Manuale di Mathematica 04

Daniele Lupo Appunti di Mathematica

Calcolo Numerico

ü Introduzione

Quello che abbiamo visto finora riguarda principalmente il calcolo simbolico. Anche se è uno degli

element che contraddistinguono questo programma dalla massa, sia per il numero di funzioni che per

la loro potenza, le caratteristiche del programma non si fermano certo in quest'aspetto, anzi....

Mathematica contiene una quantità spropositata di algorotmi dedicati per poter risolvere la totalità

dei problemi numerici che possono capitare a questo mondo, ed in questo universo. Le caratteristiche

fondamentali sono la scelta automatica dell'algoritmo e la precisione arbitraria. Con il primo punto,

possiamo stare (quasi) sempre tranquilli e lasciare decidere al programma il metodo migliore per la

risoluzione di un problema: per esempio, per un integrale numerico ci sono i metodi di Simpson,

quello dei trapezi e molti altri che neanche io conosco... Mathematica riesce ad analizzare la

funzione, ed è in grado di decidere da solo quale metodo utilizzare per avere la soluzione migliore al

problema. Chi ha usato qualche volta, in elettronica il programma SPICE (quello originale della

Berkley, non uno dei tanti programmi presenti con grafici etc), sa che vengono usati due principali

algoritmi per la risoluzione delle formule integrali: il metodo trapezoidale e quello di Gear. Sono due

differenti metodi per trovare integrali numerici. Di solito le formule di Gear danno risultati più

precisi, ma hanno problemi di stabilità: per sistemi stiff, cioè con poli lontani dall'origine, può

capitare che il metodo diverga anche quando in realtà converge, e, in minor parte, convergere

quando in realtà diverge, dato che il sistema teorico e quello numerico hanno regioni diverse di

stabilità, dando quindi dei risultati errati, mentre il metodo trapezoidale è a volte meno preciso, ma

rispetta rigorosamente il concetto di stabilità di un sistema, divergendo solo quando effettivamente

siamo di fronte a delle instabilità. Questo porta a dover giocare con le opzioni per essere sicuri di

trovare il metodo che più ci aggrada, e quello che serve per farci avvicinare con maggior precisione

al risultato. Mathematica, d'altrone, per ogni funzione numerica è in grado di trovare da sola

l'algoritmo ideale, applicandolo in maniera del tutto trasparente. Quando andremo a risolvere

un'equazione differenziale, dovremo 'solo' preoccuparci di porre il problema nella maniera corretta,

con le giuste condizioni al contorno, e Mathematica farà il resto. Ci concentriamo, insomma, sul

cosa, non sul come. Questo non toglie il fatto che siamo perfettamente in grado di dire al programma

come risolvere un problema, forzando ad esempio un determinato algoritmo, ma non sono cose di

cui ci preoccupiamo, almeno per ora. Personalmente, non ho mai detto a Mathematica quale

algoritmo utilizzare, e non credo che lo farò mai, a meno di curiosità.

In aggiunta a questo, possiamo anche sfruttare la precisiona arbitraria di Mathematica. Non solo il

programma è in grado di decidere quale algoritmo applicare, ma lo fa con una precisione che

possiamo decidere da soli. Non siamo costretti ad accontentarci della risoluzione dovuta alla

precisione macchina, se 32 o 64 bit. Se vogliamo una soluzione con 10000 cifre significative, con

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Daniele Lupo Appunti di Mathematica

Mathematica possiamo farlo tranquillamente; il programma basa i suoi calcoli su potenti algoritmi a

precisione arbitraria, che penalizzano quasi di niente la velocità di esecuzione degli algoritmi. Questi

ultimi, fra l'altro, sono altamente ottimizzati, dandoci possibilità di eseguire un numero elevato di

operazioni in relativamente poco tempo.

Adesso, andiamo a vedere le funzioni numeriche di Mathematica. Sono per lo più simili a quelle che

abbiamo già visto per quanto riguarda il calcolo simbolico, almeno nel loro funzionamento base, e

quando non andiamo a toccare le opzioni di default. Se poi vogliamo, possiamo spulciarle per

risolvere anche l'impossibile, utilizzando funzioni quali NSolve ed NDSolve che sono sicuramente

fra i comandi matematici più potenti in assoluto non soltanto in Mathematica, ma in qualsiasi altro

software scientifico che possiate concepire.

