Matematica e Statistica per l'economia - le funzioni polinomiali

y = −x² + 7x + 5

Campo di esistenza

Poiché la funzione data è polinomiale, essa risulta definita su tutto l’asse reale, cioè: {x∈R: −∞ ∞}.

C.E. = < x < +I

Intersezioni con gli assi

Per determinare l’intersezione della funzione con gli assi cartesiani occorre risolvere i seguenti due sistemi:

= =x 0 x 0⇒ ⇒  A = (0, 5) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y== − + +²  y 5y x 7 x 5 = y 0= = =   y 0 y 0 y 0⇒ ⇒ ⇒ ⇒    ± + ±7 49 20 7 69= − + + − + + = − − = = =2 2 2   0 x 7 x 5 x 7 x 5 0 x 7 x 5 0 x 1,2 2 2 =y 0    − +− 7 69 7 697 69 = =⇒ = ≅ − ⇒     B , 0 C ,0   x 0,65 e1    2 2 2 +7 69 sono le due intersezioni della funzione con l’asse x= ≅ + x 7,65 2 2

Segno della funzione

Per lo studio del segno della funzione occorre risolvere la disequazione: y > 0, dalla quale risulta poi possibile ricavare sia i valori della x per i quali la funzione è positiva, ovvero si trova al di sopra dell’asse x, che quelli per i quali è negativa, ovvero si trova al di sotto dell’asse x.

Nell’esempio in esame, quindi, si ha: − +7 69 7 69< <⇒ − ⇒ − − ⇒2 2 xy > 0 x + 7x + 5 > 0 x 7x 5 < 0 2 2

Ne segue che la funzione data è positiva per valori interni ad x ed x₁ e x₂: − +7 69 7 69= =x x1 22 2

− − − − − − − − − −+ + + + +y < 0 y > 0 y < 0

Limiti agli estremi del campo di esistenza

Per il calcolo dei limiti delle funzioni polinomiali, occorre ricordare che, in generale, vale la seguente proprietà:

n n−1 n−2 Se y = a x + a x + a x + … + a x + a è una generica funzione polinomiale nella variabile x, 0 1 2 n−1 n−∞ allora il suo limite, per x che tende a +∞ o (x→±∞), si ottiene calcolando il limite, per x→±∞, del monomio di grado massimo che figura nel polinomio, cioè:

• +∞ ∀ Se a è positivo, n( ) ( ) ( )− −+ + + + = = = 0n n 1 n 2 n n a x a x a x ... a a x a x lim lim lim −∞ ∀0 1 2 n 0 0  Se a è negativo, n→+∞ →+∞ →+∞x x x 0
• +∞ Se n è pari ed a è positivo0 −∞( ) ( ) ( ) Se n è pari ed a è negativo− −+ + + + = = = 0n n 1 n 2 n n a x a x a x ... a a x a x lim lim lim −∞0 1 2 n 0 0  Se n è dispari ed a è positivo→−∞ →−∞ →−∞x x x 0+∞ Se n è dispari ed a è negativo0

Risulta allora possibile, in virtù di quanto sopra esposto, calcolare i limiti agli estremi del campo di esistenza di tutte le funzioni polinomiali.

Nell’esempio si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + + = − = − = − +∞ = − +∞ = −∞²2 2 2y x 7 x 5 x x lim lim lim lim→+∞ →+∞ →+∞ →+∞x x x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + + = − = − = − −∞ = − +∞ = −∞²2 2 2y x 7 x 5 x x lim lim lim lim→−∞ →−∞ →−∞ →−∞x x x x

Ne segue che, per x→∞, la y→−∞ e, per x→−∞, la y→−∞.

Studio del segno della derivata prima

Ricordando che (cfr. capitolo sulle derivate):

• − D[P (x) + P (x) + … + P (x)] = D[P (x)] + D[P (x)] + … + D[P (x)]1 2 n 1 2 n
• − n n n−1D(a x ) = a D(x ) = a nx0 0 0
• − D(x) = 1
• − D(a ) = 0 dove con a si indica una qualunque costante0 0

Si ottiene, nell’esempio: − −2 2D(− x + 7x + 5) = D(− x ) + D(7x) + D(5) = 2x + 7 + 0 = 2x + 7

Per lo studio del segno della derivata prima si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente per lo studio del segno della funzione. Occorre, cioè, risolvere la disequazione:

D(y) > 0

Nel caso in esame, quindi: 7<− ⇒ ⇒ x2x + 7 > 0 2x − 7 < 0 2 7<

Ne segue che la derivata prima è positiva per , cioè: x 27=x 2

− − − − − − − − − −+ + + + + + + + + + Crescenza Decrescenza

Per , valore in cui la derivata prima si annulla, la funzione presenta un Massimo M. x 2 7=

Per determinare l’ordinata corrispondente al valore dell’ascissa , è sufficiente sostituire tale x 2− 2 valore nella funzione di partenza y = x + 7x + 5. Pertanto si ha