Matematica finanziaria 2 Dispari

Matematica finanziaria 1/N

(Prof. Luigi Malacchini) (Prof. Silvia Contarini)

Esercizio (rendite)

Rendita di x periodi annuali, calcolare dei quali è attribuito un pagamento costante di valore R, posticipato; i=?

R=50 m=15_V0=380 (valore attuale delle rendite)

R R R R R R R R R 0 15

Metodo algoritmo iterativo

_i0=2×(m-_an)/_an×(m+λ)=2×(15-7,6) s_7.6×(15×λ)=0,1217

_an=_V0/_R 380-7,6/50

_an×i₀ λ λ 1-(0,1217)+λ)_-15/0,1217

f(i₀)=-_an+_an(15_0.1217)=-7,6+6,45=-0,85088

i₁=0,09

f(i₁)=-_an+_an(15_0,09)=-7,6+8,06=0,46069

i₂=0,10014

f(i₂)=-_an+_an(15_0,10014)=-7,6+7,6=0

Matematica finanziaria

(Prof. Luigi Maloberti) (Prof. Silvia Centanni)

Esercizio (rendite)

Rendita di “n” periodi annuali, col termine dei quali è attribuito un pagamento costante di valore R, posticipato; i=?

R=50   m=15   V_o=380 (valore attuale delle rendite)

R R R     ...   R R R R 0         15

Metodo algoritmo iterativo

i_o = 2 × (m − ō) / (ō × (m × λ)) = 2 × (15 − 7,6) / 7,6 × (15 × λ;) = 0,1217

ō = V_o / R = 380 / 50 = 7,6

ō_n^m i_o λ_nⁱ λ = (1 − (1 + λ;)^−m) / i

1 − (0,1217 + λ;)⁻¹⁵/ 0,1217

* f(i_o) = −ō + a₁₅^0,1217 × i₁₅ = −7,6 + 6,45 = −0,85088

* i₁ = 0,09

* f(i₁) = −ō + a₁₅^0,09 = −7,6 + 8,06 = 0,46069

i₂ = 0,1004

f(i₂) = −ō + a₁₅^0,1004 = 1,6 + 7,6 = 0

Ci si ferma quando le ultime 4 cifre rimangono stabili nelle interpolazioni.

Metodo Gauss-Newton

R = 50

M = 15

V₀ = 380

i = ?

f(i) = f(i₀) + f'(i₀) . (i - i₀)

i = i₀ - f(i₀) / f'(i₀)

i₀ = 9%

f(i₀) = 23

f' (i₀)_Δi:

f_x (i) = -V₀ + ^_m∑^_t=1 R_x-----(1+i)^t

f' (i) = -----_^m∑_^t=1 t . R_x(1+i)^t+1

f' (i₀) = ----- (1. R_x + 2. R_x + 3. R_x + ... + m

NPV₂(x) → f'(x) = 0 → S · (0,75 - 0,85 · (1+x)^-10/12) = 0 + 0,85 · 0,75 · (1+x)^10/12 =

(1+x)^10/12 = 1,1333 → x ≅ 0,162 ∧ x ≅ 16,2%

Per tassi inferiori a 16,2% → NPV₁(x) > NPV₂(x)

cioè c’è convenienza a pagare in contanti;

per tassi superiori a 16,2% → NPV₂(x) > NPV₁(x)

cioè c’è convenienza a pagare dopo 10 mesi.

Esercizio 2 [Parte IV al]

P = 75.000

n = 11

A

i_u = 9%

R₁ R₂ R₃ R₄ R₅ R₆ R_n x R₈ R₉ R₁₀ R₁₁

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i₄ = (1 + i)^1/12 λ = 1(1 + 0,09)^1/12 λ = 0,0072 ≅ 0,42%

NPV_A(0,002_λ) = -P x [ä₄^7,002λ; + ä₄^10,002λ; x (1,002λ;)^-8] = -P x ä₄^7,002λ; - P x ö₄^10,002λ;

ä₄^7,002λ; = 1 - (1,002_λ)^-7

ö₄^10,002λ; = 1 - (1,002_λ)^-4 x (1,002_λ)^≃ 3,9556

NPV_A(0,002_λ) = 75.000 x [6,8514 + 3,9556 x (1,0590)^-1] = -193996,643 ≅ -793996

B

P = 15%_P

R₁ R₂ R₃ R₄

0 3 6 9 12

i_1/4 (1 + λ_x)^{1/4 - λ;} = (1 + 0,09)^{1/4 - λ;} ≅ 0,021λ;≃ 2,1%

NPV_B(0,021λ;) = -[P x 3 x (λ; - 0,15)] x ä₄xä_1/4

ä₄^0,021λ; = 1 - (1,021λ;)^-7

NPV_B(0,021λ;) = -[75.000 x 3 x 0,85] x 3,87λ;≃ -740,405,25≅ -740,406

+6.245.000 - [6,246 x + 3,7739 x (1,3685)⁷] = 0

+ 15.000

f (0,04) = 0,0008

x* = (1 + 0,04)^-1 = 0,96012 ≅ 60,12%

⇒ Per valori inferiori al 60,12% è preferibile la C, per valori superiori al 60,12% è preferibile la A.

