Matematica finanziaria

Matematica finanziaria

La matematica finanziaria viene definita come lo studio delle operazioni finanziarie, ovvero quegli atti che causano una variazione di capitale attraverso uno scambio di importi in tempi diversi. Queste operazioni avvengono nel mercato dei capitali, dove soggetti in avanzo finanziario negoziano con soggetti in disavanzo.

Il testo distingue tra:

• Mercato reale (pratica): dove si valuta la convenienza delle transazioni.
• Mercato ideale (teoria): un modello perfetto caratterizzato da assenza di costi di transazione, perfetta informazione, razionalità degli agenti e assenza di opportunità di arbitraggio (ovvero l'impossibilità di ottenere profitti certi senza rischio).

Le operazioni possono essere classificate in base a diversi criteri:

• Elementari: coinvolgono solo due importi (uno scambio singolo).
• Complesse: prevedono più prestazioni o scadenze (come un prestito rateale o un titolo che paga cedole).
• A pronti o a termine: a seconda di quando viene pagato il prezzo rispetto al momento dell’accordo.
• Certe o aleatorie: a seconda che gli importi e le scadenze siano definiti con certezza o dipendano da eventi incerti.

Si distinguono due finalità principali basate sul "Principio di equivalenza finanziaria" (secondo cui ricevere una somma oggi o in futuro è equivalente solo se alla somma futura viene aggiunto un interesse):

• Investimento (o impiego): si conosce il capitale iniziale e si vuole determinare il montante finale (il valore cresce nel tempo).
• Anticipazione (o sconto): si conosce la somma futura e si vuole determinare il suo valore attuale (quanto vale oggi quel capitale disponibile domani).

Grandezze dello scambio finanziario

Il cuore tecnico del documento risiede nelle quattro grandezze che misurano lo scambio finanziario tra due epoche (iniziale t e finale s):

• Fattore di capitalizzazione r(t,s): il montante generato da un'unità di capitale investito.
• Fattore di sconto v(t,s): il valore attuale di un'unità di capitale disponibile in futuro.
• Tasso effettivo di interesse i(t,s): l'interesse prodotto da ogni unità di capitale investito.
• Tasso effettivo di sconto d(t,s): lo sconto applicato a ogni unità di capitale futuro.

Il file dimostra come queste grandezze siano strettamente collegate tra loro. Alcune delle relazioni fondamentali spiegate sono:

• Il fattore di capitalizzazione è l'inverso del fattore di sconto: r(t,s)=1/v(t,s).
• Il legame tra tassi e fattori: r(t,s)=1+i(t,s) e v(t,s)=1−d(t,s).
• La relazione tra i due tassi: il tasso di sconto può essere visto come il "valore attuale" del tasso di interesse, mentre il tasso di interesse è il "montante" del tasso di sconto.

1. Operazioni a pronti (spot) vs a termine (forward)

Operazioni a pronti: sono i contratti standard dove il prezzo viene pattuito e pagato nello stesso momento (epoca t), per avere una controprestazione in futuro (epoca s).

Operazioni a termine: sono contratti più articolati definiti da tre momenti temporali (t<T<s):

• T: momento in cui si decide e si firma il contratto (stipula).
• T: momento futuro in cui viene effettivamente pagato il prezzo (regolazione).
• S: momento finale in cui si riceve la prestazione.

Esempio pratico: un'azienda oggi (t) blocca il prezzo di 95€ per un'operazione che pagherà tra un mese (T), per incassare 100€ tra sei mesi (s).

2. Proprietà del prezzo a termine v(t,T,s)

Il documento elenca le caratteristiche logiche del prezzo di un'operazione a termine:

• Il prezzo deve essere sempre compreso tra 0 e 1.
• Più la data del pagamento (T) si avvicina alla scadenza (s), più il prezzo aumenta (perché il tempo di attesa diminuisce).
• Se la scadenza finale (s) si allontana, il prezzo diminuisce.

Il testo spiega che in un mercato con un orizzonte temporale di n periodi, esistono:

• N prezzi a pronti.
• Un numero molto più elevato di prezzi a termine possibili, calcolato con la formula n(n−1)2.