ü Sommatorie, Produttorie, Integrali

Abbiamo visto come si risolvono le equazioni simboliche: se ci serve un rusiltato numerico, oppure

il programma non è in grado di trovare la soluzione simbolica, possiamo utilizzare delle funzioni che

sono molto simili, in quanto a sintassi: ⁄

¶

¤

i approssimazione numerica di f

NSum[f, {i, , Infinity}]

min i

min

¶

approssimazione numerica di f

NProduct[f, {i, i

min

i Ÿ

, Infinity}]

min x max

x x approssimazione numerica di f d x

NIntegrate[f, {x, , }] Ÿ Ÿ

min max x

min

x y

max max

x approssimazione di d x d y f

NIntegrate[f, {x, ,

min x y

min min

x y y

}, {y, , }]

max min max

Proviamo a effettuare qualche calcolo:

ê 8x,

NSum@Log@xD x ^ 5, 2, Infinity<D

In[1]:= +

0.0285738 0.

Out[1]= ê H1 8x,

−

NIntegrate@1 Sqrt@Gamma@xD xLD, 0, 1<D

In[2]:= 1.61784

Out[2]=

Gli integrali possono essere anche calcolati in regioni infite, naturalmente:

8x, −Infinity,

NIntegrate@Cos@xD Exp@−Abs@x ^ 2DD, Infinity<D

In[3]:= 1.38039

Out[3]=

Il risultato ottenuto è numerico: è anche possibile lavorare sulla precisione, ma ne parlaremo poco

più avanti, dato che bisogna ragionarci un attimino per poter ottenere il risultato voluto.

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ü Soluzione di equazioni

Anche in questo caso, le funzioni sono simili, anche se si aggiunge una funzione interessante, fatta

apposta per il calcolo numerico: x] risolve un'equazione polinomiale numericamente

NSolve[lhs==rhs, risolve un sistema di equazioni polinomiali nuericamente

N S o l v e [ {lhs = =rhs ,

1 1

lhs … y, …

==rhs , }, {x, }]

2 2 x cerca una soluzione numerica con seme x x

FindRoot[lhs==rhs, {x, }] =

0 0

cerca soluzioni numeriche per un sistema di equazioni

F i n d R o o t [ {lhs = =rhs ,

1 1

lhs … x

==rhs , }, {{x, },

2 2 0

y …

{y, }, }]

0

Abbiamo visto che non esistono soluzioni generali per equazioni polinomiali per un grado superiore

a 4. Tuttavia, possiamo ancora, con il comando NSolve, trovare il risultato numerico per tutte le

radici: = + − + − − +

eq x ^ 7 5 x ^ 6 34 x ^ 5 3 x ^ 4 18 x ^ 3 64 x 2 0;

In[4]:= NSolve@eq, xD

In[5]:= 88x 8x <,

8x <, 8x

→ −8.88949<, → −0.73661 − 0.860533

Out[5]= 8x <, 8x <, 8x

→ −0.73661 + →

0.860533 0.0312415<,

→ − → + →

0.716525 0.962437 0.716525 0.962437 3.89842<<

Ovviamente, anche in questo caso noi siamo in grado, tramite questo comando, di trovare soluzioni

di un sistema di equazioni algebrico:

8x

= −

sis ^ 3 4 y ^ 2 3 z ^ 5,

In[6]:= −

x y z ^ 2,

+ +

x ^ 2 y ^ 2 z ^ 1 0<;

8x, êê

NSolve@sis, y, z<D TableForm

In[7]:= → −43.596 − → −36.4276 + → −6.0454 +

x 36.3488 y 43.5925 z 6

→ −43.596 + → −36.4276 − → −6.0454 −

x 36.3488 y 43.5925 z 6

→ → −1.028 → −1.0709

x 0.118835 y z

→ −0.276836 − → − → −0.088803

x 0.943164 y 1.19596 0.727046 z

→ −0.276836 + → + → −0.088803

x 0.943164 y 1.19596 0.727046 z

→ → → −0.568996

x 0.670104 y 0.346348 z

Out[7]//TableForm= +

→ −0.607146 + → + →

x 0.662123 y 0.000898087 0.351493 z 0.193327

→ −0.607146 − → − → −

x 0.662123 y 0.000898