Matematica finanziaria - Appunti, definizioni e formule

Matematica finanziaria

Perera Paccanelli ➢ ↳ ↳ ↷ ↷

W: ricchezza investita

W: ricchezza ricevuta

I: interessi (porte)

n: durata del contratto

Regime di interessi semplici

Tutti gli interessi sono uguali.

W_n = W_o + n*I

i_s: tasso d'interesse semplice

i_s = I / W_Wn - W(1 + (n * i_s))

= Migliore per l'investitore se il tempo è breve (6 mesi).

Regime di interessi composti

Gli interessi vengono "ritirati" e reinvestiti.

Viene composto il "interesse sugli interessi".

W(n) = W(n - 1) + (i_c * W(n - 1))

i_c: tasso d'interesse composto

i_c = I / W_o

Se t=1y

W(n) = W^* (1 + j_c)

Per interessi semplici: m(0;t) = 1 + (t * i_s)

Interessi comp. m(0;t) = (1 + i_c)

Montante

m(0;t): Valore monetario riferito al termine di un intervallo di tempo comprensivo del capitale iniziale e degli interessi maturati nell'intervallo di tempo di riferimento.

m(0;t) > 1 ĩΑ causa del postulato di impazienza, se investo in un contratto tipo una certa quantità di denaro, in futuro ne riceverò di più.

v(0;t) = 1 / m(0;t) fattore di sconto: Valore che devo moltiplicare per W(n) τη ricchezza che voglio ricevere nel tempo n per sapere quanto devo investire oggi W_o(t)

Tasso d'interesse periodale

j(0;t) = m(0;t) - 1

Intensità d'interesse periodale

γ(0;t) = J(0;t) / t

Matematica finanziaria

Regime di interessi semplici

Tutti gli interessi sono uguali.

W(n) = W(0) + n*I

i_s: tasso d’interesse semplice

i_s = I/W

W(n) = W(1 + (n * i_s))

- Migliore per l’investitore se il tempo è breve (6 mesi).

Regime di interessi composti

Gli interessi vengono "ritirati" e re-investiti.

= Viene composto un interesse sugli interessi.

W(n) = W(n - 1) + (i_c * W(n - 1))

i_c: tasso d’interesse composto

L_c espresso in percentuale.

W(n) = W * (1 + i_c)

m(0;t) = 1 + (t * i_s)

m(0;t) = (1 + i_c)^t

Montante

m(0;t)

Valore monetario riferito al termine di un intervallo di tempo comprensivo del capitale iniziale e degli interessi maturati nell’intervallo di tempo di riferimento.

m(0;t) > 1

v(o;t) = 1/m(0;t)

Fattore di sconto

Valore che devo moltiplicare per W(0;n) (la riscossa che voglio ricevere del tempo n) per sapere quando devo investire oggi per ottenere W(n).

Tasso d’interesse periodale

j(0;t) = ΔW(0;t)/W(0)

j(0;t) = m(0;t) - 1_t

Intensità d’interesse periodale

γ(0;t) = m(0;t) (oppure γ(0;t); J(0;t); ϑ(0;t) dato che sono tutte la medesima funzione) è una legge di capitalizzazione finanziaria.

Legge di capitalizzazione finanziaria

Un’attività finanziaria è formata da due serie di numeri:

• Scadenziario t = {t₀, t₁, t₂, ..., t_n} → n+1 date
• Poste X = {x₀, x₁, x₂, ..., x_n} → n+1 poste

Se t₀ coincide con oggi x₀ viene chiamato prezzo.

Nella maggior parte delle attività finanziarie le poste sono sconosciute.

Se valore dell'attività finanziaria è stabilità da una legge di capitalizzazione finanziaria che viene scelta all'inizio del contratto.

Valore di un'attività al tempo t

t ≤ t_k

W(t, X) = Σ x_k * γ(t, t_h)

Legge se cambia la legge cambia il valore.

= Valore di un'attività nel regime di interessi semplici:

W(n) = Σ x_i * 1 + i * n

Dunque la legge è m(t_i, t_f) = 1 + i * (t₂ - t₁)

E si chiama legge lineare.

⇒ Valore di un'attività nel regime di interessi composti:

W(n) = Σ x_i * 1 + iⁿ

Dunque la legge è m(t_i, t_f) = (1 + i)^{(t₂ - t₁)}

E si chiama legge esponenziale.

Base unità di misura del tempo

I ha come unità di misura l'inversa del tempo.

Se il tempo cresce il tasso diminuisce e viceversa.

Legge lineare ed esponenziale coincidono se i * (t₂ - t₁) < 1.

Quindi entro 1-2 anni le leggi coincidono.

Legge esponenziale = 1 + i (t₂ - t₁) + 1/2 i² (t₂ - t₁)² ...se questo è molto piccolo le due leggi coincidono.

Legge lineare

m(0;t) exp