Tra B e C è preferibile la C.

NPV_B(x) = NPV_C

- [P x 3 x (1 - 0,45)] x ä₇x = - 645.000x

**₁ ≍ 0,09

x**₄ ≍ 0,4137 ≍ 41,37%

⇒ Per tassi inferiori al 41,37% è preferibile la C, tassi superiori è preferibile la B.

⇒ Tra x ≈ B = ?

NPV_A(0) B(0)

x* = 60,13% [dove NPV_A x) interseca NPV_C], e al Px eli x** = 41,38% [dove NPV_B/interseca NPY_C]

B e C semmenonte eli ≗ Nel tassoic e A (x) = NPV_B (x)

⇒ Per tassi inferiori al 41,38% è preferibile C, tassi superiori al 41,38% è preferibile B.

f(x)= 14.400- (250 + 6000 + 480 x) a 12 x + 435λ;,25 x (1 + x)⁻¹³ = 0

λ₀ = 2 x (M-a 12)a 12 x (M + λ;)x* = 0,0198 = x̃

λλ = (1 + x*)¹² λ ≡ 0,266λ;

NRV0,266λ;

Per tasso inferiore a 0,266λ; NPV₀ (x) per tasso superiore a 0,266λ; NPV₂ (x) > NPU₁ (x)

f'(x)= 8450 - 480 a12 1 x = 8450 = 435 λ;,25∙(1+x)⁻¹³= 0

480 435λ;,25 ∙ (1 + x)⁻¹³ = 480 a 12 1 x

λ; 7,604 λ; - 9,065 λ;∙(1 + 0,0198)⁻¹³ = 0

(-1_0.0198)λ; 7,604 λ; - 7,0254*0,58647 = 0

f’(λ;)= -0,0047

Saldo finale e mutuo

M₀=a₀=0; M=ā=ā₁=λ;60,1

M₂=-λ;60,1×(1+λ;15%)↑5₅,3=-λ;32

M₃=-λ;32×(1,19)+332,2=λ;72,9

M₄=-λ;47,7×(1+0,47)+393,8=583,9

Saldo finale a) 583,9

mutuo i=15% n=12 rate, q.nota

C=x=369,2=92,3

I_A=i×D_±λ;=0,15×369,2=55,38

I₂=41,535 R₁=λ;47,68

I₃=27,69 R₂=133,8

I₄=13,845 R₃=120

R₄=106,2

D₀=369,2

D₁=D_t+λ;-C=296,9

D₂=184,6

D₃=92,3

D₄=0

Importi 0 -800 -308 184,6 461,5 523,1

rimane +430,87 -λ;47,68 -133,8 -120 -106,2

netto 0 -λ;178,5 50,8 34,15 λ;46,9

Importi 0 -λ;178,5 -λ;58 156,1 584,5

M₂=-λ;78,5×(0,17λ;)+(50,8)=-λ;58

M₃=-λ;58×(1,147)+34,5=λ;56,1

M₄=λ;56,1×(1,074)+λ;46,9=584,5

Saldo finale è b) 584,5

Esercizio 5 (Parte III^° A)

Risparmi = 50.000 @ 4 anni

i = 6,5%

M₁ = 50.000 x (1 + 0,065)⁴ = 64.323,32

F = 100

n = 4%

P = 97,53/5 C → obbligazioni

2/5 C → azioni i = 8%

3/5 . 50.000 = 30.000 ≅ 308 (obbligazioni acquistate)

308 x 0,04 x 100 = 1.230,77 (cedola)

2/5 . 50.000 = 20.000 (azioni acquistate)

M₂ = 20.000 x (1 + 0,08)⁴ = 27.209,78

P = 307,6923 × 100 = 30.769,23 ≅ 30.769 + 1.230,77 ≅ 32.000

59.209,7-50.000=(1+i)⁴+12.30,47×[((1+i)³-1)/(1+i)]⁴+59.209,48. i=c

50.000+59.209,48. (1+i)⁴+α3. i=0

i~₂0,0610

TIR₃:-50.000+60.412,17/((1+i)⁴=060.412,17=(1+i₃)⁴=0,0497

Il 1^o è il migliore secondo il TIR→i₁=0,065.

i=7%

NPV₁[7%]=-50.000+64.33,32/ (1,07)⁴=-928,05

NPV₂[7%]=-50.000+1230,47×30,04+59.209,48/(1,07)⁴ =-1.599;