L'insieme di tutti questi valori definisce la "struttura a termine" del mercato.

Si dimostra che il prezzo a termine è implicito nei prezzi a pronti.

Legge del Prezzo Unico: per ottenere un capitale a una data futura, l'investitore può scegliere due strade:

1. Fare un'operazione a pronti lunga.
2. Combinare un'operazione a pronti breve con una a termine.

Per evitare che qualcuno possa guadagnare senza rischio (arbitraggio), i costi di queste due strade devono equivalersi. La formula derivata è:

v(t,t+1,t+2)=v(t,t+2)v(t,t+1)

In parole semplici, il prezzo a termine è il rapporto tra due prezzi a pronti.

Esempi di arbitraggio

Il documento mostra cosa succede se questa uguaglianza non viene rispettata:

• Se il prezzo a pronti è troppo alto: conviene vendere il contratto costoso e comprare la combinazione di contratti più economici, intascando la differenza immediatamente.
• Se il prezzo a pronti è troppo basso: si fa l'opposto.

In entrambi i casi, il file presenta delle tabelle che mostrano come, a fine operazione, l'investitore si ritrovi con un profitto positivo e zero debiti residui.

Infine, il documento estende queste regole non solo ai prezzi, ma anche ai tassi di interesse. Viene mostrato come calcolare un tasso di interesse a termine (forward) conoscendo i tassi a pronti (spot), seguendo la logica della capitalizzazione composta: l'interesse su un periodo lungo deve essere uguale al prodotto degli interessi su periodi più brevi consecutivi.

Definizione di equivalenza

Due tassi si dicono equivalenti quando, applicati allo stesso capitale e per lo stesso intervallo di tempo, producono lo stesso effetto finanziario. In altre parole:

• Due tassi di interesse sono equivalenti se generano lo stesso montante.
• Due tassi di sconto sono equivalenti se generano lo stesso valore attuale.
• Un tasso di interesse e uno di sconto sono equivalenti se, applicati alla stessa operazione, portano ai medesimi risultati numerici.

Relazione tra tasso di interesse (i) e tasso di sconto (d)

Il documento ribadisce il legame matematico tra l'interesse (pagato posticipatamente sul capitale iniziale) e lo sconto (pagato anticipatamente sul valore finale). Le formule fondamentali per passare da uno all'altro sono:

• Per trovare il tasso di interesse conoscendo quello di sconto: i=d1−d.
• Per trovare il tasso di sconto conoscendo quello di interesse: d=i1+i.

Queste formule assicurano che l'operazione sia finanziariamente identica indipendentemente dalla grandezza usata.

Tassi per periodi inferiori all'anno (tassi frazionari)

Spesso i tassi sono espressi su base annua, ma gli interessi vengono calcolati per periodi più brevi (mesi, trimestri, semestri). Il file introduce la notazione ik, dove k rappresenta il numero di volte in cui il periodo è contenuto nell'anno (es. i2 per il semestre, i4 per il trimestre, i12 per il mese). La relazione di equivalenza in regime di capitalizzazione composta è:

(1+i)=(1+ik)k

Da cui si ricava che per trovare il tasso periodico ik partendo dall'annuale i, si usa la radice:

ik=1+ik−1.

Tasso annuo nominale (TAN)

Il documento introduce il concetto di tasso nominale, indicato spesso con jk. A differenza del tasso effettivo, il tasso nominale non tiene conto dell'interesse sugli interessi durante l'anno. Viene calcolato semplicemente moltiplicando il tasso del periodo per il numero di periodi:

jk=k·ik

Il testo avverte che il tasso nominale jk è sempre inferiore al tasso annuo effettivo i, perché non considera la capitalizzazione infrannuale.

Intensità istantanea di interesse (forza d'interesse)

Viene infine accennato il caso limite in cui il frazionamento del tempo diventa infinito (k che tende a infinito). In questo contesto si parla di capitalizzazione continua, dove il tasso viene sostituito dall'intensità istantanea d'interesse (δ). La relazione fondamentale diventa:

1+i=eδ

Dove e è la costante di Nepero. Questo parametro è fondamentale per modelli finanziari avanzati dove il tempo è considerato una variabile continua.

A parità