (−∞, C] e continua, si dice che f ha integrale generalizzato in (-∞, c) se ∫_t^cf(x) dx.

Infine se f: IR → IR si dice che f ha integrale generalizzato in IR se ∫_-∞^cf(x)dx e ∫_c^+∞f(x)dx e la loro somma non dà una forma.

Esempi

Esempio 1: ∫₁^+∞ converge.

Esempio 2: ∫₀^+∞ diverge.

Esempio 3: ∫_-∞^+∞ non è definito.

Esempio 4: ∫_-∞⁰ lim = 1 - 0 = 1.

Esempio 5: ∫_IRf(x)

Esempio 6

f : ℝ → ℝ, f(x) = e^-x2

f è pari e lim x → ±∞ f(x) = 0

∫_-∞^+∞ e^-x2 dx = √π ⇔ 2 ∫₀^+∞ e^-x2 dx ⇔ 2 lim_{t → +∞} ∫₀^t e^-x2 dx

La primitiva di e^-x2 non si può esprimere in forma elementare quindi lim_{t → +∞} ∫₀^t e^-x2 dx lo si dimostra con gli integrali doppi.

Esempio 7

∫₁^+∞ 1/x^α dx con α > 0

α ≠ 1

1/x^α = x^-α ha come primitiva x^-α+1/-α+1 = 1/1-α ⋅ 1/x^α-1

Caso α = 1

∫₁^t 1/x dx = ln|x|_x=1^x=t