NPV₃[9%]=50.000+60.412,17[1,09]⁴=-3682,52

Comunque tra i 3 il progetto migliore

2^a

1/2 . 350 → 5 rate, i=7%

D = 350/2 - 175

V_o = R x a_mi

175 = R x a_510% → R = 42,68

30,43 = 42,68 - 12,25 = C₁

175 - 30,43 = 144,57 = D₁

NPV (K_o) = - 145 + 56,182 + 63,14 = 681,26 + 72,08 + 35,04 = 35,28

Prima e dopo

Prima

Redd. netto 100 100 100

TAM 300 300 300

flusso di cassa 400 400 400

Dopo

Redd. netto 155 155 155

TAM 480 480 480

flusso di cassa 635 635 635

235 235 235 235 235 235

Flussi di capitale proprio: 635 - 400 = 235

CI = 900 ⇔ Introiti Δ = 235 (x 5 anni)

0 1 2 3 4 5

-900 +235 +235 +235 +235 +235

PBP e TRCA

-100 +10 0 10 -10 -40

B -100 0 0 +30 +70 +130

C -100 +30 +30 +40 +40 +25

D -100 +20 +30 +50 +50 +60

PBP → A ( -100 +10 +90 = 0 ) → 2 anni

TRC → -100 +10 +90 +10 -10 -40 / 5 = +0,08 = 8%

es. (NPV)

A = -900

i = 10% 0 +235 +235 +235 +235

NPV (λ; 10%) = -900 + 235/1,10% x 235 = -900 + 800,83-0,17 (non è profittevole)

es. (TIR)

0 -13 1 0 2 +18

-13 + 0 + 18 / (1+λ;Λ²) = 0

-13 + 18 = 0

18 = 13 / (1+λ;Λ²)

λ;+λ;Λ; = 1,1766

λ;Λ; = 0,1766 ≍ 17,66%

λ;Λ; = -0,76

es. (TIR)

A = -100 30 50 -40

B = -80 25 25 50

A = -100 + 30 / (1+i¹) + 50 / (1+i²) + 40 / (1+i³) = 0 ⇉ i ≍ 9,27%

B = -80 + 25 / (1+i²) + 25 / (1+i²) + 50 / (1+i³) = 0 ⇉ i = 10,6%

(B è preferibile ad A)

(1 + λ; i)-10.000 ± √100000000-4.1600x10.000-2x1.60025%40%_NPV-133.5

es. (NPV)

_NPV(A, i) = -100 +70/(1+ λ; i) + 80/(1+ λ; i)² - 20/(1+ λ; i)³

_NPV(B, i) = -100 +140/(1+ λ; i) - 40/(1+ λ; i)² + 55/(1+ λ; i)³

i=0

_NPV(A,0) = -100+70+80-20=30

_NPV(B,0) = -100+140-40+55=25

i→∞

_NPV(A,∞) → -100

_NPV(B,∞) → -100

_NPV(A,i) = _NPV(B,i)

es. (flussi di cassa e indebitamento)

INV=1000 (¹⁰⁰⁰/₅ = 200)

FIN=500

i=30%

R.C=1.300

C.V=600

S=5 anni

INV=A.M.I.ralip flus. 50%

È conveniente l'investimento?

RIC.-CV-AMM. (C.F)(EBIT)-INT.(EBT)-IMP.(NET)-INV.+AMM.+FIN.CESS. AZIENDA= C.TE

INTER=500x10%=50

IMP.=50%450=225

Valore attuariale d'incasso= ²²⁵/_30% = 750 + 500 = 1.250

NPV (1)== -500 + 225 + 225 + 225 + 225 + 9.25 = 250

[flussi di cassa rilevato]

Costo = 280

E₀ (elit) 0 4 26 42 -2280 = 70

aliq. fiscale = 50%

i = 12%

Senza finanziamento

E₀ (elit) 0 4 26 42 -2

-imposta 0 2 13 21 1

E₀ (NI) 0 2 13 21 -1

-INVEST. -280 0 0 0 0

+ AMM. 0 70 70 70 70

E₀ (CFE) -280 72 83 91 69

(IMPR. = 50% 4 = 2)

NPV (k₀)= -280 + 42 / (1,12) + 83 / (1,12)² + 91 / (1,12)³ + 69 / (1,12)⁴= -40,92 (non è profittevole)

Da finanziamento

E₀ elit 0 4 26 42 -2

-interessi 0 20 20 20 20

E₀ (let) 0 -16 6 22 -22

-imposte 0 8 3 11 11

E₀ (NI) 0 -8 3 11 -11

+ AMM. 0 70 70 70 70

0= -280 0 0 0 0